宮瑋清

(上海巖土工程勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司，上海 200438)

隧道斷面監(jiān)測的橢圓擬合方法研究

宮瑋清

(上海巖土工程勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司，上海 200438)

監(jiān)測隧道斷面是獲取隧道變形情況的有效途徑。通過對管片的高精度自動(dòng)測量，采用有效的橢圓擬合算法，可以求解得到隧道橢圓化的幾何參數(shù)，同時(shí)，針對管片表面干擾物的影響，對數(shù)據(jù)粗差進(jìn)行處理。通過工程實(shí)例的檢驗(yàn)，證明算法有效可靠。

隧道斷面;橢圓擬合;最小二乘;粗差處理

隧道斷面測量是了解隧道變形情況最直觀的方法之一。盾構(gòu)施工的隧道，設(shè)計(jì)的管片截面是標(biāo)準(zhǔn)的圓形，但是，在實(shí)際施工中由于拼裝的原因，剛成形的管片往往已經(jīng)不是標(biāo)準(zhǔn)圓形，同時(shí)在隧道建成后，隧道管片在外圍荷載的影響下，還會(huì)產(chǎn)生一定量的不均勻變形，此時(shí)的管片截面更不是標(biāo)準(zhǔn)的圓，而更接近離心率比較小的橢圓。為了解隧道的真實(shí)情況，需采用橢圓來擬合隧道斷面[1]。

1 隧道全斷面法測量實(shí)施方案

為了解隧道的真實(shí)情況，全斷面法測量是比較適宜的方法，它通過測量管片內(nèi)徑上較多的點(diǎn)來進(jìn)行擬合，能較真實(shí)反映隧道的實(shí)際形狀。

首先，利用具有免棱鏡功能的全站儀，對管片的內(nèi)徑進(jìn)行觀測。利用全站儀的機(jī)載軟件控制儀器自動(dòng)進(jìn)行觀測，在隧道內(nèi)架設(shè)儀器，在已知測站點(diǎn)三維坐標(biāo)的前提下，選擇要測量的隧道斷面，儀器根據(jù)提前輸入隧道軸線的三維DTA數(shù)據(jù)，自動(dòng)運(yùn)算，尋找到需要測量的斷面，然后對該斷面進(jìn)行掃描，并保證所測斷面垂直于當(dāng)前隧道軸線。一般每個(gè)監(jiān)測斷面以等角的形式掃描各點(diǎn)坐標(biāo)，測量若干個(gè)點(diǎn)(點(diǎn)位的多少，根據(jù)所取的觀測角度而定)。然后，進(jìn)行擬合計(jì)算，獲取斷面變形的信息[2-3]。

隧道全斷面法測量方案的流程如圖1所示。

圖1 斷面測量程序流程

2 斷面計(jì)算數(shù)學(xué)模型

隧道斷面測量實(shí)際是測量三維立面的圖形，如圖2所示。為了便于計(jì)算，先要擬合該斷面的平面方程，將三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為二維坐標(biāo)，然后在所擬合的平面上擬合平面橢圓，最后，獲取斷面變形的信息。

圖2 隧道斷面示意圖

其涉及的數(shù)學(xué)計(jì)算模型主要有3個(gè)，即擬合平面、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、擬合橢圓。

2.1 平面擬合

空間三維坐標(biāo)系中，平面方程的一般形式描述為

Ax+By+Cz+D=0.

(1)

一般工程實(shí)際中，平面不會(huì)經(jīng)過坐標(biāo)系原點(diǎn)，所以，可以認(rèn)為D≠0，取D=-1。將Pi的坐標(biāo)代入，則

(2)

將其展開，并將參數(shù)近似值(A0,B0,C0)代入，初值可以取1，組成誤差方程。

Vi=N·δX-L.

(3)

利用最小二乘法求解δX，然后修正參數(shù)近似值，重新求解，不斷迭代，最終獲得(A，B，C)，得到平面方程：Ax+By+Cz-1=0。此方程中，(A，B，C)為該平面的法向量。

2.2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

上述方法，求得的是斷面所在的平面，然后，需將測得的三維坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)到該平面上，經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的X軸方向即與所擬平面的法線方向平行，在新的坐標(biāo)系下，X坐標(biāo)值就為零，三維空間的圖形轉(zhuǎn)換成在新的YOZ平面內(nèi)的二維圖形問題。

對坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，首先進(jìn)行坐標(biāo)系平移。將坐標(biāo)系的原點(diǎn)平移到(x0,y0,z0)，即所有坐標(biāo)的平均值。

據(jù)此進(jìn)行坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，將各點(diǎn)在原XYZ-O坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)換為在新坐標(biāo)系x′y′z′-o′下的新坐標(biāo)值。以下數(shù)據(jù)擬合處理就是在該平面上進(jìn)行。

2.3 橢圓擬合

橢圓擬合算法很多，比較常見的是代數(shù)擬合，這種方法是橢圓擬合最簡單直接的一種方法，它使用橢圓的隱式方程F(a·x)=0，其中a=(a，b，c，d，e，f)為橢圓方程的系數(shù)。將誤差距離定義為隱式方程在給定點(diǎn)與期望值之間的偏差，也即擬合誤差或殘差。但是代數(shù)擬合有一定的缺陷，例如，對估計(jì)擬合參數(shù)的可靠性很難測試，估計(jì)的擬合參數(shù)有偏，擬合參數(shù)對于坐標(biāo)軸的變換不是不變的等等[4]。所以，雖然代數(shù)擬合算法上比較簡單，但擬合的精度不高；還有一種是利用橢圓定義的擬合迭代法，它根據(jù)橢圓的定義來進(jìn)行擬合計(jì)算[5]。這種方法求解的橢圓參數(shù)雖然比較精確，避免了代數(shù)擬合的缺陷，但是，這種方法必須預(yù)先知道橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)和焦距的近似值，否則對迭代計(jì)算有一定的影響。顯然，這些參數(shù)無法預(yù)先簡單求得。

針對上述方法進(jìn)行研究，選擇兩步擬合的方法，即先用代數(shù)擬合，得到橢圓方程的初始參數(shù)，然后，在此參數(shù)基礎(chǔ)上，再利用橢圓定義的擬合迭代法進(jìn)行精確擬合，得到更為精確的橢圓參數(shù)。

2.3.1 代數(shù)擬合

由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程入手，將橢圓復(fù)雜的非線性方程進(jìn)行變量替換，構(gòu)建簡單的線性方程式，將常數(shù)項(xiàng)歸化為1，平面任意位置的橢圓方程可轉(zhuǎn)化為

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+1=0.

(4)

設(shè)Pi(xi,yi)(i=1,2,…n)為橢圓輪廓上的測量點(diǎn)(n≥5), 則橢圓方程可寫為

F(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+1=0.

(5)

橢圓幾何中心：

(6)

橢圓長軸的傾角：

(7)

橢圓的長半軸和短半軸：

(8)

2.3.2 橢圓定義擬合

為了更準(zhǔn)確擬合橢圓，在代數(shù)擬合的基礎(chǔ)上，再根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行精確擬合(如圖3所示)。

圖3 橢圓定義擬合示意圖

設(shè)橢圓上任意一邊緣點(diǎn)Pi(xi,yi)，橢圓兩焦點(diǎn)的位置為F1(x10,y10)，F(xiàn)2(x20,y20)，焦距為2c。按照橢圓的定義，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離之和為常數(shù)。

(9)

設(shè)觀測橢圓邊緣若干點(diǎn)Pi(xi,yi)，根據(jù)式(9)，列出誤差方程：

(10)

先進(jìn)行線性化，再寫成矩陣形式，然后組成方程式

V=NδX-L.

(11)

將代數(shù)擬合得到的橢圓參數(shù)作為迭代計(jì)算的初值代入求解，得到結(jié)果，未知數(shù)由近似值X0修正為X0+δX，重新組成誤差方程、法方程，求解δX，修正近似值，迭代至改正數(shù)δX足夠小(收斂)，得到未知數(shù)的解。上述迭代，一般進(jìn)行4～7次，就可收斂到小數(shù)點(diǎn)后6位，可以得到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)和長半軸的參數(shù)，再計(jì)算橢圓的其它參數(shù)。

橢圓擬合后，計(jì)算各點(diǎn)的殘差值。先建立標(biāo)準(zhǔn)橢圓坐標(biāo)系，即以橢圓中心為原點(diǎn)，以橢圓的長、短軸分別為X,Y軸的坐標(biāo)系。將橢圓邊緣點(diǎn)的Pi(xi,yi)換算成標(biāo)準(zhǔn)橢圓坐標(biāo)系下的相對坐標(biāo)(x′,y′)。

則Pi點(diǎn)的擬合偏差為

(12)

單位權(quán)中誤差：

(13)

式中：V為各點(diǎn)擬合殘差；n為斷面測量所測的坐標(biāo)點(diǎn)個(gè)數(shù)；t為橢圓擬合必要觀測點(diǎn)個(gè)數(shù)。

此時(shí)，可根據(jù)橢圓方程對隧道的斷面變形進(jìn)行比較分析。

3 斷面自動(dòng)監(jiān)測實(shí)施與粗差處理

斷面自動(dòng)監(jiān)測的關(guān)鍵是使全站儀自動(dòng)尋找到待測點(diǎn)，根據(jù)待測點(diǎn)坐標(biāo)與儀器自身的坐標(biāo)，以此來控制全站儀鏡頭的旋轉(zhuǎn)，尋找到待測點(diǎn)，進(jìn)行測量。儀器自身的坐標(biāo)獲取很方便，待測點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算是關(guān)鍵。

斷面監(jiān)測的待測點(diǎn)都是管片內(nèi)壁上離散的點(diǎn)，單獨(dú)計(jì)算很困難，本文以隧道設(shè)計(jì)軸線為計(jì)算依據(jù)，創(chuàng)建斷面模型，以此計(jì)算各斷面待測點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)行成批量的計(jì)算。

1)計(jì)算隧道的設(shè)計(jì)軸線坐標(biāo)。以隧道里程為排序標(biāo)準(zhǔn)，按一定的里程間距差，將連續(xù)型的隧道軸線線路方程式，變?yōu)殡x散型的軸線坐標(biāo)表，整個(gè)表是由每隔一定距離的軸線上的點(diǎn)構(gòu)成，當(dāng)間隔取足夠小時(shí)就可精確地?cái)M合出整個(gè)線路。該坐標(biāo)表包含4項(xiàng)數(shù)值，即里程、X坐標(biāo)、Y坐標(biāo)、Z坐標(biāo)。

2)計(jì)算管片內(nèi)徑上各測點(diǎn)的坐標(biāo)。先構(gòu)造一個(gè)管片斷面模型，根據(jù)測量要求，計(jì)算各測點(diǎn)在斷面模型上的坐標(biāo)值，然后，將該模型的中心平移到隧道中心上，再經(jīng)旋轉(zhuǎn)使模型平面的法向量與隧道軸線相平行，這樣就可以得到各測點(diǎn)在隧道內(nèi)的施工坐標(biāo)。

斷面模型是一個(gè)平行于YOZ的平面圓，其法向量平行于X軸，半徑為管片內(nèi)徑，如圖4所示。在該模型上可以將管片斷面上需要測量的點(diǎn)位p的三維坐標(biāo)標(biāo)示出來。

(14)

圖4 管片斷面模型

得到儀器坐標(biāo)和管片內(nèi)壁上各待測點(diǎn)的坐標(biāo)后，就可以控制儀器旋轉(zhuǎn)到特定的位置，對待測點(diǎn)進(jìn)行觀測。

按照這種方法計(jì)算的管片內(nèi)徑上各待測點(diǎn)的坐標(biāo)是根據(jù)隧道設(shè)計(jì)軸線得到的，所以，儀器掃描的斷面實(shí)際為設(shè)計(jì)斷面，而成型的隧道與設(shè)計(jì)軸線之間不可避免存在偏差，即實(shí)際的斷面和設(shè)計(jì)的斷面之間有偏差量，儀器掃描的斷面未必能保證垂直于當(dāng)前隧道軸線，因而照搬設(shè)計(jì)值進(jìn)行監(jiān)測，會(huì)對斷面的計(jì)算造成一定的影響[6]。

如圖5所示，實(shí)際斷面和實(shí)測斷面之間存在夾角α，則由實(shí)測斷面所計(jì)算的斷面直徑和實(shí)際斷面的直徑有個(gè)差值，即Δ。

圖5 設(shè)計(jì)斷面與實(shí)測斷面

(15)

對于一般的地鐵隧道，管片直徑D=5.5 m，則α=1°10′時(shí)，Δ=1.1 mm。為避免由于這種原因造成斷面計(jì)算上的誤差，需要把隧道實(shí)際的軸線情況考慮進(jìn)去。在進(jìn)行監(jiān)測時(shí)，先按設(shè)計(jì)軸線坐標(biāo)計(jì)算并測量，在得到實(shí)測斷面的數(shù)據(jù)后，將實(shí)測斷面的法向量與設(shè)計(jì)斷面的法向量進(jìn)行比較，如果兩者的差值大于某個(gè)特定的數(shù)值時(shí)(根據(jù)不同要求設(shè)定)，就提示是否要進(jìn)行人工干預(yù)。如果選擇人工干預(yù)，則對隧道斷面進(jìn)行粗略的人工采點(diǎn)，在隧道斷面內(nèi)按上下左右平均分布采集4個(gè)點(diǎn)即可，然后，確定斷面的實(shí)際法向量，重新確定斷面的圓心坐標(biāo)，再據(jù)此重新計(jì)算斷面上各待測點(diǎn)的坐標(biāo)，重新進(jìn)行測量。

儀器在軟件的控制下自動(dòng)掃描斷面的坐標(biāo)，在實(shí)際測量中難免會(huì)遇到障礙物，此時(shí)儀器仍然會(huì)繼續(xù)掃描，隧道內(nèi)的電纜線、照明系統(tǒng)、通風(fēng)設(shè)備、人行通道等等，都會(huì)給觀測的點(diǎn)位坐標(biāo)帶來粗差。所以在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)，必須考慮這些情況。這些誤差有的很大，很容易發(fā)現(xiàn)，有些則不容易發(fā)現(xiàn)，所以在處理中可以分為兩步進(jìn)行：第一步進(jìn)行數(shù)據(jù)粗處理，剔除那些明顯的粗差點(diǎn)，并對斷面進(jìn)行判斷，是否符合精度；第二步，在擬合計(jì)算時(shí)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行精處理，進(jìn)一步剔除對擬合計(jì)算有影響的粗差點(diǎn)。

4 工程實(shí)例

為檢驗(yàn)這種方法的合理性和有效性，對某隧道抽取部分管片進(jìn)行斷面監(jiān)測，并對其觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果如表1所示。

表1 擬合結(jié)果

同時(shí)，人工測量相應(yīng)管片的橫豎徑，另外，在擬合得到橢圓參數(shù)的基礎(chǔ)上，計(jì)算這幾環(huán)管片的橫豎徑，兩者的比較如表2所示。

表2 橫豎徑比較結(jié)果 mm

5 結(jié) 論

通過實(shí)例數(shù)據(jù)的比較分析，可以看出，用這種方法擬合橢圓計(jì)算比較有效。橢圓擬合中誤差要小于圓擬合中誤差，說明橢圓方程更能反映此時(shí)管片的真實(shí)形狀，證明成型管片形狀的橢圓化趨勢；再與實(shí)測管片橫豎徑的比較，擬合計(jì)算和人工測量的數(shù)值都比較接近，證明這種橢圓擬合算法的有效性。這種算法不僅有效可靠，而且增加對實(shí)測斷面的判斷和對粗差的剔除處理，更適合于實(shí)際運(yùn)用，而且，由于運(yùn)用全站儀自動(dòng)化掃描，整個(gè)作業(yè)的速度大大加快，也可以方便地實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)庫管理，便于數(shù)據(jù)的分析和管理[7]。

[1]何自強(qiáng).地鐵隧道斷面變形檢測系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理及計(jì)算的研究[J].地下工程與隧道，2011(2)：31-33,37.

[2]孫昊，姚連璧，謝義林．隧道斷面收斂測量與數(shù)據(jù)處理[J].工程勘察，2010(11)：70-74.

[3]許正文，姚連璧.基于穩(wěn)健估計(jì)的直接最小二乘橢圓擬合[J].大地測量與地球動(dòng)力學(xué)，2008(1)：77-80.

[4]夏菁.橢圓擬合方法的比較研究[D].廣州：暨南大學(xué),2007.

[5]彭青玉.木星土星邊緣的橢圓擬合[J].云南天文臺(tái)臺(tái)刊，2007(4)：43-47.

[6]谷川.GA柱面擬合法在隧道斷面收斂監(jiān)測中的應(yīng)用[J].大地測量與地球動(dòng)力學(xué)，2010(2)：58-62.

[7]黃騰，李桂華，孫景領(lǐng).地鐵隧道結(jié)構(gòu)變形監(jiān)測數(shù)據(jù)管理系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)[J].測繪工程,2006,15(6)：1-3.

[責(zé)任編輯：張德福]

Study on section monitor algorithm based on ellipse fitting

GONG Wei-qing

(Shanghai Geotechnical Investigations & Design Institute Co.,Ltd, Shanghai 200438, China)

Section of tunnel monitoring is an effective way to obtain the real deformation of tunnel. Through the high precision automatic measurement of segment and the ellipse fitting algorithm, the geometric parameters of ellipse of tunnel can be obtained. Considering effect of segment surface disruptors, process date error steps is added. Through the test of the engineering example, the algorithm can prove effective and reliable.

tunnel section;ellipse fitting;least squares;gross error handling

2014-02-19

宮瑋清(1981-),男，工程師.

U452.1+4

：A

：1006-7949(2014)07-0051-04