劉 娟1,， 王 沁，劉 曦 ，昌春艷

(1.湖南科技學院數(shù)學與計算科學系計算數(shù)學研究所，湖南 永州 425199；2.西南交通大學數(shù)學學院，四川 成都 610031)

Copula目前在金融領域的應用非常廣泛，特別是在金融市場上的風險管理、投資組合的選擇、資產定價等方面。利用Copula函數(shù)，可以將若干個隨機變量的邊緣分布連接為聯(lián)合分布[1]。Copula函數(shù)的引入，可將金融資產的風險分解成單個資產的風險和投資組合產生的風險2部分，其中單個資產的風險可以由各自的邊緣分布來描述，而投資組合產生的風險則由他們的連接函數(shù)來刻畫。Copula建模的方法與普通的線性相關的建模方法不同，且其導出的相依指標在單調變化下具有不變性[2-3]。時變Copula即變量之間相關系數(shù)的時變，最先提出時變相關Copula模型的是Patton[4],用一個類似ARMA(1,10)的過程來描述二元正態(tài)Copula函數(shù)的相關參數(shù)。Van den Goorbergh等[5]將動態(tài)Copula模型應用于2種不同的金融市場，并對其結果作對比分析。B. Candelon等[6]運用時變Copula模型對金融危機后的股票市場進行分析。龔樸等[7]建立了用于描述時變相依參數(shù)的新的演化方程，采用時變條件t-Copula模型對我國人民幣匯率制度改革前后美元、歐元和日元兌人民幣匯率之間的相關性進行了研究。楊楠等[8]通過構建效用評估函數(shù)，使用時變相關t-Copula模型、蒙特卡洛模擬和VaR計算方法系統(tǒng)研究了我國國際儲備的最優(yōu)結構。

本文采用Kendall tau 來構建其相關系數(shù)的時變性，從而達到時變Copula的目的。本文內容安排如下：第1部分時變相關Copula理論；第2部分針對金發(fā)科技和ST國農2支股票數(shù)據(jù)建立Copula模型；第3部分利用所建立的Copula模型計算VAR；第4部分是小結。

1 時變相關Copula

1.1 秩相關參數(shù)

時變相關Copula模型的關鍵在于Copula函數(shù)的相關參數(shù)的時變形式。Copula函數(shù)的相關參數(shù)常見的有Kendall tau 、spearman rho 、尾相關。 Kendall tau 、spearman rho是一個全局變量，而尾相關是一個局部變量，本文選取Kendall tau 作為Copula函數(shù)的相關參數(shù)。下面介紹Kendall tau[9]。

定義1設X=(x1，x2)，Y=(y1，y2)，且(x1,y1)、(x2,y2)是獨立同分布的隨機向量，令Kendall tau秩相關系數(shù)τ為

τ=P[(x2-x1)(y2-y1)>0]-P[(x2-

x1)(y2-y1)<0]=2P[(x2-x1)(y2-y1)>0]-1

(1)

若隨機變量X、Y的邊緣分布分別為F(x)、G(y),相應的Copula函數(shù)為C(u、v)，其中u=F(x),v=G(y)，u,v∈I,I=[0,1]，則Kendall tau秩相關系數(shù)τ為

τ=4?I2C(u,v)dC(u,v)-1

(2)

1.2 Copula函數(shù)及邊緣分布函數(shù)的選取

由于金融時間序列的分布多呈現(xiàn)時變、波動集群、高峰等特性，本文選取Copula函數(shù)為二元正態(tài)Copula函數(shù)，對應的邊緣分布為GARCH模型。

二元正態(tài)Copula函數(shù)的分布函數(shù)及其密度函數(shù)的表達式分別為：

(3)

(4)

其中：Φ-1(·)是標準一元正態(tài)分布函數(shù)Φ(·)的逆函數(shù)；ρ為相關參數(shù)，即為Φ-1(u)與Φ-1(t)的線性相關系數(shù)；u、t為邊緣分布數(shù)據(jù)。

Bollerslev給出的GARCH(p,q)模型[10]為：

(7)

其中εt是隨機擾動項，且E(εt)=0。

2 Copula模型的建立

2.1 數(shù)據(jù)的選取及其描述性統(tǒng)計

本文選取ST國農和金發(fā)科技2支股票的日收盤價，數(shù)據(jù)選取2011年1月4日到2012年5月31日之間的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來自CCER數(shù)據(jù)庫。P為收盤價，收益率：Rt=lnpt-lnpt-1,由此得到金發(fā)科技和ST國農的日收益率數(shù)據(jù)。在組合中，金發(fā)科技和ST國農的權重比分別為1∶1和3∶7。表1為各收益率序列的總體指標，表2為指數(shù)收益率序列的單位根檢驗值。2種股票的日收益率線圖如圖1所示。

表1 ST國農和金發(fā)科技的描述性統(tǒng)計

圖1 2種股票的日收益率線圖

由表1和圖1可以看出，2只股票有一定的叢集性，存在尖峰的現(xiàn)象。ST國農數(shù)據(jù)較金發(fā)科技數(shù)據(jù)平穩(wěn)。

表2 金發(fā)科技與ST國農的單位根檢驗

ADF檢驗的原假設是2支股票均存在單位根，由表2可以看出，其P值趨于0，所以拒絕原假設，2支股票不存在單位根，數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的時間序列。

2.2 GARCH模型的建立

根據(jù)前面的描述性統(tǒng)計，本文對其邊緣分布建立GARCH(1,1)-Norm模型，得到其參數(shù)估計如表3所示。

表3 GARCH(1,1)-Norm模型的參數(shù)估計

觀察表3，2只股票其α+β項的值均小于1，故可知其GARCH(1,1)模型是平穩(wěn)的，95%的置信水平下其參數(shù)估計是顯著的。所建立的GARCH(1,1)模型分別為：

2.3 時變Copula

根據(jù)Kendall tau的定義，本文采用滑動窗寬的方法來構建時變Kendall tau,其具體步驟如下：

1)對金發(fā)科技與ST國農所建立的GARCH模型中的et1,et2作概率積分變換，得到的數(shù)據(jù)分別用u,t表示。

圖2 滑動窗口為50的Kendall tau 線圖

Kendall tau是一個全局變量，它反映了變量之間相關系數(shù)隨時間發(fā)生的變化。

總體參數(shù)ρ與Kendall tau存在如下的一一對應關系

(8)

根據(jù)ρ與Kendall tau存在的一一對應關系得到ρ的時變圖(見圖3)。

圖3 總體參數(shù)ρ的時變圖

3 蒙特卡洛模擬計算VaR

建立了恰當?shù)臅r變正態(tài)Copula模型的前提下，采用蒙特卡洛模擬方法計算資產組合風險值的程序如下：

Step1: 利用時變參數(shù)ρt產生100個隨機數(shù)對(μ1,μ2)～CGaussian(.,.)，取第50個數(shù)對為(μt1,μt2)。

Step3:用所建立的GARCH(1,1)模型，計算

(9)

Rt1=0.5xt1+0.5xt2

(10)

Rt2=0.3xt1+0.7xt2

(11)

其中：Rt1為金發(fā)科技和ST國農的比例為1∶1的組合：Rt2為金發(fā)科技和ST國農的比例為3∶7的組合。

Step4: 將所得的Rt1、Rt2按從小到大的順序排序，取對應分位數(shù)下的值即為所求VaR。

本文對VaR的準確性檢驗采用的是Kupic等的失敗檢驗法[11]。該方法假定VaR估計具有時間的獨立性，實際損失超過VaR的估計為失敗，實際損失低于VaR為成功。假定計算VaR的置信度為C，實際考察天數(shù)為T，失敗天數(shù)為N，則失敗率為p(N/T)。GARCH(1,1)-Norm下的VaR如表4所示。

表4 GARCH(1,1)-Norm下的VaR

由表4可以得出，ST國農在置信水平為95%時，其風險要比金發(fā)科技的好，但是在置信水平為99%時，其風險要比金發(fā)科技大。無論置信水平是在95%或者是99%，其組合資產風險均要小于單個資產的風險，這跟實際情況是相符的，當組合權重分別為0.5和0.5時其風險要比其組合權重為0.3和0.7的低，不同權重的資產組合其風險不同。

4 結論

本文選取ST國農和金發(fā)科技2支股票的日收盤價，取其對數(shù)收益率，對每只股票的數(shù)據(jù)建立GARCH(1,1)-Norm模型，根據(jù)GARCH(1,1)-Norm模型的殘差項建立時變Kendall tau,由時變Kendall tau 模擬產生服從二元正態(tài)Copula的隨機數(shù)據(jù)，最終根據(jù)其產生的隨機數(shù)據(jù)，利用蒙特卡羅模擬技術計算其單個資產風險和組合資產風險，得出組合投資能減低風險的結論。

同時由表4可以看出不同權重的資產組合其風險不同，本文只是列舉2種不同的權重，而如何找到不同股票數(shù)據(jù)的最佳權重，有待進一步研究。

[1]劉偉,陳功,馬利軍.含狀態(tài)轉換的Copula模型及其應用[J].運籌與管理，2009,18(5):120-125.

[2]高岳,王家華,楊愛軍.具有時變自由度的t-Copula蒙特卡羅組合收益風險研究[J].中國管理科學，2011,19(2):10-15.

[3]韋艷華，張世英.金融市場的相關性分析：Copula-GARCH模型及其應用[J].系統(tǒng)工程，2004,22(4):7-12.

[4]Patton A J.Modeling Time-varying Exchange Rate Dependence Using the Conditional Copula[D]. San Diego :University of Califonia,2001.

[5]Van den Goorbergh R W J, Genest C, Werker B J M. Bivariate Option Pricing Using Dynamic Copula Models[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2005,37:101-114.

[6]Candelon B，Manner H. Testing for Asset Market Linkages: A New Approach Based on Time-varying Copulas[J]. Pacific Economic Review, 2010,15:364-384.

[7]龔樸,黃榮兵.外匯資產的時變相關性分析[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐, 2008(8):26-37.

[8] 楊楠,邱麗穎.我國國際儲備資產的最優(yōu)結構研究：基于時變Copula及VaR的投資組合模型分析[J]. 財經研究, 2012,38(5):15-27.

[9] Nelsen R B.An Introduction to Copulas[M]. New York:Elsevier Science,2006:158-160.

[10]Botterstev T. Generalized Autoregressive Conditionat Heter os Kedastility[J]. Jourhat of Econometrics，1986，31:307-327.

[11] Kupic,Paul. Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Measurement Model.Journal of York[J].Journal of Derivatives,1995:73-84.