趙 茜,李宏儒,吳軍虎

(西安理工大學(xué),陜西西安710048)

結(jié)構(gòu)可靠度是指結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時間和條件下，完成預(yù)定功能的概率。目前, 可靠度的計算方法主要有一次二階矩法、驗(yàn)算點(diǎn)法(JC法)、蒙特卡羅法等[1]。JC 法是國際上推薦的可靠度計算方法。JC 法在計算可靠度指標(biāo)β的過程中，對于確定的極限狀態(tài)方程表達(dá)式g(x)，求偏導(dǎo)?g/?xi的值, 計算出均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ，采取數(shù)值迭代法重復(fù)上述過程,直至計算過程收斂, 并得出可靠度指標(biāo)β和驗(yàn)算點(diǎn)的坐標(biāo)。此法計算概念明確，但對于功能函數(shù)為非線性方程且變量較多時進(jìn)行微分計算則較為麻煩。蒙特卡羅法，即統(tǒng)計試驗(yàn)法，在目前結(jié)構(gòu)可靠度分析計算中, 它被認(rèn)為是一種相對精確的方法。蒙特卡羅法求解結(jié)構(gòu)失效概率的基本思路是: 先對影響其可靠度的隨機(jī)變量進(jìn)行大量隨機(jī)抽樣, 然后把這些抽樣值一組一組地代入功能函數(shù)式, 確定結(jié)構(gòu)失效與否, 最后求得結(jié)構(gòu)的失效概率, 失效概率即結(jié)構(gòu)失效次數(shù)占總抽樣數(shù)的頻率。蒙特卡羅法的優(yōu)點(diǎn)在于其精度隨著N的次數(shù)增加而漸次提高。若N值選取足夠大時, 則可得到失效概率的相對精確值。但當(dāng)遇到小破壞概率時, 用蒙特卡羅法直接計算的次數(shù)往往多達(dá)幾萬甚至幾十萬次，計算時間過長。

鋼筋混凝土梁受彎承載力極限狀態(tài)功能函數(shù)是非線性的，如果采用求導(dǎo)數(shù)的可靠度計算方法,極限狀態(tài)功能函數(shù)難以處理。目前有一些近似計算不涉及求功能函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 如某些數(shù)值方法、蒙特卡羅(Monte·calo)法等。 但前者推導(dǎo)復(fù)雜, 編制的計算機(jī)程序通用性差, 后者需進(jìn)行大量的模擬計算, 效率較低, 且難于掌握。本文利用鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中的隨機(jī)變量一般都服從正態(tài)分布這一特點(diǎn), 采用幾何優(yōu)化法, 從可靠度指標(biāo)的幾何涵義出發(fā), 運(yùn)用最優(yōu)化計算方法, 不需進(jìn)行功能函數(shù)的求導(dǎo)計算來求解可靠度指標(biāo)β和驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)。利用Matlab 語言求解數(shù)學(xué)最優(yōu)化問題，程序簡便、通用性強(qiáng)，可以方便地應(yīng)用到土木工程領(lǐng)域[2-3]。

1 結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)的定義

在結(jié)構(gòu)的可靠度分析中[4]，結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)一般由功能函數(shù)來加以描述，功能函數(shù)可表示為:

Z=g(X1,X2,...,Xn)

(1)

上式中Xi(i=1,2,...,n)為影響結(jié)構(gòu)某一功能的基本變量。

當(dāng)Z>0時，結(jié)構(gòu)處于可靠狀態(tài)；Z=0時，結(jié)構(gòu)達(dá)到極限狀態(tài)；Z<0時，結(jié)構(gòu)處于失效狀態(tài)，方程

Z=g(X1,X2,...,Xn)=0

(2)

稱為結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程，它是結(jié)構(gòu)可靠度分析的重要依據(jù)。結(jié)構(gòu)功能函數(shù)Z>0的概率稱為結(jié)構(gòu)的可靠概率(Pr)；功能函數(shù)Z<0的概率稱為該結(jié)構(gòu)的失效概率(Pf)。二者原則上可通過多維積分式計算求得:

(3)

(4)

上式中f(x1,x2,...,xn,)是Z的分布密度函數(shù)，二者之間滿足關(guān)系:

Pr+Pf=l

(5)

當(dāng)功能函數(shù)中有多個隨機(jī)變量或功能函數(shù)為非線性時，上述積分計算會十分復(fù)雜甚至難于求解，因此一般不用這種直接積分求解可靠概率。工程上常通過可靠指標(biāo)β的求解來衡量結(jié)構(gòu)的可靠程度。假設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,...,Xn均服從正態(tài)分布,且相互獨(dú)立，如果功能函數(shù)Z=g(X1,X2,...,Xn)為線性函數(shù),那么Z也是服從正態(tài)分布。β的定義可表示為:

(6)

μz、σz分別表示Z的均值、均方差。在變量相互獨(dú)立的假設(shè)下有:

(7)

μxi、σxi分別表示第i個隨機(jī)變量的均值、均方差。

β與Pr、Pf之間的關(guān)系為：

Pr=1-Pf=1-Φ(-β)=Φ(β)

(8)

2 最優(yōu)化方法求解可靠度的數(shù)學(xué)模型

對獨(dú)立、正態(tài)隨機(jī)變量Xi進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換:

(9)

極限狀態(tài)方程在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系中的表達(dá)式為:

(10)

圖1 可靠指標(biāo)與極限狀態(tài)曲面關(guān)系

它代表了n維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的一個曲面。該曲面將基本變量空間分成了可靠區(qū)和失效區(qū)兩部分，圖1給出了三個變量的情況。在結(jié)構(gòu)可靠度分析中，結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)β的幾何意義是：在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系中，從原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面Z=0的最短距離。β的計算可轉(zhuǎn)化為求這個最短距離的問題，即 ：

(11)

于是結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)計算的優(yōu)化模型可表示為:

(12)

3 非線性隨機(jī)變量的轉(zhuǎn)化

在實(shí)際工程中, 絕大部分結(jié)構(gòu)常包含非正態(tài)分布的基本隨機(jī)變量，對于這種極限狀態(tài)方程的可靠度分析，一般先要把非正態(tài)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化后再進(jìn)行求解，對各個隨機(jī)變量Xi(i=1,2,...n)做等概率映射變換：

F(Xi)=Φ(Yi)(i=1,2,...n)

(13)

(14)

常用的幾種分布計算公式[5]:

(1)正態(tài)分布

(15)

(2)對數(shù)正態(tài)分布

(16)

(3) 極值I型分布

Fxi(xi)=exp(-exp(-α(xi-u)))

(17)

4 工程計算實(shí)例

例1： 已知極限狀態(tài)方程z=fw-1140=0;隨機(jī)變量f、w均服從正態(tài)分布,μf=38，δf=0.1；μw=54，δw=0.05，求可靠指標(biāo)及驗(yàn)算點(diǎn)計算結(jié)果見表1。

表1 計算結(jié)果對比

例2：某矩形截面梁，b×h=250 mm×500 mm，as=35 mm，混凝土強(qiáng)度等級C30,鋼筋選用HRB400級，As=625 mm2, 永久荷載、可變荷載效應(yīng)為SG、SQ(α1=1.0，fc=14.3 N/ mm2，fy=360 N/ mm2，ζb=0.52 ,ρmin=0.5 %)，各參數(shù)隨機(jī)變量均值與標(biāo)準(zhǔn)值見表2[6],求梁受彎極限承載力的可靠度。

(1)梁抗彎極限狀態(tài)方程為：

上式中Bm是指結(jié)構(gòu)構(gòu)件計算模式的不確定性，主要是指抗力計算中采用的基本假定的近似性和計算公式的不確定性。

(2)進(jìn)行正態(tài)當(dāng)量變換。

按等概率映射變換后所得結(jié)果見表2。

表2 各參數(shù)隨機(jī)變量均值與標(biāo)準(zhǔn)值

(3)將隨機(jī)變量x1～x8代入極限方程得

(0.04×y1+1.05)×{[(0.02×y7+465)×exp(0.0742×y2+5.95)×(0.014×y8+625)]-

(4)Matlab 程序如下

function f= example(y) %定義目標(biāo)函數(shù)

f= sqrt(y(1) ^2+ y(2) ^2+ y(3) ^2+ y(4) ^2+ y(5) ^2+y(6) ^2+ y(7) ^2+ y(8)^2) ;

function [c,ceq] = example1(y)

%定義約束條件函數(shù)

c=(0.04*y(1)+1.05)*(((0.02*y(7)+465)*exp(0.0742*y(2)+5.95)*(0.014*y(8)+625))-0.5*((exp(0.0742*y(2)+5.95)*(0.014*y(8)+625))^2/((4.437*y(3)+26.1)*(0.01*y(6)+250)))-3.3*y(4)-30 000 000-40 000 000+(log(-log(normcdf(y(5),0,1))))/0.2136)

ceq= [];

%主程序?yàn)?

y0= [0,0,0,0,0,0,0,0]； %初始迭代點(diǎn),可取均值。

A=[];

b=[];

Aeq=[];

beq=[];

vlb=[];

vub=[];

[y,fval]=fmincon(@example,y0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,@example1) %調(diào)用優(yōu)化工具箱求解

計算結(jié)果：y = (-0.0015 -5.9017 -0.4242 0.0005 0.0005 0.0004 -0.0031 -0.0013)

β=5.9169

5 結(jié)論

本文首先從可靠度指標(biāo)的幾何涵義出發(fā)，導(dǎo)出其求解可靠度指標(biāo)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型, 用最優(yōu)化法求可靠度指標(biāo), 整個求算過程只用到目標(biāo)函數(shù)值, 沒有將極限狀態(tài)方程作線性化展開，不用進(jìn)行迭代次計算，可以避免線性化帶來的近似性。由算例1可知所得的結(jié)果與按JC 法和Monte·Carlo 法是一致的。同時, 此法求解簡單, 意義明確, 程序通用性高, 它既克服了JC法迭代計算的繁瑣過程, 又克服了Monte· Carlo 法計算效率低下的缺點(diǎn)。

由算例2證明，梁受彎承載能力為非線性極限狀態(tài)方程，有許多非正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且不易求導(dǎo)，與其他方法相比,使用最優(yōu)化理論對結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠度分析方法實(shí)用，計算結(jié)果合理，計算工作量小. 這為進(jìn)一步研究復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠性提供了參考。

Matlab具有非常豐富和強(qiáng)大的功能,可以非常方便地編寫出簡潔高效的可靠度計算程序, 大大提高可靠性分析計算的工作效率?；贛atlab的可靠性快速算法的研究與開發(fā)具有良好的應(yīng)用前景和工程實(shí)用價值。

[1] 趙國藩.結(jié)構(gòu)可靠度理論[M].北京:中國建筑工業(yè)出版社,2000

[2] 許波.Matlab 工程數(shù)學(xué)應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社, 2000

[3] 陳懷琛.Matlab及其在理工課程中的應(yīng)用指南[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2004

[4] GB 50068-2001建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)[S]

[5] 薄士威.基于Matlab7.0的梁板結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)求解[J].水利與建筑工程學(xué)報,2009,(12)

[6] 馬宏旺.鋼筋混凝土梁抗震可靠度校核以及強(qiáng)剪弱彎設(shè)計可靠性分析[J].建筑結(jié)構(gòu),2000,(10)