張國輝，李 葛，李 龍

(1.衡陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系, 中國 衡陽 421002；2.湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計量經(jīng)濟學(xué)院，中國 長沙 410082)

貨幣賬戶帶時滯的期權(quán)定價

張國輝1*，李 葛2，李 龍1

(1.衡陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系, 中國 衡陽 421002；2.湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計量經(jīng)濟學(xué)院，中國 長沙 410082)

在股票價格過程和貨幣市場賬戶均受時滯影響時，利用無風(fēng)險對沖原理和鞅定價原理，得到了標準歐式期權(quán)的價格公式．研究表明，時滯對期權(quán)價格公式有明顯的影響．

期權(quán)；時滯；鞅定價原理；Girsanov定理；無風(fēng)險對沖原理

大量研究表明波動率以一種不確定性的方式依賴于時間，從而使得經(jīng)典B-S公式在預(yù)測期權(quán)價格的時候不夠理想[1-4], 此時可以考慮在股票價格過程引入時滯，即過去資產(chǎn)價格對期權(quán)定價的影響．Federico等學(xué)者研究了時滯對最優(yōu)停時的影響，這在美式期權(quán)定價中有重要運用[5]． Larssen,Federico等學(xué)者研究了時滯在隨機控制中的應(yīng)用[6-7]，Kazmerchuk, Arriojas等學(xué)者研究了在時滯影響下的后期權(quán)定價問題[8-9]．隨后，李,黃[10-12]研究了股票價格過程在分紅和時滯影響下對歐式期權(quán)定價公式的影響，并得到了關(guān)于期權(quán)價格的相關(guān)結(jié)論．國內(nèi)學(xué)者王磊、金治明也對波動率非常數(shù)的情形進行了研究[13].但是以上工作都沒有討論貨幣賬戶也帶有時滯的情形，本文在Arriojas等[9]討論的股票價格過程具有時滯的理論結(jié)構(gòu)下，做出了進一步的研究．

1 具有時滯的股票價格

首先，我們先定義擴散項和漂移項均具有時滯的標的資產(chǎn)在時刻t的價格過程，它由以下帶時滯的隨機微分方程給出：

(1)

在概率空間(Ω,F,P)中相應(yīng)的濾波滿足通常的條件，同時μ,a,b是正常數(shù)，L:=max(a,b)，g為R+→R+上的連續(xù)函數(shù)．初值過程φ(t):Ω→C([-L,0],R)是F0可測的，F(xiàn)0是關(guān)于C([-L,0],R)的Borelσ-代數(shù)，W(t)為標準布朗運動．

由文獻[9]可知，對于給定的F0可測初值過程φ:Ω→C([-L,0],R)，帶時滯的隨機微分方程(1)有路徑唯一的解S，且假如φ(0)>0，a.s.則S(t)>0對于所有的t≥0，a.s.且方程的解為：

(2)

(3)

g為R+→R+上的連續(xù)函數(shù)．由式(3)是一個常時滯的泛函微分方程，可以通過逐步積分的方法得到M(t)的顯式解，是一個確定性的函數(shù)，不妨記為M(t),t∈[0,T]．

引理1[14](鞅表示定理)設(shè)W(t),t∈[0,T]是在概率空間(Ω,F,P)上的一個布朗運動過程，Z(t)是關(guān)于過濾Ft，0≤t≤T的鞅，則存在一個可適過程Γu，0≤u≤T，使得：

引理3[14](鞅定價原理)假設(shè)存在等價鞅測度Q，未定權(quán)益Y可以被一個Q—容許的自融資交易策略h復(fù)制，則Y的無套利價格為：

2 帶時滯股票期權(quán)的價格公式

(4)

利用Girsanov定理和鞅定價原理可以證明下面定理．

其中Q記為在(Ω,F,P)上的風(fēng)險中性概率測度，并且滿足dQ=ρtdP，其中

(5)

對沖策略為

證定義測度Q，使得dQ=ρtdP，其中，

由文獻[13]可得EP(ρt)=1．

下面考慮自融資策略{πs(t),πM(t)}，t∈[0,T]，其表示在時刻t持有πs(t)單位股票，πM(t)單位無風(fēng)險資產(chǎn)，欲使得該投資組合在任意時刻t∈[0,T]滿足

πM(t)M(t)+πs(t)S(t)=M(t)·N(t)，t∈[0,T].

(6)

現(xiàn)在計算{πs(t),πM(t)}，t∈[0,T]，因為考慮的的策略是自融資的，所以

M(t)dπM(t)+S(t)dπs(t)=0.

由式(6)可得：

πM(t)dM(t)+πs(t)dS(t)=N(t)dM(t)+M(t)dN(t).

(7)

將dM(t),dS(t)帶入上式可得

πM(t)rM(t-c)dt+πs(t)[μS(t)S(t-a)dt+g(S(t-b))S(t)dW(t)]=

(8)

又根據(jù)式(5)可得

則可得

由鞅定價原理可得：

證畢.

定理2在定理1的假設(shè)條件下，記S是當前時刻的股票價格，K為敲定價格，T為到期日，V(t)表示一份標準歐式看漲期權(quán)的價格，則對于所有的t∈[T-l,T]，有

其中，

證在T時刻與未定權(quán)益X的收益為X=(S(T)-K)+，則由定理1可得，

由式(2)和(5)可得

從而，

其中

證畢.

3 結(jié)論

本文利用帶時滯的隨機微分方程理論和鞅定價原理，討論了股票價格過程和貨幣市場賬戶均帶有時滯的情形下，標準歐式看漲期權(quán)的定價．在一般情形，即不帶用時滯的情形下，由看漲看跌期權(quán)平價關(guān)系，對于標準歐式期權(quán)而言，由看跌或看漲期權(quán)的價格公式，就能獲得另一種期權(quán)的定價公式，但是由我們的結(jié)論可知，在時滯影響下期權(quán)價格公式呈現(xiàn)復(fù)雜性，故可以采用類似定理2中的方法對看跌期權(quán)進行定價．對于本文的特殊情形，即μs(t-a)=μ(t)，g(s(t-b))=σ(t)，dM(t)=rM(t)dt時，定價公式恰好是經(jīng)典B-S定價公式．在考慮貨幣賬戶具有時滯的情形下，期權(quán)定價的一些拓展性問題，比如交換期權(quán)定價等，將是未來研究方向.

[1] SHEINKMAN J, LEBARON B. Nonlinear dynamics and stock returns [J].J Business, 1989,62(3):311-337.

[2] LAUTERHACH B, SCHULTZ P. Pricing warrantst: an empirical study of the Black-Scholes model and its atternatives[J].J Fin, 1990,45(4):1181-1209．

[3] ELSANOUSII I, OKSENDAL B, SULEM A. Some solvable stochastic control problems with delay[J].Stoch Stocha Rep, 2000,71(1/2):69-89.

[4] HOBSON D, ROGERS L C G. Complete models with stochastic volatility[J]. Math Fin,1998,8(1):27-48．

[5] FEDERICO S, ?KENDAL B K. Optimal stopping of stochastic differential equations with delay driven by lévy noise[J]. Potential Anal, 2011,34(2):181-198.

[6] LARSSEN B. Dynamic programming in stochastic control of systems with delay[J].Stoch Stoch Rep, 2002,74(3/4):651-673.

[7] FEDERICO S, SUPERIORE S N. A stochastic control problem with delay arising in a pension fund model[J]. Fin Stoch, 2011,15(3):421-459.

[8] KAZMERCHUK Y, SWISHCHUK A, WU J. The pricing of option for securities markets with delayed response[J].Math Comput Simul, 2007,75(3/4):69-79.

[9] ARRIOJAS M, HU Y, MOHHAAMMED S E,etal. A delayed black and scholes formula[J].Stoch Anal Appl, 2007,25(2):471-492．

[10] 李亞瓊, 黃立宏. 紅利支付下的具有時滯的股票期權(quán)定價[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 2009,36(12):89-92.

[11] 李亞瓊, 黃立宏. 雙幣種期權(quán)與時滯期權(quán)定價研究[M]. 長沙：湖南大學(xué)出版社, 2011.

[12] 李亞瓊, 黃立宏. 漂移項和擴散項具有時滯的股票期權(quán)定價[J]. 經(jīng)濟數(shù)學(xué), 2011,28(1):10-13.

[13] 王 磊, 金治明. 波動率非常數(shù)時一類博弈期權(quán)定價[J]. 湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報, 2009,32(1):7-10.

[14] KWOK K Y. Mathematical models of financial derivatives[R]. Singapore: Springer-Verlag,1998:35-180．

(編輯 胡文杰)

Option Pricing of Currency Market Accounts with Time-Delays

ZHANGGuo-hui1*,LIGe2,LILong1

(1.Department of Mathematics and Computational Science, Hengyang Normal University， Hengyang 421002, China；2. College of Mathematics and Econometrics, Hunan University, Changsha 410082, China)

Using the martingale pricing theory and the riskless hedging principle, the vanilla European option price formula is proposed, when considering the stock price process and currency market accounts with time-delays’ influence. Research has shown that time-delays have a significant effect on the option price formula.

option; time-delays; martingale pricing theory; Girsanov theorem; riskless hedging principle

2014-05-10

湖南省科技廳一般項目(2013NK3017);衡陽市科技局農(nóng)業(yè)科技支撐項目(2013KN36)

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,E-mail：zhangghui1230@163.com

F830

A

1000-2537(2014)05-0076-05