曾閩麗

(莆田學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,福建 莆田 351100)

一類渦流控制問題的新的預(yù)處理子*

曾閩麗

(莆田學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,福建 莆田 351100)

構(gòu)造了一類多調(diào)和渦流最優(yōu)化控制問題(MECOC)的新的預(yù)處理子.結(jié)合新的預(yù)處理子對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行預(yù)處理后使用Krylov子空間方法,如GMRES方法求解,并分析了預(yù)處理矩陣的特征值分布情況.數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性，并說明了新的預(yù)處理子的有效性.

渦流;最優(yōu)化控制;特征值分布;GMRES方法;預(yù)處理子

控制約束最優(yōu)化問題在物理學(xué)、生物學(xué)和化學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.一般情況下，控制約束最優(yōu)化問題可以通過有限元方法將一個(gè)PDE方程的求解最后轉(zhuǎn)化為大型稀疏矩陣鞍點(diǎn)問題的線性方程組的求解.近年來，越來越多的學(xué)者針對(duì)這些優(yōu)化問題得到的線性方程組的求解方法進(jìn)行了研究，在數(shù)值計(jì)算方法上取得了很大的成就.白中治研究院等提出Hermitian與反Hermitian分裂(簡稱HSS)迭代法[1-4],HSS方法的優(yōu)點(diǎn)在于當(dāng)系數(shù)矩陣為非Hermitian情形,將其分裂為Hermitian部分和反Hermitian部分的和,然后建立一種交錯(cuò)方向的迭代法,該方法在系數(shù)矩陣和參數(shù)滿足一定條件時(shí)是收斂的.而多調(diào)和渦流最優(yōu)化控制問題[5-9]得到的系數(shù)矩陣為對(duì)稱不定的,對(duì)于這類問題一般采取Krylov子空間方法來求解.然而即使是相對(duì)很有效的Krylov子空間方法,在沒有進(jìn)行任何預(yù)處理時(shí),也會(huì)遇到許多的困難,比如系數(shù)矩陣病態(tài)的時(shí)候,特征值分布就非常廣泛,那么使用Krylov子空間方法求解時(shí),可能會(huì)收斂特別慢,也可能不收斂.對(duì)于矩陣的預(yù)處理方法,以Benzi等學(xué)者提出許多有效的預(yù)處理子,如對(duì)角塊預(yù)處理、上三角預(yù)處理、下三角預(yù)處理等等.對(duì)于MECOC問題的有效預(yù)處理可參考文獻(xiàn)[5-9],其中文獻(xiàn)[6]提到的一種塊對(duì)角預(yù)處理也是非常有效的,筆者在實(shí)驗(yàn)中將其與新的預(yù)處理子進(jìn)行比較.

在下文中,AT代表矩陣A的轉(zhuǎn)置.所取參數(shù)均為實(shí)數(shù),討論的矩陣均為實(shí)矩陣.

1 新的預(yù)處理子及主要結(jié)論

考慮線性方程組Az=b,其中θ=kωσ≡常數(shù)[6-9],且

(1)

其中：參數(shù)λ,θ為大于0的實(shí)數(shù)；矩陣M∈Rn×n為對(duì)稱正定矩陣；Kυ∈Rn×n為對(duì)稱半正定矩陣；右端向量b∈Rn.易知矩陣A∈R4n×4n是對(duì)稱不定的.將矩陣A分裂為

(2)

其中I為與M同階的單位矩陣,且

容易求得

(3)

記G=M-1Kν,則(3)式等價(jià)于

(4)

即

(5)

由(5)式知

若Kν=νK,且滿足ν<<1為正數(shù),K為剛度矩陣,則此時(shí)c→0+,從而γ→1.最理想的情形,記為ν=0,此時(shí)γ=1.證畢.

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Matlab(2009b),Windows XP(AMD Phenom(tm)II X4 830 Processor),2.79 GHz,3.00 GB內(nèi)存.實(shí)驗(yàn)中用到的終止誤差為10-6.

例1 參考文獻(xiàn)[7]的優(yōu)化問題，考慮以下狀態(tài)方程：

其中Ω=[0,1]2，?ΩD=φ，且

對(duì)該問題進(jìn)行先優(yōu)化再離散(Q1-P0有限元進(jìn)行離散),詳情見參考文獻(xiàn)[7].可由IFISS軟件[10]得到相應(yīng)的質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K，令Kν=νK,從而得到方程組Az=b，其中系數(shù)矩陣A具有(1)式對(duì)應(yīng)的4×4的分塊矩陣的形式.

選擇不同的參數(shù)θ,λ和ν來測試預(yù)處理子Pd的有效性，并與沒有進(jìn)行預(yù)處理的GMRES迭代方法[11]進(jìn)行比較.

圖1，2分別列出了不同參數(shù)的選擇得到的新的預(yù)處理子對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行預(yù)處理之后的特征值的分布情況,與預(yù)處理前進(jìn)行比較,可以看到預(yù)處理后矩陣的特征值都聚集在1附近,特征值越集中表明預(yù)處理后矩陣的條件數(shù)越接近1.表1，2針對(duì)3種預(yù)處理以及沒有進(jìn)行預(yù)處理求解方程組的進(jìn)行比較(在表1和表2中,括號(hào)里面的對(duì)應(yīng)迭代次數(shù)和誤差,括號(hào)上方的數(shù)字為CPU運(yùn)行時(shí)間),給出了在相同中止誤差的情況下,各種預(yù)處理所需要的時(shí)間和所需要的迭代次數(shù)比較.顯然,根據(jù)前面的理論分析,當(dāng)ν<<1時(shí)新的預(yù)處理在矩陣階數(shù)較低情形比文獻(xiàn)[9]所介紹的預(yù)處理子要有效得多,并且在時(shí)間上也顯示出很大的優(yōu)勢.并且從圖1，2中也可以看出,預(yù)處理后的矩陣特征值相對(duì)集中.

圖1 特征值分布比較，λ=10-8,ν=10-3,θ=104(矩陣階數(shù)：900)

圖2 特征值分布比較，λ=10-6,ν=10-4,θ=104(矩陣階數(shù)：900)

表1 重算值=10和最大迭代是1 001的預(yù)處理的GMRES算法(ν=1)

表2 重算值=20和最大迭代是800的預(yù)處理GMRES算法(ν=1)

4 結(jié)語

新的預(yù)處理子的優(yōu)點(diǎn)在于求解具有這類特殊結(jié)構(gòu)系數(shù)矩陣的方程時(shí)展示了巨大的潛力，因其結(jié)構(gòu)的特殊性,這種預(yù)處理子的逆容易求得,可以在這種或類似的結(jié)構(gòu)中推廣這個(gè)思想，這個(gè)方法的關(guān)鍵點(diǎn)在于這個(gè)矩陣的特殊結(jié)構(gòu).如果傳導(dǎo)性系數(shù)σ不是常數(shù)，那么對(duì)應(yīng)的預(yù)處理子也會(huì)變得更復(fù)雜.

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(責(zé)任編輯 向陽潔)

NewPreconditionerforaClassofEddyCurrentControlProblems

ZENG Minli

(Mathematics Department,Putian University,Putian 351100,Fujian China)

A new preconditioner for a class of multi-harmonic eddy current optimal control (MECOC) problems was constructed.The new preconditioner for the coefficient matrix in the Krylov subspace method such as GMRES was used to analyze the distribution of the eigenvalues.Numerical experiments were used to verify the correctness of the theoretical results,and showed the efficiency of the new preconditioner corresponding to the new method.

multi-harmonic eddy current;optimal control problem;distribution of eigenvalues;GMRES method;preconditioner

1007-2985(2014)02-0018-05

2013-06-07

福建省教育廳A類科技項(xiàng)目(JA12287)

曾閩麗(1982-),女，福建寧化人，莆田學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院講師,在讀博士,主要從事數(shù)值代數(shù)研究.

O241.6

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.02.006