丁光濤

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院,蕪湖 241000)

1 引 言

變分法在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和工程科學(xué)中扮演著重要的角色,在分析力學(xué)的新進展中變分原理仍是熱點課題[1?5].最早提出的變分命題就是最速落徑問題,設(shè)重力場中不在同一鉛垂線上兩點,質(zhì)點從上一點沿一光滑曲線自由滑動到下一點,確定下滑時間最短的曲線問題就是最速落徑問題,這是一種最簡單的變分問題.近年來有相當(dāng)多的對阻尼系統(tǒng)的研究,主要涉及積分和Lagrange力學(xué)逆問題[6?10],本文將阻尼運動的研究拓展到最速落徑變分問題.為此,我們從兩個方向拓展最速落徑問題:一是質(zhì)點從始點以某一初速度開始下滑,而不是從靜止自由下滑情況;二是阻尼媒質(zhì)中的最速落徑問題[3],給出了這個問題的求解方法.在討論這兩個拓展問題時,指出了約束條件與系統(tǒng)的運動定理以及守恒定律之間的關(guān)聯(lián),這實質(zhì)上是一種新的構(gòu)成約束的機理,并且得到如下結(jié)論,即微分形式運動定理的可積和不可積與這種約束的完整和非完整相對應(yīng).

2 初速度不為零的最速落徑問題

2.1 自由下滑的最速落徑問題

質(zhì)點沿鉛垂平面內(nèi)光滑曲線y=y(x),從A開始自由下滑到不在同一鉛垂線上的B點,取x軸為水平軸,y軸鉛垂向下,質(zhì)點經(jīng)過P(x,y)點速度為v,則該過程經(jīng)歷的時間為

式中y′=dy/dx.變量y和v之間存在關(guān)系可以根據(jù)動能定理確定

設(shè)在A點y=0,v=0,質(zhì)點質(zhì)量為m.直接積分(2)式得到

代入(1)式得到

這就是最速落徑問題的泛函,它的極小值對應(yīng)的曲線就是最速落徑––旋輪線.

2.2 初速度為v0的最速落徑問題

設(shè)質(zhì)點開始下滑的速度不為零,即在A點y=0,v=v0,則積分式(2)得到

這表明變量y和v之間關(guān)系與初始條件相關(guān).與(5)式對應(yīng)的泛函(4)變換為引入簡單的變量變換這個問題就變換成自由下滑的最速落徑問題.

3 阻尼媒質(zhì)中的最速落徑問題

由于質(zhì)點在阻尼媒質(zhì)中運動,故質(zhì)點所受主動力除了重力外,還有阻尼力mR(v),其大小是速度的函數(shù),方向與速度相反.這里仍然討論從A點自由下滑,方程(1)成立,但是聯(lián)系v和y的動能定理方程(2)應(yīng)當(dāng)改寫成

式中

(7)式與(2)式的重要區(qū)別在于(7)式不能直接積分.將y和v看作x的函數(shù),由(7)式對x求微商得到

式中v′=dv/dx,y和v之間的關(guān)系由上述微分方程表示.

(3)和(5)式由(2)式直接積分導(dǎo)出,并且利用初始條件式確定了積分常數(shù),這兩個方程都相當(dāng)于變量y和v之間的一個完整約束,因此可以在泛函中消去變量v.(9)式也來自于動能定理(7),可以看作y和v之間的一個非完整約束條件,因此,阻尼最速落徑問題就是帶有非完整約束條件的變分問題,這種問題可以引入不定乘子來求解.

引入不定乘子λ,則從(1)和(9)式導(dǎo)出如下泛函:

對應(yīng)的Lagrange函數(shù)為

L?中不顯含y和x,故由此得到一個循環(huán)積分

和一個Jacobi積分

從上述兩個積分可以導(dǎo)出新的積分

解(14)式,可以得到λ和v之間的函數(shù)關(guān)系

由Lagrange函數(shù)(11),可以導(dǎo)出對應(yīng)于變量v的運動方程

從(12)和(13)式可以得到

由(12)和(16)式可以導(dǎo)出

從(17)和(18)式導(dǎo)出

將(15)式λ=λ(v)代人(19)式后,積分得到以 v為參數(shù)的阻尼最速落徑參數(shù)方程

積分常數(shù)由端點條件

確定.

4 約束與運動定理相聯(lián)系的意義

經(jīng)典力學(xué)中約束是重要的概念,尤其在分析力學(xué)中可以說是奠基性的概念,然而在涉及約束特別是非完整約束的一些基本問題時仍然存在分歧和爭議,文獻(xiàn)[9]及其中收錄的大量參考文獻(xiàn),充分反映了我國力學(xué)界從上個世紀(jì)80年代末以來,在這個領(lǐng)域里的爭鳴、討論和取得的多方面進展.但是,傳統(tǒng)的對約束的研究更多地集中在約束的數(shù)學(xué)層面上,例如,約束方程、Pfaff約束的可積性、微分約束的幾何性質(zhì)以及變分微分的交換性等問題上,然而,約束不是單純的數(shù)學(xué)問題,而是綜合的力學(xué)物理學(xué)問題,80年代以來的討論說明僅僅在數(shù)學(xué)層面上研究約束是不夠的,應(yīng)當(dāng)重視約束力的分析,重視約束條件的實現(xiàn)方式以及約束的力學(xué)和物理本質(zhì)的研究.關(guān)于第一積分作為非完整約束的研究[10],實際上已經(jīng)把約束和系統(tǒng)的動力學(xué)規(guī)律聯(lián)系起來,本文在一定意義上是上述研究過程的繼續(xù),得到的結(jié)論表明有些系統(tǒng)的約束條件,并不是來自具體機構(gòu)的限制,不是來自控制機理的調(diào)節(jié),不是來自特殊類型力的作用,而是正常系統(tǒng)力學(xué)運動規(guī)律的表現(xiàn);不僅一些系統(tǒng)的某些運動積分可以看作約束,而且直接從運動定理就能夠構(gòu)成約束,特別是微分形式的運動定理是否能夠直接積分分別對應(yīng)著完整和非完整約束,顯然,這是一種新型的約束.

5 結(jié) 論

1)本文討論了經(jīng)典最速落徑問題的兩種拓展問題:一是下滑初速不為零的最速落徑問題,指出通過簡單的坐標(biāo)變換,這種問題就轉(zhuǎn)化為自由下滑的最速落徑問題;二是受到阻尼力作用的最速落徑問題,我們完善了文獻(xiàn)[3]中求解該問題的步驟和方法.

2)在討論最速落徑問題的過程中,發(fā)現(xiàn)這也是一種約束條件下的變分問題.在相關(guān)泛函被積式中所出現(xiàn)的力學(xué)變量之間存在的約束條件,實質(zhì)上是運動定理的表現(xiàn),其中有些可以直接積分而成為有限形式,甚至就是守恒定律,對應(yīng)的守恒量數(shù)值由初始條件確定;有些不能直接積分,保持著微分或微商形式.這些變量之間的動力學(xué)關(guān)系構(gòu)成了系統(tǒng)變量之間的約束條件,其中傳統(tǒng)的最速落徑問題中,可以直接積分成為有限形式,是完整約束;而阻尼最速落徑問題中不能積分成為有限形式,是非完整約束.

3)阻尼最速落徑問題中出現(xiàn)的約束是一種新型的約束,這種系統(tǒng)內(nèi)在的約束條件,源于系統(tǒng)力學(xué)運動規(guī)律,文獻(xiàn)[11]指出“當(dāng)應(yīng)用基本原理推導(dǎo)系統(tǒng)運動微分方程時,約束本身的性質(zhì)有極大影響. ······因此,必須研究和區(qū)分約束的類型.” “按約束的實現(xiàn)可分為被動約束與主動約束.被動約束是靠接觸或摩擦被動地實現(xiàn)的.主動約束是靠輔助能源主動地實現(xiàn)的,如伺服約束.”然而,本文指出的約束不同于上述主動和被動約束.這種新型的約束對系統(tǒng)運動形式,以及選取研究系統(tǒng)運動的方法有什么影響;以及在力學(xué)和物理學(xué)層面上約束本質(zhì)的多樣性,與非完整力學(xué)中處理非完整約束的多種模型之間,是否存在相關(guān)性,存在什么樣的相關(guān)性等問題都值得進一步深入研究.

[1]Courant R,Hilbert D(translated by Qian M,Guo D R)1958 Methods of Mathematical Physics Vol.I(Beijing:Science Press)pp129–135(in Chinese)[柯朗 R, 希伯爾特D著(錢敏郭敦仁譯)1958數(shù)學(xué)物理方法卷I(北京:科學(xué)出版社)第129—135頁]

[2]Goldstein H,Poole C,Safko J 2005 Classical Mechanics(3rd Ed.)(Beijing:Higher Education Press)

[3]Smirnov V E(translated by Chen C Z)1958 Textbook of Higher Mathematics Vol.IV-I(Beijing:People Education Press)pp232–234(in Chinese)[斯米爾諾夫 V E 著(陳傳璋譯)1958高等數(shù)學(xué)教程第四卷第一分冊(北京:人民教育出版社)第232—234頁]

[4]Zhang H B,Chen L Q,Liu R W 2005 Chin.Phys.B 14 1063

[5]Zhang H B,Chen L Q,Gu S L,Liu C Z 2007 Chin.Phys.16 582

[6]Musielak Z E 2008 J.Phys.A:Math.Their.41 055205

[7]Cieslinski J L,Nikiciuk T 2010 J.Phys.A:Math.Their.43 175205

[8]Ding G T 2011 Acta Phys.Sin.60 044503(in Chinese)[丁光濤 2011物理學(xué)報 60 044503]

[9]Ding G T 2012 Acta Phys.Sin.61 020204(in Chinese)[丁光濤 2012物理學(xué)報 61 020204]

[10]Ding G T 2013 Acta Phys.Sin.62 064501(in Chinese)[丁光濤 2013物理學(xué)報 62 064501]

[11]Luo S K,Zhang Y F 2008 Advances in the Study of Dynamics of Constrained Systems(Beijing:Science Press)(in Chinese)[羅紹凱,張永發(fā)2008約束系統(tǒng)動力學(xué)研究進展(北京:科學(xué)出版社)]