徐愛功,吳探詩,隋 心,張建龍

(遼寧工程技術大學 測繪與地理科學學院，遼寧 阜新 123000)

基于卡爾曼濾波重建的GPS點位修正

徐愛功,吳探詩,隋 心,張建龍

(遼寧工程技術大學 測繪與地理科學學院，遼寧 阜新 123000)

由于單點定位的結果受衛(wèi)星星歷誤差、衛(wèi)星鐘誤差以及衛(wèi)星信號傳播過程中大氣延遲誤差的影響較為顯著，因此解算出的定位結果在真值附近上下浮動。文中采用ARMA模型建立卡爾曼濾波的觀測方程和狀態(tài)方程，并對定位結果進行濾波；采用一次濾波后的坐標值作為初值，建立ARMA模型并二次濾波。實驗表明，濾波有效防止了定位結果偏差過大情況的發(fā)生，使濾波收斂值與準確值最大偏差不超過3 cm,表明采用一次濾波后的坐標值建立的模型更為合理,從而為單點定位結果的時間序列模型的建立提供一種新方法。

單點定位；時間序列；卡爾曼濾波；ARMA模型

在現(xiàn)階段的單點定位結果中，包含許多誤差，使得定位結果偏差較大，不能總是反應真實的時間序列變化情況。由于通過一次濾波的坐標值更接近真值，因此可以作為一組新的時間序列的初值，以達到高精度建模的目的。

對于時間序列，需要判斷時間序列是否平穩(wěn)，如果不平穩(wěn)，需要轉換為平穩(wěn)的時間序列,然后利用過去的時間序列估計自回歸模型或滑動平均模型的系數(shù)，以此來將時間序列模型化。

ARMA模型是描述平穩(wěn)隨機序列的最常用的一種模型。在建立ARMA模型之后，可轉換成狀態(tài)方程，同時與觀測方程構成卡爾曼濾波的兩個基礎方程。

卡爾曼濾波僅需要前一時刻的狀態(tài)估值和當前觀測值[1-3]，對于計算機運算，卡爾曼濾波的運算量和存儲量大為減少，容易滿足實時的要求。

1 ARMA模型和卡爾曼濾波模型

為建立ARMA模型，需要利用樣本觀測值計算自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)。

自相關函數(shù)為

(1)

偏自相關函數(shù)為

k=1時

k≥2時

(2)

1.1 ARMA模型定階方法

3)如果對于自相關序列和偏相關序列來說，均不截尾，此時，即可以判定平穩(wěn)時間序列為ARMA模型。

利用上述定階方法，通過C++程序，確定出數(shù)據適用于AR(2)模型與MA(1)模型，在此，采用AR(2)模型(此處考慮到y(tǒng)，z坐標也適用于此)。

AR(2)模型

yt=Φ1yt-1+Φ2yt-2+εt.

(3)

由Yule-Walker估計，二階自回歸模型參數(shù)

(4)

1.2 卡爾曼濾波模型

系統(tǒng)模型[5-6]

xk=Φk,k-1xk-1+Γk,k-1wk-1,wk～N(0,Qk).

(5)

狀態(tài)預測

(6)

測量模型

zk=Hkxk+vk,vk～N(0,Rk).

(7)

誤差協(xié)方差預測

(8)

卡爾曼增益

(9)

狀態(tài)估計校正

(10)

誤差協(xié)方差估計校正

分別于水稻移栽后和收獲期采集土樣。土壤樣品風干、研磨、過0.83 mm（20目）、0.25 mm（60目）及 0.15 mm（100目）尼龍篩。土壤樣品用HNO3-HClO4-HF消化，再用HPLC-ICP-MS測定重金屬含量。

Pk|k=[I-KkHk]Pk|k-1.

(11)

由式(2)變形為系統(tǒng)模型

(12)

則測量模型為

(13)

2 模型實現(xiàn)和卡爾曼濾波狀態(tài)方程的重新建立

數(shù)據采用日本東京海洋大學Takasu等人研發(fā)的基線解算與定位軟件RTKLIB中的rtkpost模塊所處理生成的單點定位結果。對于單點定位的坐標(僅以x軸坐標前100個歷元為例)，均值為 2 489 170.012 65，方差為 0.155443，樣本零均值化后的坐標X～N(0，0.155443)。圖1為坐標的時間序列，初步確定數(shù)據具有平穩(wěn)性。

圖1 零均值化后的坐標時間序列

2.1 模型實現(xiàn)

利用式(1)、式(2)，通過程序對結果輸出的自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)圖形如圖2、圖3所示。

圖2 自相關函數(shù)圖

圖3 偏相關函數(shù)圖

求出式(4)兩參數(shù)0.781805和-0.290 396，則可以通過式(3)對下一時刻觀測值進行預測。預測值與實測值的差的期望幾乎為0，方差為0.089，服從標準正態(tài)分布。(由于上述模型估計為粗估計，所以通過循環(huán)測試0.781805±2，-0.290 396±2范圍內的參數(shù)情況下的預測方差，結果粗估計的方差最小，達到了精估計的目的)。

圖4 濾波前后比較

由圖4可見，濾波后的坐標數(shù)據更接近真值，波動幅度大大減小，程序顯示，濾波收斂值與準確值最大偏差不超過15cm，狀態(tài)估值的方差逐漸穩(wěn)定于5cm，濾波結果可信度高，濾波效果顯著。

為增加可靠性，筆者在y軸和z軸進行同樣的測試，取得較好的效果，說明模型的建立是合理的。

2.2 卡爾曼濾波狀態(tài)方程的重新建立

利用新建立AR模型重新濾波的結果見圖5。

圖5 重新濾波結果

由圖5中實線可知，再次濾波的狀態(tài)估值更接近真值。程序顯示，濾波收斂值與準確值最大偏差不超過3 cm，方差逐漸穩(wěn)定于5mm。

3 結 論

1)采用AR模型和卡爾曼濾波模型能夠對坐標值進行有效濾波，防止定位結果偏差過大、粗差情況的出現(xiàn)，并進行修正。

2)采用了更加逼近真值的一次濾波后的坐標值來建立AR模型，模型更加準確，其預測精度有了較大提高，濾波效果也更加明顯。

3)實驗采用偽距單點定位結果進行二次濾波。而此基于卡爾曼濾波重建的點位修正方法，可以推廣到其他定位結果的數(shù)據處理中，通過提高模型的精度來提高定位結果精度。

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[責任編輯：劉文霞]

GPS point correction based on Kalman filter reconstruction

XU Ai-gong, WU Tan-shi, SUI Xin,ZHANG Jian-long

(School of Geomatics, Liaoning Technical University, Fuxin 123000,China)

The single point positioning results are affected markedly by the satellite ephemeris error, the satellite clock error and the atmospheric delay error. So the calculated positioning results fluctuate around the truth value. ARMA model is used to establish the Kalman filter observation equation and state equation, and filtere the positioning results. The coordinate values are used as the first time filtering which is regard as initial value to establish ARMA model and carry out second time filtering.The experiments show that it can effectively prevent the big deviation of positioning results and the maximum deviation between filtering convergence value and accurate value is less than 3cm. It shows that the model established by first time filtering coordinate value is more reasonable. So a new method for the establishment of single point positioning time-series model is provided.

single point positioning；time-series；Kalman filter；ARMA model

2013-10-25

現(xiàn)代城市測繪國家測繪地理信息局重點實驗室開放課題資助項目(20111203W)

徐愛功(1963-)，男，教授，博士生導師.

P228.4

：A

：1006-7949(2014)10-0001-03