沈建偉

(浙江科技學(xué)院理學(xué)院,浙江 杭州 310023)

0 引 言

Resnick[1]及Arnold等[2]在研究紀錄值的極限理論時發(fā)現(xiàn)有對隨機變量序列部分和之和的極限性質(zhì)進行研究的必要性.事實上,隨機游動、破產(chǎn)理論及時間序列理論中均有必要研究部分和之和.文獻[3-4]得到了I.I.D.隨機變量序列部分和之和的強大數(shù)定律;文獻[5-6]得到了對稱同分布NA序列隨機變量部分和之和的大數(shù)定律;文獻[7-8]研究了對稱分布的兩兩NQD序列隨機變量部分和之和的強大數(shù)定律;文獻[9]推廣了文獻[10]的結(jié)論,得到了分布對稱但不同分布的PA序列部分和之和的弱大數(shù)定律,并通過對PA列收斂速度的限制弱化了文獻[10]中定理的條件.本文把結(jié)果推廣到了兩兩PQD序列隨機變量部分和之和的情形,并去除了分布對稱和同分布的限制條件.

定義1[11]稱隨機變量X和Y是PQD(positively quadrant dependent)的，若對?x,y∈R都有

P{X≤x,Y≤y}≥P{X≤x}P{Y≤y}.

稱隨機變量序列{Xn,n≥1}是兩兩PQD的，若對?i≠j,Xi與Xj是PQD的.

定義2若隨機變量X與-X同分布,則稱X為對稱隨機變量.

引理1[11]設(shè)隨機變量X和Y是PQD的，則

1)EXY≥EXEY;

2) 若f,g同為非降(或非增)函數(shù)，則f(X)與g(Y)仍為PQD的.

引理4[13]設(shè){Xn,n≥1}是任意隨機序列.如果存在某隨機變量X,使對任意x>0及n≥1,有P{|Xn|≥x}≤cP{|X|≥x},則對?β>0,?t>0有

E|Xn|βI(|Xn|≤t)≤c(E|X|βI(|X|≤t)+tβP{|X|>t}),E|Xn|βI(|Xn|>t)≤cE|X|βI(|X|>t).

1 主要結(jié)果

2 定理的證明

又因為兩兩PQD序列的對稱化序列仍是兩兩PQD序列，故只需對對稱化序列證明定理成立即可.

首先，考慮滿足條件(A)的情形：

不失一般性,不妨設(shè){Xi,i≥1}為分布對稱的同分布兩兩PQD序列,且設(shè)bk=0,k≥1;首先證明:對?ε>0,有

(1)

(2)

(3)

由式(3),{Xi,i≥1}的同分布性可知

(4)

對?β>0,由式(3)可知,存在N0>0,當k>N0時,有

(k+1)P(|X1|>k1/p)<β/8.

(5)

由Markov不等式,引理2,{Xi,i≥1}的同分布性可得

n1-2/p{E|Y1|2+1}≤nP{|X1|>n1/p}+n1-2/pE|X1|2I(|X1|≤n1/p)+n1-2/p

(6)

:=I21+I22+I23.

對于I21=nP{|X1|>n1/p},對于充分大的n,利用式(3)可得

I21<β/4.

(7)

對于I23=n1-2/p,由0

I23<β/4.

(8)

對于充分大的n,利用式(5)、(8)可得

(9)

(10)

其次，考慮滿足條件(B)的情形：

(11)

由Markov不等式,引理2,引理4可得

nP{|X|>n1/p}+n1-2/pE|X|2I(|X|≤n1/p)+n1-2/p:=I21+I22+I23.

定理1得證.

[1]Resnick S I. Limit laws for record values[J].Stochastic Processes and their Applications,1973,1(1):67-82.

[2]Arnold B C, Villasenor J A. The asymptotic distributions of sums of records[J].Kluwer Academic Publishers,1998,1(3):351-363.

[3]江濤,林日其.I.I.D.隨機變量部分和之和的極限定理[J].淮南工業(yè)學(xué)院學(xué)報,2002,22(2):73-78.

[4]江濤,蘇淳,唐啟鶴.I.I.D.隨機變量部分和之隨機和的極限定理[J].中國科技大學(xué)學(xué)報,2001,31(4):394-399.

[5]宇世航.同分布NA序列部分和之和的弱大數(shù)定律[J].哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2004,20(4):39-42.

[6]宇世航.同分布NA序列部分和之和的強大數(shù)定律[J].山東大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版,2008,43(4):62-66.

[7]蘭沖鋒,吳群英,葉大相.同分布兩兩NQD序列部分和之和的強大數(shù)定律[J].桂林理工大學(xué)學(xué)報,2010,30(4):640-643．

[8]俞周曉,王文勝.不同分布兩兩NQD列部分和之和的強大數(shù)定律[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2012,11(5):436-442.

[9]俞周曉,王文勝.PA序列部分和之和的弱大數(shù)定律[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2012,11(2):181-184.

[10]查婷婷.同分布PA序列部分和之和的弱大數(shù)定律[J].安徽建筑工業(yè)學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2009,17(4):94-96.

[11]Lehmann E L. Some concepts of dependence[J].The Annals of Mathematical Statistics,1966,37(5):1137-1153.

[12]劉慶.兩兩PQD序列的大數(shù)定律[J].浙江大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版,2011,38(2):140-143.

[13]吳群英.混合序列的概率極限理論[M].北京:科學(xué)出版社,2006.