席寶濱， 高德利

(石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(中國石油大學(xué)(北京))，北京 102249)

U形井技術(shù)是采用定向鉆探技術(shù)和水平井鉆井技術(shù)，使地面相距數(shù)百米的兩井或多井在地下數(shù)百米甚至數(shù)千米的目的層處定向?qū)舆B通[1-2]。按對接連通兩口井的類型，可將U形井分為3種井型：水平井與直井連通、定向井與水平井連通以及水平井與水平井連通。其中，第一種井型稱為連通井或?qū)泳?，?shí)際應(yīng)用較多，技術(shù)比較成熟[3-5]；后2種井型統(tǒng)稱為U形水平井，國內(nèi)外鮮有報(bào)道[6-7]。

要鉆探完成U形水平井，必須應(yīng)用測量工具進(jìn)行定向鉆進(jìn)。但是使用傳統(tǒng)測量工具時，會產(chǎn)生誤差的傳播和積累，使連通靶點(diǎn)存在很大的不確定性，不能滿足兩井精確連通的需要。此處的精確連通是指通過定向鉆探的方法，使正鉆井底部鉆具組合能夠進(jìn)入目標(biāo)井中，并能順利下入套管，實(shí)現(xiàn)兩井的水力和機(jī)械連通[8-9]。因此，在最后的連通階段引入旋轉(zhuǎn)磁場測距導(dǎo)向系統(tǒng)(rotating magnet ranging system,簡稱RMRS),來克服傳統(tǒng)測量工具的缺陷，提高兩井精確連通的成功率[10]。

目前，針對U形水平井連通過程中的相對位置不確定性的問題，國外學(xué)者只在U形井的介紹中簡單地給出RMRS的測量精度為相對距離的2%～5%[11-12]，國內(nèi)學(xué)者也只是定性得出RMRS測量的相對位置誤差隨鉆頭的鉆進(jìn)不再積累,而是逐漸減小[13]；國內(nèi)外學(xué)者都沒有就RMRS的測量給出明確的分析過程。基于以上研究背景，筆者采用井位不確定模型，定量分析U形水平井連通過程中的相對位置不確定性，并給出表征相對位置不確定性的誤差橢球(圓)的計(jì)算方法。

1 相對位置不確定性

1.1 研究的必要性

RMRS將連通井鉆頭與目標(biāo)井連通點(diǎn)通過交變磁場信息耦合為閉環(huán)系統(tǒng)，突破了傳統(tǒng)的兩井各自獨(dú)立測量的開環(huán)模式。使用RMRS進(jìn)行相對位置測量時，每次測量都是獨(dú)立進(jìn)行的，每次測量的誤差都是測量時單點(diǎn)的測量誤差，誤差不傳播不積累。隨著鉆進(jìn)的進(jìn)行，傳感器的精度越來越高，誤差越來越小。相對位置不確定性隨著2點(diǎn)的接近,其變化趨勢如圖1所示。其中，O3為對相對位置不確定性進(jìn)行描述的誤差橢球的中心，t為目標(biāo)井上的連通點(diǎn)。

圖1 連通過程中相對位置不確定性的變化趨勢Fig.1 The changing tendency of uncertainty for relative position in the connecting process

在U形水平井連通的過程中，雖然連通點(diǎn)t的實(shí)際位置是固定的，但是由于井眼位置不確定性的存在，無法通過計(jì)算得到其精確值，只能得到其可能存在的范圍，即以O(shè)3為中心的誤差橢球。根據(jù)正態(tài)分布理論，越接近誤差橢球中心，連通點(diǎn)存在的可能越大。所以，在連通過程中進(jìn)行待鉆井眼軌道設(shè)計(jì)時,可以將O3作為目標(biāo)點(diǎn)。隨著鉆進(jìn)的進(jìn)行，誤差橢球逐漸變小，目標(biāo)點(diǎn)逐漸靠近連通點(diǎn)。當(dāng)正鉆井鉆頭足夠靠近連通點(diǎn)時，目標(biāo)點(diǎn)與連通點(diǎn)會非常接近甚至重疊，繼續(xù)鉆進(jìn)必然實(shí)現(xiàn)兩井的連通。所以，進(jìn)行相對位置不確定性分析，可以為正鉆井提供一個最接近真實(shí)值的目標(biāo)點(diǎn)，提高連通成功率。

此外，誤差橢球還可以指導(dǎo)RMRS的使用。當(dāng)誤差橢球在連通點(diǎn)處垂直于井眼平面上投影的誤差橢圓長半軸開始小于井眼半徑時，說明相對位置不確定性已經(jīng)小到一定程度，其大小已經(jīng)不會再對兩井的精確連通產(chǎn)生影響。如果此時鉆頭距離探管還有較大距離，可以使用該工具繼續(xù)引導(dǎo)鉆進(jìn)；如果鉆頭與探管的距離在幾米之內(nèi)，可以將探管從已完鉆井中后撤一段距離，防止由于兩井的突然連通損壞探管。

1.2 相對位置不確定性的組成

由于RMRS的測距范圍小于70 m，所以U形水平井連通的過程是一個使用RMRS循序引導(dǎo)逐步實(shí)現(xiàn)連通的過程，引導(dǎo)過程如圖2所示。1，2，…，n與1′，2′，…，n′為一對相對應(yīng)的測點(diǎn)，其中，1，2，…，n為探管的位置，1′，2′，…，n′為磁短節(jié)的位置。O1a1+a1t1+t1d1為首先鉆探的第一井，稱為目標(biāo)井或者已鉆井；O2a2+a2t2+t2d2為緊接著鉆探的第二口井，稱為連通井或者正鉆井。曲線d2t為連通段，點(diǎn)t為連通點(diǎn)，兩井在此處實(shí)現(xiàn)水力和機(jī)械連通。

圖2 RMRS引導(dǎo)兩井連通示意Fig.2 RMRS guiding two wells connected

根據(jù)RMRS引導(dǎo)兩井連通的過程，可以得出U形水平井連通過程中的相對位置不確定性，如圖3所示。點(diǎn)m為使用RMRS引導(dǎo)兩井連通時的任一測點(diǎn)，其依次經(jīng)歷點(diǎn)1，2，…，n；點(diǎn)p為連通井的當(dāng)前井底，其相應(yīng)的依次經(jīng)過點(diǎn)1′，2′，…，n′。從圖3可以看出，連通點(diǎn)t相對當(dāng)前井底p的位置不確定性由2部分組成：點(diǎn)m相對點(diǎn)p的位置不確定性和點(diǎn)t相對點(diǎn)m的位置不確定性。

圖3 相對位置不確定性Fig.3 Uncertainty of relative position

2 坐標(biāo)系的建立

對要連通的U形水平井建立3個坐標(biāo)系，如圖4所示。O-NED為大地坐標(biāo)系，O為原點(diǎn)，N軸指向正北方，E軸指向正東方，D軸鉛垂向下指向地心。以正鉆井當(dāng)前井底p為原點(diǎn)，建立正鉆井井底右手直角坐標(biāo)系p-xyz，z軸指向鉆頭的前進(jìn)方向，x軸指向井眼高邊方向，y軸由右手法則確定。以已鉆井中的連通點(diǎn)t為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立右手直角坐標(biāo)系t-XYZ，Z軸指向水平井趾端方向，X軸指向井眼高邊方向，Y軸由右手法則確定。RMRS所測量的數(shù)據(jù)為測點(diǎn)m在坐標(biāo)系p-xyz中的位置為m(r,θ0,φ0)，其中，r為相對距離，m；θ0為相對工具面角，(°)；φ0為相對方位角，(°)。

圖4 坐標(biāo)系的建立Fig.4 Establishment of coordinate systems

3 測點(diǎn)相對正鉆井井底的位置不確定性分析

根據(jù)ISCWSA(the industry steering committee for wellbore survey accuracy)的井位不確定模型[14-16]，RMRS測量所得的相對位置不確定性可表示為：

(1)

式中：H為所有n個誤差源在測點(diǎn)處的井位不確定性；ej為由獨(dú)立誤差源j在測點(diǎn)處引起的誤差向量。

3.1 誤差源分析

3.1.1 RMRS測量精度誤差

RMRS本身由于加工制造以及安裝調(diào)試不精確導(dǎo)致產(chǎn)生誤差，這項(xiàng)誤差也受測量環(huán)境(如溫度)變化的影響。一般在儀器出廠時，會標(biāo)注出以下3個參數(shù)：RMRS在測量相對距離的誤差精度限ΔC1；相對方位角的誤差精度限ΔC2，(°)；相對工具面角時的精度誤差限ΔC3，(°)。

3.1.2 磁短節(jié)不對中誤差

磁短節(jié)接在鉆頭后面并隨鉆頭一起旋轉(zhuǎn)，由于安裝在磁短節(jié)后的穩(wěn)定器與井壁之間存在著一定的間隙，造成磁短節(jié)與井眼軸線不重合，從而產(chǎn)生了磁短節(jié)不對中誤差,計(jì)算公式為：

(2)

式中：dS1為裝在磁短節(jié)后的穩(wěn)定器的外徑，m；dH1為所形成井眼的直徑，m；l1為鉆頭到穩(wěn)定器的長度，m，ΔC4為磁短節(jié)不對中的誤差限，(°)。

3.1.3 探管不對中誤差

為了保證相對位置的計(jì)算精度，需用修井機(jī)等設(shè)備將探管下入到已鉆井的適當(dāng)井深處。由于油管在井眼內(nèi)的彎曲和屈曲、探管上端電纜(鋼絲繩)的拉力與探管下端與井壁接觸的摩擦力和探管自身的重力作用，造成了探管不對中誤差，計(jì)算公式為：

(3)

式中：dS2為安裝在探管上方和下方的穩(wěn)定器外徑，m；dH2為已鉆井井眼直徑，m；l2為探管上下穩(wěn)定器的距離，m；ΔC5為探管不對中的誤差限，(°)。

3.2 協(xié)方差矩陣

在坐標(biāo)系p-xyz中(見圖4)，由RMRS測得的極坐標(biāo)參數(shù)m(r,θ0,φ0)換算為直角坐標(biāo)參數(shù)為：

(4)

用矢量形式可表示為：

r=(xm,ym,zm)T

(5)

3.2.1 RMRS測量精度誤差所形成的協(xié)方差矩陣

相對距離測量精度誤差向量：

e1=ΔC1r

(6)

相對方位角測量精度誤差向量：

(7)

相對工具面角測量精度誤差向量：

(8)

所以，由RMRS測量精度誤差所形成的協(xié)方差矩陣可表示為：

(9)

3.2.2 磁短節(jié)不對中誤差形成的協(xié)方差矩陣

由磁短節(jié)不對中引起的相對位置不確定性可被看作垂直于正鉆井井眼上的一個以rΔC4為半徑的圓盤[16]，其協(xié)方差矩陣可表示為：

(10)

3.2.3 探管不對中誤差形成的協(xié)方差矩陣

由于探管處在坐標(biāo)系t-XYZ中，所以要想得到協(xié)方差矩陣，首先要知道在坐標(biāo)系t-XYZ中點(diǎn)p相對于點(diǎn)t的位置。引入坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。坐標(biāo)系t-XYZ與坐標(biāo)系O-NED的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(11)

式中：αt和φt分別為點(diǎn)t處的井斜角和方位角，可以由探管直接測得，(°)。

坐標(biāo)系p-xyz與坐標(biāo)系O-NED的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(12)

式中：αp和φp分別為點(diǎn)p處井斜角和方位角，可以由MWD直接測得，(°)。

則在坐標(biāo)系t-XYZ中，點(diǎn)p相對于點(diǎn)m的位置為：

(13)

所以，探管不對中誤差形成的協(xié)方差矩陣為：

(14)

3.2.4 點(diǎn)m相對點(diǎn)p的位置不確定性的協(xié)方差矩陣

由于各個誤差源是獨(dú)立的，所以協(xié)方差矩陣可以直接相加。從上面的分析易知，H1和H2為正鉆井井底直角坐標(biāo)系p-xyz中的協(xié)方差矩陣，而H3為探管處直角坐標(biāo)系t-XYZ中的協(xié)方差矩陣。為了便于分析以及對U形水平井精確連通進(jìn)行指導(dǎo)，將H1和H2通過轉(zhuǎn)換矩陣轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系t-XYZ中,則在坐標(biāo)系t-XYZ中點(diǎn)m相對點(diǎn)p的位置不確定性的協(xié)方差矩陣為：

(15)

4 連通點(diǎn)相對測點(diǎn)的位置不確定性分析

井眼位置的不確定性主要來自計(jì)算誤差和測斜儀的測量誤差。然而，由于在連通點(diǎn)和測點(diǎn)之間是相對較直的水平段，所以計(jì)算誤差可以忽略。測斜儀的測量誤差主要包括未定系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。下面應(yīng)用井位不確定模型分析兩點(diǎn)間的不確定性。

點(diǎn)t相對點(diǎn)m的位置不確定性的協(xié)方差矩陣為：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

a1=sinαtΔl(-sinφt,cosφt,0)T

(23)

a2=sin2αtsinφtΔl(-sinφt,cosφt,0)T

(24)

a3=tanαtΔl(-sinφt,cosφt,0)T

(25)

a4=sinαtΔl(cosαtcosφt,cosαtsinφt,-sinαt)T

(26)

a5=(ΔN,ΔE,ΔD)T

(27)

式中：ΔC10為羅盤參考誤差，(°)；ΔC20為鉆柱磁化誤差，(°)；ΔC30為陀螺羅盤誤差，(°)；ΔC40為井斜角誤差，(°)；ΔC50為測深誤差，%；ΔC60為儀器不對中誤差，(°)；Δl為測點(diǎn)m與連通點(diǎn)t之間的井眼長度，m；ΔN為北坐標(biāo)增量，m；ΔE為東坐標(biāo)增量，m；ΔD為垂深增量，m。

所以，在坐標(biāo)系t-XYZ中點(diǎn)t相對點(diǎn)m的位置不確定性的協(xié)方差矩陣為：

(28)

5 誤差橢球和誤差橢圓

在坐標(biāo)系t-XYZ中，點(diǎn)t相對點(diǎn)p的位置不確定性的總協(xié)方差矩陣為：

COV=COV1+COV2

(29)

另外,COV可記為：

(30)

5.1 誤差橢球

假設(shè)COV的特征值為λ1、λ2和λ3，則誤差橢球的半軸長r1、r2和r3為[17]：

(31)

式中：k1為置信因子；r1,r2和r3分別為半軸長，m。

由于鉆柱磁化的影響，誤差橢球中心O3偏離連通點(diǎn)t。則在坐標(biāo)系O-NED中，測點(diǎn)相對橢球中心的矢量rmO3可表示為：

rmO3=(ΔC20a21,ΔC20a22,0)T-a5

(32)

則在坐標(biāo)系p-xyz中，誤差橢球中心O3相對當(dāng)前井底p的矢量為：

(33)

5.2 誤差橢圓

在坐標(biāo)系t-XYZ中，XY平面上的誤差橢圓半軸長分別為：

(34)

式中：k2為置信因子；r4,r5分別為半軸長,m。

夾角γ以及特征值λ4和λ5分別為：

(35)

λ4=var(X,X)cos2γ+var(Y,Y)sin2γ+

cov(X,Y)sin2γ

(36)

λ5=var(X,X)sin2γ+var(Y,Y)cos2γ-

cov(X,Y)sin2γ

(37)

6 算例計(jì)算與分析

6.1 計(jì)算過程

假定連通的2口井的井眼直徑都為0.216 m，穩(wěn)定器的直徑為0.211 m，在以單彎螺桿為動力鉆具的底部鉆具組合中，取鉆頭到底部穩(wěn)定器的距離為0.89 m，磁短節(jié)一般長0.4 m，探管長3 m。已知點(diǎn)p處井斜角αp=70°，方位角φp=270°；點(diǎn)t處井斜角αt=90°,方位角φt=90°；點(diǎn)t和點(diǎn)m之間的井眼長度Δl=30 m；點(diǎn)m在坐標(biāo)系p-xyz中的極坐標(biāo)為(30,0,10)(見圖4)。RMRS誤差限分別為ΔC1=2%，ΔC2=1°，ΔC3=0.5°。根據(jù)式(2)和(3)可得ΔC4=0.111°，ΔC5=0.095°；精密磁性測斜儀誤差限分別為ΔC10=1.5°，ΔC20=0.15°，ΔC40=0.5°，ΔC50=0.1%，ΔC60=0.6°，ΔC30不存在;然后進(jìn)行U形水平井連通過程中的相對位置不確定性分析，計(jì)算過程如下：

1) 確定協(xié)方差矩陣COV1。根據(jù)式(4)將極坐標(biāo)(30,0,10)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)(10.418 9,0,59.088 5)。

根據(jù)式(6)—(9)，求得磁場測距導(dǎo)向工具精度誤差所形成的協(xié)方差矩陣：

根據(jù)式(10),求得磁短節(jié)不對中誤差形成的協(xié)方差矩陣：

根據(jù)式(11)—(14)，求得探管不對中誤差形成的協(xié)方差矩陣：

根據(jù)式(15),求得在坐標(biāo)系t-XYZ中點(diǎn)m相對點(diǎn)p的協(xié)方差矩陣：

2) 確定協(xié)方差矩陣COV2。根據(jù)式(16)和(28),求得在坐標(biāo)系t-XYZ中點(diǎn)t相對點(diǎn)m的協(xié)方差矩陣：

3) 確定總協(xié)方差矩陣COV。根據(jù)式(29)可得總協(xié)方差矩陣：

4) 誤差橢球和誤差橢圓?？倕f(xié)方差矩陣COV的特征值為：λ1=0.366 6，λ2=1.443 2，λ3=0.693 2。

若使相對位置落入誤差橢球的概率為95%，則取k1=2.796。根據(jù)式(31)誤差橢球的半軸長分別為：r1=1.692 8 m，r2=3.358 9 m，r3=2.327 9 m。

根據(jù)式(32)和(33)，得到誤差橢球中心在坐標(biāo)系p-xyz中的坐標(biāo)為：(20.679 5,-0.130 9,87.279 2)。

若使相對位置落入誤差橢圓的概率為95%，則取k2=2.448。根據(jù)式(34)—(37)，可得在坐標(biāo)系t-XYZ中XY平面上的誤差橢圓半軸長：r4=1.555 4 m，r5=2.038 2 m。

6.2 算例分析

為簡化計(jì)算過程，假設(shè)2口井是在垂直的二維平面內(nèi)以曲率k=6°/30 m的圓弧完成連通。在連通過程中，已知固定不變的值為：點(diǎn)p處方位角φp=270°；點(diǎn)t處井斜角αt=90°；點(diǎn)t處方位角φt=90°；k1=2.796；k2=2.448；RMRS以及測斜儀誤差如上文所示。

已知點(diǎn)p處井斜角αp=70°；點(diǎn)t和點(diǎn)m之間的井眼長度Δl=35 m；點(diǎn)m在p-xyz中的極坐標(biāo)為(66.84,0,5.02)。由幾何關(guān)系以及相對位置不確定性分析，可得隨鉆進(jìn)不斷變化的相對位置誤差橢球(圓)的半軸長度以及誤差橢球中心在p-xyz中的位置(見表1)。

表1 隨鉆進(jìn)變化的參數(shù)

根據(jù)表1中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，繪制相對位置誤差橢球(圓)半軸長度隨測點(diǎn)與連通點(diǎn)之間的長度與相對距離之和(Δl+r)的變化趨勢，如圖5所示。由圖5可以看出，隨著鉆進(jìn)的進(jìn)行，誤差橢球(圓)半軸長度呈明顯的下降趨勢，且最終長度都趨于0。所以，進(jìn)行待鉆井眼軌道設(shè)計(jì)時，在無法得知連通點(diǎn)精確位置的情況下，可以將誤差橢球的中心為設(shè)計(jì)目標(biāo)點(diǎn)。此外，根據(jù)誤差橢圓半軸長度大小以及變化趨勢，可以將誤差橢圓作為正鉆井的靶窗以及指導(dǎo)RMRS的使用。

圖5 誤差橢球(圓)半軸長度隨測點(diǎn)與連通點(diǎn)之間長度和相對距離之和的變化趨勢Fig.5 Changes of lengths of semi-axes of error ellipsoid (ellipse) with the sum of relative distance and the length from measure point to connecting point

7 結(jié) 論

1) 與傳統(tǒng)測斜儀器相比，RMRS在連通過程中測得的相對位置誤差隨鉆頭的鉆進(jìn)不再積累，而是逐漸減小，更適用于U形水平井的連通。

2) 基于RMRS和測斜儀精確計(jì)算出了連通點(diǎn)相對正鉆井井底的位置不確定性。相對位置不確定性分析不僅考慮了測點(diǎn)與正鉆井井底之間由RMRS測量帶來的誤差，還考慮了RMRS在U形水平井連通的引導(dǎo)過程中連通點(diǎn)與測點(diǎn)之間由測斜儀帶來的誤差。

3) 誤差橢球中心可以作為連通過程中待鉆井眼軌道設(shè)計(jì)的目標(biāo)點(diǎn)，同時誤差橢圓可以作為正鉆井的靶窗并指導(dǎo)RMRS的使用。隨著鉆進(jìn)的進(jìn)行，誤差橢球和誤差橢圓逐漸變小，正鉆井鉆頭逐漸靠近連通點(diǎn)，最終實(shí)現(xiàn)兩井精確連通。

參考文獻(xiàn)
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