譚程 梁志珊

(中國石油大學(北京),地球物理與信息工程學院,北京 102249)

1 引 言

雖然分數(shù)階微積分理論擁有與整數(shù)階微積分幾乎一樣長的研究歷史,但由于缺乏明顯的幾何意義,使其應用一時受到了限制.直到近年來,在機械、物理、工程、信息科學、材料科學等領域發(fā)現(xiàn)存在分數(shù)階現(xiàn)象,使得分數(shù)階微積分理論有了實際的應用背景,從而成為了物理學和工程學的研究熱點[1?3].整數(shù)階微積分是相應分數(shù)階微積分的特例情況[4].已有的研究表明,相比于整數(shù)階的系統(tǒng)模型,其分數(shù)階模型能更透徹、更準確的反映系統(tǒng)的物理現(xiàn)象[5].

近年來,對電感和電容數(shù)學建模的研究結(jié)果表明:電感和電容本質(zhì)上都是分數(shù)階的[6],整數(shù)階的電感和電容在實際中并不存在,基于分數(shù)階微積分理論建立的電感和電容模型更能反映其電特性[7,8],以往用來描述電感和電容電特性的整數(shù)階模型是不夠準確的甚至可能是錯誤的.然而,電感和電容又是開關功率變換器電路中不可或缺的電子器件.以往對開關功率變換器的模型研究都是建立在電感和電容是整數(shù)階基礎上的,顯然這與其分數(shù)階的本質(zhì)是相違背的,是不科學的,這不能準確的反映開關功率變換器的動力學特性甚至可能會得出錯誤的結(jié)論.在已有的研究中,文獻[9]分析了分數(shù)階電容對功率因數(shù)校正變換器的影響,卻沒有考慮電感也是分數(shù)階的.文獻[10]所建立的分數(shù)階Buck-Boost變換器的模型也僅考慮了電容是分數(shù)階的.鑒于電感和電容本質(zhì)上都是分數(shù)階的事實,文獻[11]對工作于電感電流連續(xù)模式(continuous conduction mode,CCM)下的Boost變換器進行了分數(shù)階區(qū)間數(shù)學模型和分數(shù)階狀態(tài)平均模型的建立和分析,但沒有進行電路模型的仿真驗證且分數(shù)階CCM Boost變換器的控制輸出傳遞函數(shù)具有右半平面零點(right half plane,RHP)問題;文獻[12]對工作于電感電流斷續(xù)模式(discontinuous conduction mode,DCM)下的Boost變換器進行了分數(shù)階區(qū)間數(shù)學模型和分數(shù)階狀態(tài)平均模型的建立和分析,但也沒有進行電路模型的仿真驗證且分數(shù)階DCM Boost變換器有電感電流紋波大、帶負載能力弱等問題.而工作于電感電流偽連續(xù)模式(pseudo continuous conduction mode,PCCM)下的Boost變換器(又稱三態(tài)Boost變換器)具有比CCM模式和DCM模式變換器更優(yōu)良的工作性能[13].PCCM是一種介于CCM和DCM之間,Boost變換器的第三種工作模式[14].相對于CCM Boost變換器,PCCM Boost變換器的控制輸出傳遞函數(shù)不存在RHP問題,提高了系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性和動態(tài)響應性能;相對于DCM Boost變換器,PCCM Boost變換器具有電感電流紋波小、帶負載能力強的優(yōu)點.因此,對PCCM Boost變換器的分數(shù)階模型的研究是一項具有重要理論意義和實際應用價值的課題.

本文以PCCM Boost變換器為研究對象,推導出了PCCM Boost變換器的分數(shù)階區(qū)間數(shù)學模型和分數(shù)階狀態(tài)平均模型,對其電感電流和輸出電壓進行了理論分析以及傳遞函數(shù)的推導,并基于Matlab/Simulink的仿真環(huán)境,通過對推導的數(shù)學模型和電路模型進行仿真,分析了模型誤差產(chǎn)生的原因,驗證了分數(shù)階建模與理論分析的正確性.最后,指出了分數(shù)階Boost變換器工作于電感電流偽連續(xù)模式與連續(xù)模式、斷續(xù)模式的區(qū)別與聯(lián)系.

2 PCCM Boost變換器的分數(shù)階區(qū)間數(shù)學建模及分析

根據(jù)文獻[8]可知,分數(shù)階電感和分數(shù)階電容的數(shù)學模型為

其中,iL為流過分數(shù)階電感的電流,vL為分數(shù)階電感兩端的電壓,L為分數(shù)階電感值,iC為流經(jīng)分數(shù)階電容的電流,vo為分數(shù)階電容兩端的電壓,C為分數(shù)階電容值,α和β分別為電感和電容的分數(shù)階階數(shù)且0＜α,β＜1.

Boost變換器工作于電感電流偽連續(xù)模式下的電路原理圖和時序脈沖及電感電流波形,如圖1所示.其中,vin為輸入電壓,R為負載電阻,PS1為控制開關管S1通斷的周期性脈沖信號,PS2為控制開關管S2通斷的周期性脈沖信號,周期均為T.則PCCM Boost變換器的工作原理為

1)工作模態(tài)1(0＜t＜d1T):周期性脈沖信號PS1為高電平,PS2為低電平時,開關管S1導通、S2關斷,二極管Di1承受反向電壓而關斷,持續(xù)時間為d1T.

2)工作模態(tài)2(d1T＜t＜(d1+d2)T):周期性脈沖信號PS1為低電平,PS2為低電平時,開關管S1關斷、S2關斷,二極管Di1承受正向電壓而導通,持續(xù)時間為d2T.

3)工作模態(tài)3((d1+d2)T＜t＜T):周期性脈沖信號PS1為低電平,PS2為高電平時,開關管S1關斷、S2導通,二極管Di1承受反向電壓而關斷,持續(xù)時間為d3T,其中d1+d2+d3=1.

圖1 PCCM Boost變換器 (a)電路原理圖;(b)時序脈沖及電感電流波形圖

3 PCCM Boost變換器分數(shù)階狀態(tài)平均模型的建立與分析

3.1 PCCM Boost變換器分數(shù)階狀態(tài)平均模型的建立

根據(jù)狀態(tài)平均法、PCCM Boost變換器三個工作模態(tài)的特點及分數(shù)階微積分的性質(zhì)[15],對(2),(3),(4)式在一個工作周期T內(nèi)求平均,可推導得到工作于電感電流偽連續(xù)模式下的狀態(tài)平均模型為

其中,〈vin〉,〈vo〉,〈iL〉分別為vin,vo,iL在一個周期內(nèi)的平均值,令Vin,Vo,IL,D1,D2分別為vin,vo,iL,d1,d2的直流分量,?vin,?vo,?iL,?d1,?d2分別為vin,vo,iL,d1,d2的交流分量.因此,可對?vin,?vo,?iL,?d1,?d2作如下分解:

且

3.2 PCCM Boost變換器分數(shù)階狀態(tài)平均模型的分析

將(8)式中的直流分量分離出來,可得

根據(jù)Caputo分數(shù)階導數(shù)定義可知[15],常數(shù)的任意分數(shù)階導數(shù)等于零,則由(9)式可得系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時的工作點為

此外,根據(jù)Caputo分數(shù)階導數(shù)定義,由(2)式可求得電感電流iL在(0,d1T)時間內(nèi)的增加量,即電感電流紋波?iL為

將(6)式代入(11)式且忽略高階小量,并將其直流分量分離后,可得

其中,Γ(·)為伽馬函數(shù)[15].可見,電感電流紋波?iL不僅與電感L、輸入電壓直流分量Vin、占空比直流分量D1以及開關周期T有關,而且還與電感的階數(shù)α有關,并且與電感的階數(shù)α成反比例關系.與此同時,當α=1時,(12)式與用整數(shù)階模型所求的結(jié)果一致.

根據(jù)(10)式和(12)式可求得電感電流峰值iL?max和谷值iL?min的表達式分別為

由于PCCM Boost變換器獨特的工作模式,使其在工作模式1和工作模式3時,輸出電壓vo均處于下降過程,因此可知輸出電壓紋波?vo為

其中,?v1為處于工作模式1時的電壓減少量,?v2為處于工作模式3時的電壓減少量.

同理,根據(jù)(2)式和(4)式可求得輸出電壓vo在(0,d1T)和((d1+d2)T,T)時間內(nèi)的減少量,即輸出電壓紋波?vo為

其中,Eβ(·)為Mittag-Leラe函數(shù)[15],Vo?max為輸出電壓峰值,其表達式為

將(10)式和(16)式代入(17)式可得

將(18)式代入(16)式可得電壓輸出紋波表達式為

根據(jù)電路模型和數(shù)學模型的電感電流iL和輸出電壓vo,可得所建數(shù)學模型的誤差百分比為

其中,bfbi為電感電流模型誤差百分比,bfbv為輸出電壓模型誤差百分比,iLd和vod分別為電路模型的電感電流和輸出電壓,iLs和vos分別為數(shù)學模型的電感電流和輸出電壓.

可見,輸出電壓紋波?vo不僅與電容C、輸入電壓直流分量Vin、占空比直流分量D1,D2,D3、負載電阻R以及開關周期T有關,而且還與電容的階數(shù)β有關,并且與電感的階數(shù)β成反比例關系.與此同時,當β=1時,(19)式與用整數(shù)階模型所求的結(jié)果一致.

3.3 PCCM Boost變換器分數(shù)階傳遞函數(shù)的分析

將(8)式的交流分量分離出來,可得

(22)式表明當占空比d1,d2的擾動變量==0時,輸入電壓vin的變化對輸出電壓vo的影響.

(23)式表明當輸入電壓vin的擾動變量=0,占空比d2的擾動變量=0時,占空比d1的變化對輸出電壓vo的影響.

輸出電壓?vo對占空比的傳遞函數(shù)Gvd2(s)為

(24)式表明當輸入電壓vin的擾動變量=0,占空比d1的擾動變量=0時,占空比d2的變化對輸出電壓vo的影響.

(25)式表明當占空比d1,d2的擾動變量==0時,輸入電壓vin的變化對電感電流iL的影響.

(26)式表明當輸入電壓vin的擾動變量=0,占空比d2的擾動變量=0時,占空比d1的變化對電感電流iL的影響.

輸出電流?iL對占空比的傳遞函數(shù)Gid2(s)為

(27)式表明當輸入電壓vin的擾動變量=0,占空比d1的擾動變量=0時,占空比d2的變化對電感電流iL的影響.

根據(jù)(23)式可知,分數(shù)階PCCM Boost變換器的控制輸出傳遞函數(shù)不存在RHP問題.當電感和電容的分數(shù)階階數(shù)α,β都等于1時,(22)–(27)式所示的分數(shù)階傳遞函數(shù)與文獻[14,16]所描述的整數(shù)階傳遞函數(shù)相一致,進一步說明了整數(shù)階系統(tǒng)是其分數(shù)階系統(tǒng)的特例情況,且在頻域和時域響應中,α,β這兩個參數(shù)對PCCM Boost變換器系統(tǒng)的動力學特性也產(chǎn)生了極大的影響.

4 數(shù)值仿真

4.1 分數(shù)階電感和電容的等效電路模型

根據(jù)文獻[17],基于分抗鏈[15]和改進的Oustaloup濾波器的分數(shù)階微積分算法[18],可以得到分數(shù)階電感和分數(shù)階電容的等效電路模型,如圖2和圖3所示.當Lα=3 mH,α=0.8時,圖2中各電阻值分別為RL1=7.16 k?,RL2=340.84 ?,RL3=34.25 ?,RL4=3.54 ?,RL5=367 m?,RL6=38 m?,RL7=4 m?,RL8=0.4 m?,RL9=42μ?,RL10=5μ?;各電感值分別為L1=95μH,L2=77μH,L3=131.6μH,L4=231.6 μH,L5=408 μH,L6=719.4 μH,L7=1.268 mH,L8=2.235 mH,L9=3.934 mH.當Cβ=100μH,β=0.8時,圖3中各電阻值分別為RC1=20 m?,RC2=160 m?,RC3=1.5 ?,RC4=14.6 ?,RC5=141 ?,RC6=1.36 k?,RC7=13.131 k?,RC8=126.742 k?,RC9=1.222 M?,RC10=102.85 M?;各電容值分別為C1=6.5μF,C2=13.98μF,C3=24.5μF,C4=43.2 μF,C5=76.2 μF,C6=134.2 μF,C7=236.6 μF,C8=417 μF,C9=736 μF,C10=560μF.

圖2 分數(shù)階電感等效電路模型

圖3 分數(shù)階電容等效電路模型

4.2 分數(shù)階PCCM Boost變換器的狀態(tài)平均模型與電路模型的仿真對比

文獻[11]和文獻[12]雖然分別建立了分數(shù)階CCM Boost變換器的數(shù)學模型和分數(shù)階DCM Boost變換器的數(shù)學模型,并進行了仿真,但由于PCCM Boost變換器獨特的工作模式,使得文獻[11]和文獻[12]所建立的仿真數(shù)學模型并不能適用于PCCM Boost變換器的數(shù)學模型仿真.因此,必須根據(jù)PCCM Boost變換器自身的特點,并根據(jù)文獻[18]所提出的改進的Oustaloup濾波器的分數(shù)階微積分算法和(5)式重新構(gòu)建Matlab/Simulink數(shù)學模型,如圖4所示.其中,Fractional Ints?α為分數(shù)階積分單元,其內(nèi)部結(jié)構(gòu)如文獻[11]所示.在改進的Oustaloup濾波器的分數(shù)階微積分算法中,存在三個關鍵參數(shù):擬合頻率下限ωb、擬合頻率上限ωh、濾波器階數(shù)2N+1.而在對實際分數(shù)階系統(tǒng)進行數(shù)值仿真時,需根據(jù)系統(tǒng)的頻率范圍選擇擬合頻率段(ωb,ωh)和N 值,一般取ωb·ωh=1. 選取電路參數(shù)為vin=24 V,L=3 mH,C=100μF,d1=0.4,d2=0.2,f=50 kHz.由于開關頻率f=50 kHz,即ω =2πf=3.14× 105rad/s,考慮還有高于開關頻率的高頻諧波存在,因而擬合頻率的選取需滿足條件ωh＞3.14×105rad/s.因此,選取ωh=1×106rad/s,ωb=1×10?6rad/s,N=10.根據(jù)分數(shù)階電感和電容的等效電路模型所建立的電路仿真模型,如圖5所示.

圖4 分數(shù)階PCCM Boost變換器Simulink數(shù)學仿真模型

圖5 分數(shù)階PCCM Boost變換器Simulink電路仿真模型

圖6 分數(shù)階PCCM Boost變換器電路模型仿真波形(a)電感電流iL;(b)輸出電壓vo

圖7 分數(shù)階PCCM Boost變換器電路模型與數(shù)學模型仿真波形比較 (a)電感電流iL;(b)輸出電壓vo

當取α=0.8,β=0.8時,根據(jù)文獻[11],可求得分數(shù)階Boost變換器工作于臨界狀態(tài)時的負載電阻值為R=1671.687 ?,則當R ＜ 1671.687 ?時,可保證系統(tǒng)工作于偽連續(xù)模式.因此,選取R=50 ?.當PCCM Boost變換器處于穩(wěn)定運行狀態(tài)時,其電路模型的電感電流iL和輸出電壓vo的波形分別如圖6(a)和(b)所示.顯然,此種情況下Boost變換器工作于電感電流偽連續(xù)模式.對其電路模型的電感電流iL和輸出電壓vo在一個開關周期T內(nèi)進行平均,并與其數(shù)學模型的電感電流iL和輸出電壓vo進行比較,如圖7(a)和(b)所示.由圖7結(jié)果可知,對PCCM Boost變換器所建的分數(shù)階數(shù)學模型是正確的.根據(jù)圖6(a)可測量出?iL=0.842 A,iL?min=6.800 A,iL?max=7.642 A,IL=7.211 A.根據(jù)圖6(b)可測量出?vo=3.200 V,vo?min=68.610 V,vo?max=71.810 V,Vo=70.210 V. 根據(jù)(10)式、(12)式、(13)式和(14)式可分別計算出?iL=0.720 A,iL?min=6.840 A,iL?max=7.560 A,IL=7.200 A;根據(jù)(10)式、(18)式和(19)式可分別計算出?vo=2.288 V,vo?min=70.856 V,vo?max=73.144 V,Vo=72.000 V.可知,對數(shù)學模型的理論分析和電路模型的仿真結(jié)果基本一致,從而表明對工作于偽連續(xù)模式下Boost變換器理論分析的正確性.

4.3 整數(shù)階PCCM Boost變換器狀態(tài)平均模型與電路模型的仿真對比

圖8 整數(shù)階PCCM Boost變換器Simulink數(shù)學仿真模型

圖9 整數(shù)階PCCM Boost變換器Simulink電路仿真模型

當把圖4中的分數(shù)階積分單元換為整數(shù)階積分單元時,即采用了整數(shù)階數(shù)學模型來描述PCCM Boost變換器,則其整數(shù)階Matlab/Simulink數(shù)學仿真模型如圖8所示;當用整數(shù)階電感和電容取代圖5中的分數(shù)階電感和電容時,則其整數(shù)階電路模型如圖9所示,其電路模型的電感電流iL和輸出電壓vo的波形分別如圖10(a)和(b)所示.可見,系統(tǒng)工作于電感電流偽連續(xù)模式.對其電路模型的電感電流iL和輸出電壓vo在一個開關周期T內(nèi)進行平均,并和其數(shù)學模型的電感電流iL和輸出電壓vo進行比較,如圖11(a)和(b)所示.根據(jù)圖10(a)可測量出?iL=0.063 A,iL?min=7.092 A,iL?max=7.155 A,IL=7.124 A;根據(jù)圖10(b)可測量出?vo=0.230 V,vo?min=70.042 V,vo?max=70.650 V,Vo=70.540 V. 根據(jù)(10)式、(12)式、(13)式和(14)式可分別計算出?iL=0.064 A,iL?min=7.168 A,iL?max=7.232 A,IL=7.200 A;根據(jù)(10)式、(18)式和(19)式可分別計算出?vo=0.240 V,vo?min=71.880 V,vo?max=72.120 V,Vo=72.000 V.

圖10 整數(shù)階PCCM Boost變換器電路模型仿真波形(a)電感電流iL;(b)輸出電壓vo

對比整數(shù)階α=1,β=1和分數(shù)階α=0.8,β=0.8PCCM Boost變換器的數(shù)值仿真結(jié)果,可知電感電流直流分量IL和輸出電壓直流分量Vo沒有發(fā)生變化;而電感電流紋波?iL、電感電流峰值iL?max和谷值iL?min、輸出電壓紋波?vo、輸出電壓的峰值vo?max和谷值vo?min以及動態(tài)響應過程中的上升時間、延遲時間、調(diào)節(jié)時間、峰值時間、超調(diào)量都發(fā)生了很大的變化.這就表明用整數(shù)階模型描述本應該用分數(shù)階模型描述的PCCM Boost變換器,將會在電感電流紋波?iL、電感電流峰值iL?max和谷值iL?min、輸出電壓紋波?vo、輸出電壓的峰值vo?max和谷值vo?min以及動態(tài)響應過程中的上升時間、延遲時間、調(diào)節(jié)時間、峰值時間、超調(diào)量等方面得到錯誤的結(jié)果.因此,基于實際電感和電容本質(zhì)上都是分數(shù)階的事實,為了能夠更好的描述工作于電感電流偽連續(xù)模式下Boost變換器的動力學特性,須采用其分數(shù)階形式的數(shù)學模型.

圖11 整數(shù)階PCCM Boost變換器電路模型與數(shù)學模型仿真波形比較 (a)電感電流iL;(b)輸出電壓vo

圖12 模型誤差百分比 (a)電感電流iL;(b)輸出電壓vo

4.4 模型誤差分析

根據(jù)(20)式可得模型誤差百分比曲線,如圖12所示.由文獻[19]可知,狀態(tài)空間平均法僅是平均法的一階近似,所建的狀態(tài)空間模型僅能近似的表示電路模型.因此,圖12所示的模型誤差百分比是合理的,所建立的PCCM Boost變換器的分數(shù)階數(shù)學模型是正確的.根據(jù)圖12可知,模型誤差與電感階數(shù)α和電容階數(shù)β有關.因此,須采用分數(shù)階數(shù)學模型來描述PCCM Boost變換器的動力學特性.

5 結(jié) 論

本文基于分數(shù)階微積分理論,建立了PCCM Boost變換器的分數(shù)階數(shù)學模型并進行了相應的理論分析;通過對其數(shù)學模型和電路模型的仿真對比,可得出如下結(jié)論

1)所建的PCCM Boost變換器的分數(shù)階數(shù)學模型可以準確的描述其電路模型.

2)對于分數(shù)階PCCM Boost變換器,所建分數(shù)階數(shù)學模型的誤差是由于狀態(tài)平均法只是平均法的近似而產(chǎn)生的,且其模型誤差百分比與電感L的分數(shù)階階數(shù)α和電容C的分數(shù)階階數(shù)β有關,即在其他參數(shù)不變的情況下,隨著電感L的分數(shù)階階數(shù)α和電容C的分數(shù)階階數(shù)β的增大而減小.

3)分數(shù)階PCCM Boost變換器的數(shù)學模型形式上雖然和分數(shù)階DCM Boost變換器一樣,但由于PCCM Boost變換器不同于DCM Boost變換器的工作特點,使得DCM Boost變換器分數(shù)階模型得出的結(jié)論并不能直接應用于PCCM Boost變換器的分數(shù)階模型理論分析.

4)分數(shù)階PCCM Boost變換器的數(shù)學模型形式上雖然和分數(shù)階CCM Boost變換器不一樣,但通過理論分析及仿真驗證,可知CCM Boost變換器分數(shù)階模型得出的結(jié)論能夠直接應用于PCCM Boost變換器的分數(shù)階模型理論分析.

5)對于分數(shù)階PCCM Boost變換器,在其他參數(shù)不變的情況下,其動態(tài)響應過程隨著電感L的分數(shù)階階數(shù)α和電容C的分數(shù)階階數(shù)β的增大而增大,即其階躍響應的上升時間、延遲時間、調(diào)節(jié)時間、峰值時間、超調(diào)量都將增大.

綜上所述,基于電感和電容本質(zhì)上是分數(shù)階的事實,本文所建的PCCM Boost變換器的分數(shù)階數(shù)學模型是正確的,能夠真實的反映PCCM Boost變換器的動力學特性.

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