葛 碧,王 培，徐艷艷

(1.重慶師范大學涉外商貿學院數(shù)學與計算機學院，重慶 合川 401520；2.西華大學數(shù)學與計算機學院,四川 成都 610039)

近年來,隨著分數(shù)階微分方程在工程、經濟等眾多領域的重要應用,此問題的研究亦受到眾多學者的關注。研究分數(shù)階微分方程及分數(shù)階微分方程的邊值問題對解決非線性問題意義重大。

本文主要研究以下邊值問題：

(1)

1 預備知識

定義1[1]函數(shù)f:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分數(shù)階積分為

其中：α>0；Γ(α)為Gamma函數(shù),右端在R+上逐點有定義。

定義2[1]函數(shù)f:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)為：

其中n=[α]+1,[α]表示α的整數(shù)部分,右端在R+上逐點有定義。

其中n-1<β

本文的主要結果證明將用到以下3個引理。

其中,cj∈R,j=1,2,…,n。n是滿足n≥α的最小整數(shù)。

引理2 若u(t)∈C[0,1],分數(shù)階邊值問題

(2)

結合Riemann-Liouville分數(shù)階積分的定義可有

則邊值問題(2)的唯一解可以表示為

在這里,

則函數(shù)|G′(t,s)|是t∈[0,1]上的可積函數(shù)。

我們考慮

故分數(shù)階邊值問題(1)有解等價于算子方程Tu=u有不動點(這里只考慮0<β<1的情況)。

C[0,1]表示[0,1]上全體連續(xù)函數(shù)，其范數(shù)定義為

易知(X,‖·‖X)是Banach空間。

引理3[1]設X是一個Banach空間，U?X為非空有界凸子集，又設T:U→U是一個全連續(xù)算子，則T在U中有不動點。

2 主要結論及證明

則分數(shù)階2點邊值問題(1)至少有1個解。

證明：令

令U={u(t)|u(t)∈X,‖u‖≤d,t∈[0,1]},則U是有界閉凸子集。

因此,T是連續(xù)的。

接下來,我們證明T:U→U。對任意的u(t)∈U有

因此,T是U→U的。

因為

2t2(1-t)α-1,2t2(1-τ)α-1,tα,t2,τα,τ2,4t(1-t)α,4t(1-τ)α,2t,2τ,4(t-τ)-β在[0,1]上都是一致連續(xù)的, 所以算子T是等度連續(xù)的, 又有Tu∈U, 故一致有界。 因此T是全連續(xù)算子。則由不動點定理可知,分數(shù)階邊值問題(1)在U中至少有一個解。

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