花純利， 塔 娜， 饒柱石

(上海交通大學(xué) 振動、沖擊噪聲研究所 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240)

轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)廣泛用于實際工程。為提高轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)機械效率，將轉(zhuǎn)軸與軸承間隙設(shè)計的越來越小，但會使轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)發(fā)生碰摩的可能性提高。轉(zhuǎn)軸與軸承間發(fā)生碰摩將致轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)局部發(fā)熱甚至嚴重磨損，誘發(fā)機械劇烈振動，嚴重時會出現(xiàn)反向渦動失穩(wěn)造成整個機械系統(tǒng)破壞。因此，研究轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)的碰摩復(fù)雜非線性動力學(xué)行為、確定其與系統(tǒng)參數(shù)間關(guān)系、揭示系統(tǒng)穩(wěn)定性邊界條件，對優(yōu)化轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)設(shè)計與故障診斷意義甚為重要。

對轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)碰摩研究已有大量成果。自上世紀80年代以來，在實驗、數(shù)值模擬、理論分析等方面對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩響應(yīng)特性進行廣泛深入研究。如同頻全周碰摩運動、“跳躍”現(xiàn)象[1-6]，準周期局部碰摩運動[7]及混沌行為[8-10]。文獻[11-13]中所用模型雖與本文相似，但其接觸力為線性模型且未深入討論偏心率對系統(tǒng)動態(tài)特性影響，亦未解釋、闡明跳躍現(xiàn)象產(chǎn)生的條件。文獻[2]亦用兩自由度轉(zhuǎn)子模型，但其定子具有耦合剛度且接觸力為線性模型。止今，大部分研究主要集中在將軸承簡化為無質(zhì)量線性彈簧的轉(zhuǎn)軸碰摩模型上，但該簡化不能充分反映具有超彈性材料特性的橡膠軸承動態(tài)特性。國內(nèi)外船舶及深井泵等設(shè)備中因大量使用橡膠軸承，致使橡膠體磨損嚴重。此與螺旋槳軸承支承的整個轉(zhuǎn)子系統(tǒng)靜態(tài)特性與動力響應(yīng)密切相關(guān)。由于對橡膠軸承支撐的轉(zhuǎn)軸/軸承系統(tǒng)研究較少，且對全面考慮碰摩主要參數(shù)的非線性彈性支撐的轉(zhuǎn)軸/軸承系統(tǒng)模型動力學(xué)特性認識不足，尤其對轉(zhuǎn)軸/軸承偏心率及阻尼比對系統(tǒng)動力響應(yīng)所致影響了解更少。因此，本文以橡膠軸承支撐的轉(zhuǎn)軸/軸承系統(tǒng)為對象，將其簡化為非線性彈性支撐的轉(zhuǎn)軸/軸承系統(tǒng)進行研究，并分析該模型動力學(xué)特性。即分析轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)發(fā)生碰摩、鞍結(jié)分叉及Hopf分叉的邊界條件，討論阻尼比與偏心率等系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響。

1 模型與運動控制方程

橡膠軸承/轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)示意圖見圖1，橡膠軸承由軸承襯套與橡膠襯套兩部分組成。將其簡化成Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，見圖2，轉(zhuǎn)軸簡化為一支撐在無質(zhì)量剛度k，阻尼c，轉(zhuǎn)軸中間質(zhì)量m的剛性轉(zhuǎn)軸上，轉(zhuǎn)軸與軸承間間隙δ，轉(zhuǎn)軸質(zhì)心與幾何中心偏心距e。

圖1 轉(zhuǎn)軸/軸承系統(tǒng)示意圖

圖2 Jeffcott轉(zhuǎn)軸/軸承系統(tǒng)模型

考慮橡膠軸承具有的非線性特征，計入支承剛度的非線性特性。由于軸系的橡膠艉軸承均為新設(shè)計產(chǎn)品，未經(jīng)實驗測得準確剛度曲線。因此，其非線性載荷-變形關(guān)系參照德國國防軍艦艇建造規(guī)范(BV043)進行估算：

F=krr(1+100r)=krr+αr2

(1)

其中：F為載荷(N)；r為變形量(m)；kr為軸承剛度值(N/m)。故軸承內(nèi)環(huán)面上轉(zhuǎn)軸/軸承接觸剛度為kr+αr。則轉(zhuǎn)軸與軸承間的摩擦力及接觸力為：

(2)

(3)

橡膠軸承/轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)動力學(xué)方程可表達為：

(4)

式中：Θ為heaveside函數(shù)，即：

將橡膠軸承/轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)動力學(xué)方程無量綱化：

(5)

轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)過程中，轉(zhuǎn)軸與軸承接觸、不接觸狀態(tài)均有穩(wěn)定的周期解。設(shè)其解的形式為：

(6)

在軸承與轉(zhuǎn)軸未發(fā)生接觸狀態(tài)下Θ=0，將式(6)代入控制方程并求解得幅值、相位角分別為：

(7)

由于軸承與轉(zhuǎn)軸間隙有限，故非接觸狀態(tài)下所求幅值A(chǔ)須滿足A≤1條件。即：

(ρ2-1)Ω4+2(β-2ξ2)Ω2-β2≤0

(8)

通過求解式(8)可兩實根Ωl，Ωu，且記為線性轉(zhuǎn)軸開始發(fā)生碰摩時低、高轉(zhuǎn)速。當Ω<Ωl或Ω>Ωu時，轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)存在無碰摩同頻周期響應(yīng)。

軸承與轉(zhuǎn)軸發(fā)生接觸狀態(tài)下Θ=1，將式(6)代入式(5)得關(guān)于振動幅值A(chǔ)的方程式：

a4A4+a3A3+a2A2+a1A+a0=0

(9)

其中：

a4=g2+g2f2

a3=2g[(1-2g+β-Ω2)+f(2ξΩ+f-2gf)]

a2=(1-2g+β-Ω2)2+(2ξΩ+f-2gf)2+

2g(g-1)(1+f2)

a1=2(g-1)[(1-2g+β-Ω2)+f(2ξΩ+f-2gf)]

a0=(g-1)2(1+f2)-ρ2Ω4。

一元四次方程最多有兩個互異的正實數(shù)根，復(fù)數(shù)與負數(shù)實根均無實際意義。在式(5)Θ=1條件下，方程有二重正實根時，即為系統(tǒng)鞍結(jié)分叉的邊界條件。為保證軸承與轉(zhuǎn)軸處于接觸狀態(tài)，幅值A(chǔ)不僅需滿足正實數(shù)條件且需滿足幅值A(chǔ)>1。

2 周期解穩(wěn)定性分析

(10)

(11)

式中：

為簡便，引入穩(wěn)態(tài)周期解形式：

(12)

其中：A為非接觸狀態(tài)下式(7)與接觸狀態(tài)下式(9)的穩(wěn)定周期解。

通過解式(11)得：

(13)

當Θ=0時轉(zhuǎn)軸與軸承處于非接觸狀態(tài)，雅可比方程J恰好是矩陣B，對應(yīng)的特征方程為|B-λI|=0，將其展開：

λ4+4ξλ3+(2β+4ξ2)λ2+4ξβλ+β2=0

(14)

根據(jù)Routh-Hurwitz(勞斯-霍爾維茨)穩(wěn)定性判據(jù)，式(5)(Θ=0時)非接觸狀態(tài)解的穩(wěn)定性條件為：

ξ>0

(15)

由式(15)知，當系統(tǒng)阻尼為正阻尼時，對應(yīng)的周期解是穩(wěn)定的。當系統(tǒng)振動幅值大于間隙δ時，軸承與轉(zhuǎn)軸會發(fā)生碰摩。此時轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)控制方程中Θ=1。式(5)的解將為非線性的周期解。其雅可比矩陣J可表達為：

(16)

式中：

由式(16)知，雅可比矩陣J為周期性的時間依賴矩陣，不能直接推導(dǎo)、分析其解的穩(wěn)定性，需作變換：

(17)

式中：轉(zhuǎn)換矩陣T為：

將式(17)代入式(13)，得：

(18)

(19)

式(19)表明雅可比矩陣Jc與時間參數(shù)無關(guān)。δU解與式(11)解的穩(wěn)定性取決于矩陣Jc特征值實部符號。對應(yīng)的特征方程滿足|Jc-λI|=0，將其展開為：

b4λ4+b3λ3+b2λ2+b1λ+b0=0

(20)

其中：

b4=1

b3=4ξ

諸多系數(shù)均為幅值A(chǔ)的函數(shù)，故Routh-Hurwitz(勞斯-霍爾維茨)穩(wěn)定性判據(jù)可用于判斷式(11)非線性穩(wěn)態(tài)周期解的穩(wěn)定性。

基于分叉理論,分析周期解的分叉邊界，給出參數(shù)空間穩(wěn)定區(qū)域。若雅可比矩陣Jc有一零特征值，系統(tǒng)將出現(xiàn)鞍結(jié)分叉，此時式(20)中b0=0，即：

(21)

通過消除幅值A(chǔ)的符號計算，同時求解式(9)、(21)獲得關(guān)于Ω的12次多項式。求解參數(shù)方程，可得式(9)發(fā)生鞍結(jié)分叉條件的參數(shù)空間。全周碰摩解的鞍結(jié)分叉點處幅值A(chǔ)為大于1的正實數(shù)。

基于Hopf分叉理論，系統(tǒng)會有一對共軛純虛數(shù)特征值。將λ=+iωυ代入式(20)得：

(22)

消去參數(shù)ωυ得(代入λ=-iωυ得同樣結(jié)果)：

(23)

需滿足不等式：

b1/b3>0

(24)

用式(9)、(23)消去幅值A(chǔ)，求解參數(shù)方程，可得系統(tǒng)發(fā)生Hopf分叉的邊界線HF。同頻全周碰摩解Hopf分叉點處幅值A(chǔ)為大于1的正實數(shù)。

3 系統(tǒng)參數(shù)對轉(zhuǎn)軸響應(yīng)影響

由式(15)知，轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)在無碰摩狀態(tài)下周期解總是穩(wěn)定的，但轉(zhuǎn)軸與軸承間間隙有限，因此周期解不可能在系統(tǒng)的所有參數(shù)下一直存在。由式(8)及分析知，線性橡膠軸承/轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)激振頻率分別由高、低轉(zhuǎn)速趨向系統(tǒng)固有頻率時，系統(tǒng)振動幅值A(chǔ)會在Ω=Ωl與Ω=Ωu處趨近1。當轉(zhuǎn)軸/軸承系統(tǒng)處于接觸狀態(tài)、激振頻率分別向低、高轉(zhuǎn)速變化時，系統(tǒng)振動幅值A(chǔ)會在Ω=SNl與Ω=SNu處趨近1。由式(9)、(21)知，碰摩狀態(tài)存在于轉(zhuǎn)速SNl與SNu之間，SNl與Ωl基本相等，SNu與Ωu或相等或不等，取決于系統(tǒng)參數(shù)，兩者不等時系統(tǒng)振動幅值將隨轉(zhuǎn)速的變化出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。如將曲線Ω=Ωl，Ω=Ωu，Ω=SNl，Ω=SNu，Hopf分叉邊界HF繪制于(Ω,ξ)平面，則該平面將被分隔成若干部分，不同部分代表系統(tǒng)不同運動狀態(tài)，即(A)，(B)為無碰摩周期運動；(C)為同頻全周碰摩運動；(D)為局部碰摩運動及反向渦動失穩(wěn)運動；(E)為無碰摩周期運動及同頻全周碰摩運動共存，即處于接觸狀態(tài)條件下系統(tǒng)做同頻全周碰摩運動，而處于非接觸狀態(tài)條件下系統(tǒng)做無碰摩周期運動；(F)為無碰摩周期運動、局部碰摩運動或反向渦動失穩(wěn)運動，即處于接觸狀態(tài)條件下系統(tǒng)做局部碰摩運動或反向渦動失穩(wěn)運動，而處于非接觸狀態(tài)條件下系統(tǒng)做無碰摩周期運動。

對不同參數(shù)取值下系統(tǒng)運動狀態(tài)演變過程分別進行討論。取偏心率ρ=0.8，系統(tǒng)各參數(shù)分別為：f=0.2,β=0.5，g=0.01。此時曲線Ω=Ωl，Ω=Ωu，Ω=SNl，Ω=SNu，分叉邊界HF將(Ω,ξ)平面分成四部分，轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速Ω，阻尼比ξ參數(shù)平面內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)特性區(qū)域見圖3。因Ωl=SNl，Ωu=SNu，系統(tǒng)不會發(fā)生跳躍現(xiàn)象。由圖3知，在區(qū)域(C)內(nèi)轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)做同頻全周碰摩運動，在區(qū)域(D)內(nèi)系統(tǒng)做非穩(wěn)定周期碰摩運動。

將系統(tǒng)偏心率減小為ρ=0.5時，轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)響應(yīng)穩(wěn)定區(qū)域發(fā)生明顯變化，見圖4。

與偏心率ρ=0.8情況相比，系統(tǒng)響應(yīng)特性在(Ω,ξ)平面內(nèi)發(fā)生顯著變化，邊界Ω=Ωl=SNl向右移動，邊界Ω=Ωu與Ω=SNu向左移動，且曲線Ωu，SNu不重合。Hopf分叉邊界線HF無明顯變化。因此，非穩(wěn)定碰摩響應(yīng)區(qū)域(D)及同頻全周碰摩運動區(qū)域(C)的兩側(cè)邊界向中間靠攏而縮小，表明系統(tǒng)出現(xiàn)全周碰摩轉(zhuǎn)速范圍變??；出現(xiàn)同頻全周碰摩運動與無碰摩周期運動共存區(qū)域(E)及無碰摩周期運動、局部碰摩運動或反向渦動失穩(wěn)運動區(qū)域(F)。此時轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)同頻全周碰摩運動會存在于Ω=Ωl與Ω=SNu區(qū)間內(nèi)；區(qū)間Ω>Ωu存在無碰摩周期運動，故在區(qū)間Ωu，SNu間同頻全周碰摩運動與無碰摩周期運動均可能存在。當轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)轉(zhuǎn)速Ω發(fā)生變化時會有跳躍現(xiàn)象發(fā)生。

由討論可知，偏心率降低會使碰摩區(qū)域發(fā)生明顯變化并出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，因此，需進一步討論其對轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)響應(yīng)影響。轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)在(Ω,ρ)平面的響應(yīng)特性見圖5。

圖3 轉(zhuǎn)軸碰摩響應(yīng)在(Ω, ξ)平面穩(wěn)定區(qū)域圖(ρ=0.8)

由式(8)所得Ωu，Ωl值可給出轉(zhuǎn)軸與軸承由無接觸向接觸過渡時臨界轉(zhuǎn)速上、下邊界。由圖5看出，①系統(tǒng)共振振幅小于轉(zhuǎn)軸與軸承間間隙即ρ<0.17時，轉(zhuǎn)軸與軸承間不發(fā)生碰摩；隨偏心率的增加Ωl逐漸減小而Ωu卻逐漸增大，因此Ωl與Ωu間區(qū)域增大，即發(fā)生碰摩的轉(zhuǎn)速區(qū)間增大。②同理可得轉(zhuǎn)軸與軸承由接觸狀態(tài)向脫離接觸狀態(tài)過渡時轉(zhuǎn)速的上、下邊界值SNu及SNl，而Ωl與SNl總相等；Ωu與SNu在0.17<ρ<0.65范圍內(nèi)不相等，該區(qū)域內(nèi)轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)振幅隨轉(zhuǎn)速的變化會發(fā)生跳躍現(xiàn)象，且隨偏心率的增加發(fā)生跳躍現(xiàn)象的轉(zhuǎn)速區(qū)間呈現(xiàn)先增大后減小直至消失的趨勢；③由于轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)Hopf分叉邊界HF與鞍結(jié)分叉邊界SNu在ρ=0.3處相交一點，ρ>0.3時，隨偏心率的增加，開始發(fā)生Hopf分叉的轉(zhuǎn)速Ω逐漸減小，導(dǎo)致落在區(qū)域(E)內(nèi)的轉(zhuǎn)速區(qū)間不斷縮小并最終消失；0.17<ρ<0.3時，系統(tǒng)不會出現(xiàn)Hopf分叉及失穩(wěn)現(xiàn)象，只會出現(xiàn)無碰摩周期運動、同頻全周碰摩運動或兩運動狀態(tài)跳躍轉(zhuǎn)變現(xiàn)象。

4 結(jié) 論

本文對軸承簡化為非線性彈性支撐轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)發(fā)生周期無碰摩運動與同頻全周碰摩運動存在的區(qū)域及穩(wěn)定性進行研究，并分析阻尼比及偏心率等系統(tǒng)參數(shù)對轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)動態(tài)特性影響、對不同轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)響應(yīng)特性邊界條件影響。結(jié)論如下：

(1)轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)Hopf分叉邊界HF為轉(zhuǎn)速、摩擦系數(shù)、阻尼比及偏心率的函數(shù)。Hopf分叉邊界將碰摩響應(yīng)區(qū)域劃分成同頻全周碰摩響應(yīng)區(qū)域與局部碰摩運動、反向渦動失穩(wěn)運動區(qū)域兩部分。

(2)阻尼比是影響轉(zhuǎn)軸碰摩響應(yīng)的主要參數(shù)之一。大阻尼比系數(shù)下，轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)響應(yīng)主要為無碰摩周期運動、同頻全周碰摩運動及兩種響應(yīng)共存；小阻尼比系數(shù)會出現(xiàn)不穩(wěn)定碰摩運動。因此，大阻尼比轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)更穩(wěn)定。

(3)偏心率是轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)重要參數(shù)之一，偏心率小轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)穩(wěn)定。偏心率小至轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)共振幅值小于間隙時，轉(zhuǎn)軸與軸承間不發(fā)生碰摩。隨偏心率的增加轉(zhuǎn)軸與軸承會在某狀態(tài)下發(fā)生碰摩；小偏心率時，系統(tǒng)有周期無碰摩運動及同頻全周碰摩運動且會發(fā)生在兩運動狀態(tài)間跳躍現(xiàn)象，較大偏心時系統(tǒng)會在某轉(zhuǎn)速下發(fā)生Hopf分叉,且隨偏心率的增大,發(fā)生Hopf分叉所需轉(zhuǎn)速會降低。

參 考 文 獻

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