(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 611731)

非負(fù)矩陣是在理論和應(yīng)用2方面都非常重要的矩陣，尤其是非負(fù)矩陣的最大特征值相關(guān)問題一直是矩陣?yán)碚撗芯康臒狳c之一。本文給出了非負(fù)矩陣Hadamard積的最大特征值的上界的新估計。

1 預(yù)備知識

為了方便，給出如下定義。

定義1[1]如果A中任意元素aij≥0，則稱A=(aij)為非負(fù)矩陣。

定義3[3]設(shè)A∈Rn×n，則稱A是不可約的或存在置換矩陣P，使得

其中Ai是不可約的，i=1,2,…,k。

最近很多學(xué)者研究了關(guān)于非負(fù)矩陣Hadamard積的最大特征值的上界估計問題，例如和本文相關(guān)的文獻[4]和[5]得到了下面的結(jié)果。

定理1[4]設(shè)A=(aij)∈Rn×n和B=(bij)∈Rn×n均為非負(fù)矩陣，則

aiiρ(B)-biiρ(A)}

(1)

定理2[5]設(shè)A=(aij)∈Rn×n和B=(bij)∈Rn×n均為非負(fù)矩陣，則

(2)

2 主要結(jié)果及證明

這部分內(nèi)容主要給出了非負(fù)矩陣Hadamard積最大特征值的上界的新估計，并給出了比較結(jié)果。為了得到新結(jié)果，給出如下引理。

引理1[1]設(shè)A≥0為n階不可約矩陣，則

1)A有一個正實根等于它的譜半徑；

2)A有一個對應(yīng)于特征值ρ(A)的特征向量x>0。

引理2[4]設(shè)A、B為n階復(fù)矩陣，如果E、F為n階對角矩陣，則

引理3[6]如果A為不具有零行的非負(fù)矩陣，其中γi(A)表示矩陣A的第i行元素的絕對值之和，對任意的具有正對角元的對角矩陣D，有

引理4[1]設(shè)A=(aij)∈Rn×n為非負(fù)矩陣。如果Ak是A的主子矩陣，有ρ(Ak)≤ρ(A)。如果A是不可約的且Ak≠A，有ρ(Ak)<ρ(A)。

引理5[3]設(shè)A= (aij)∈Cn×n，(n≥2)，Ri表示A的第i個行蓋爾圓半徑。如果λ是A的特征值，則存在正整數(shù)對(r,q)且r≠q(1≤r,q≤n)，使得

|λ-arr|·|λ-aqq|≤RrRq

定理3 設(shè)A=(aij)∈Rn×n和B=(bij)∈Rn×n均為非負(fù)矩陣，則

(3)

ρ(A)>aii,?i∈N;ρ(B)>bii,?i∈N。

因為A=(aij)和B=(bij)均為非負(fù)不可約的，由引理1，則存在2個正向量u、v滿足Au=ρ(A)u，Bv=ρ(B)v。則有：

令D=VU，通過引理2，對任意的正對角矩陣D，有

通過引理5，存在正整數(shù)對(i,j)(i≠j,1≤i,j≤n)，滿足

(4)

由(4)式，推出

下面比較不等式(1)和(3)，不失一般性，對i≠j，假設(shè)

aiibii+ajjbjj+[(aiibii-ajjbjj)2+

(5)

又因為

(6)

由 (5) 式和(6)式我們能得到

所以，(3)式的界要比(1)式的好。下面對(2)式和(3)式作比較，容易得到

由此可見(3)式的界要比(2)式的界好。但是，由于(3)式需要知道非負(fù)矩陣A和B的Perron向量使得計算量可能比較大，這是(3)式的不足之處。

3 數(shù)值例子

直接計算得

由(1)式得

由(2)式得

由(3)式得

這個例子說明(3)式得到的界比(2)式和(1)式更加精確。

直接計算得

由(1)式得

由(2)式得

由(3)式得

ρ(A°B)≤21.136 2

這個例子也能說明(3)式得到的界比(2)式和(1)式更加精確。

[1] 黃庭祝，楊傳勝. 特殊矩陣分析及應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2007:47.

[2]Li Y T,Li Y Y, Wang R W, et al. Some New Bounds on Eigenvalues of the Hadamard Product and the Fan Product of Matrices[J]. Linear Algebra Appl, 2010, 432 : 536-545.

[3]Zhou D M , Chen G L , Wu G X , et al. On some New Bounds for Eigenvalues of the Hadamard Product and the Fan Product of Matrices[J]. Linear Algebra Appl, 2012, In Press.

[4]Liu Q B , Chen G L. On Two Inequalities for the Hadamard Product and the Fan Product of Matrices[J].Linear Algebra Appl, 2009, 431: 974-984.

[5]Liu Q B , Chen G L, Zhao L L.Some New Bounds on the Spectral Radius of Matrices[J]. Linear Algebra Appl, 2010,432:936-948.

[6]Kolotilina L Y. Bounds for the Perron Root, Singularity/ Nonsingularity Conditions, and Eigenvalue Inclusion Sets[J]. Numer Algorithm ,2006 ,42 : 247-280.