段 宇，吳江飛

(信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052)

基于EKF和自適應(yīng)抗差濾波的星載GPS定軌方法

段 宇，吳江飛

(信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052)

針對(duì)在星載GPS衛(wèi)星定軌中由于衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)模型誤差和不可避免的觀測(cè)異常嚴(yán)重影響定軌精度的問(wèn)題，通過(guò)采用適當(dāng)?shù)淖赃m應(yīng)控制因子和應(yīng)用抗差估計(jì)原理，構(gòu)造自適應(yīng)抗差擴(kuò)展卡爾曼濾波(RAEKF)來(lái)實(shí)現(xiàn)星載GPS衛(wèi)星定軌。實(shí)測(cè)計(jì)算表明，自適應(yīng)抗差擴(kuò)展卡爾曼濾波對(duì)觀測(cè)誤差和狀態(tài)擾動(dòng)有一定的抵制能力，與一般擴(kuò)展卡爾曼濾波相比提高了精度，證明其理論的可行性。

非線(xiàn)性濾波；定軌；擴(kuò)展卡爾曼濾波；自適應(yīng)濾波；抗差估計(jì)

國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出多種自適應(yīng)濾波算法并廣泛地應(yīng)用于各種工程實(shí)踐中[1-3]。利用抗差估計(jì)原理也可以實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的自適應(yīng)濾波[3]?？柭鼮V波應(yīng)用于星載GPS實(shí)時(shí)定軌的情況下，由于一方面低軌衛(wèi)星的受力情況復(fù)雜，其動(dòng)力學(xué)模型的精確度難以保證。另一方面其數(shù)據(jù)采集裝置星載GPS接收機(jī)處在外空高速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，環(huán)境變換大，可觀測(cè)性不強(qiáng)。這些特點(diǎn)導(dǎo)致星載GPS觀測(cè)值出現(xiàn)異常甚至粗差的幾率與地面觀測(cè)的情形相比有明顯的增大。上述問(wèn)題若無(wú)法解決，卡爾曼濾波結(jié)果的精確性和穩(wěn)定性會(huì)顯著降低，嚴(yán)重情況下甚至?xí)?dǎo)致濾波器的發(fā)散。因此，在使用卡爾曼濾波器進(jìn)行迭代計(jì)算時(shí)，對(duì)于狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣和觀測(cè)噪聲協(xié)方差陣采用抗差估計(jì)的原理自適應(yīng)的求解，可以有效地減弱和控制觀測(cè)噪聲和狀態(tài)噪聲對(duì)狀態(tài)估計(jì)的影響[4-5]。

EKF(extended Kalman filter)是一種非線(xiàn)性濾波算法。它是在卡爾曼濾波的框架下，使用展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)的方法對(duì)動(dòng)態(tài)方程和誤差方程作一階線(xiàn)性化處理，來(lái)近似非線(xiàn)性濾波的方法[6]。它是到目前為止應(yīng)用最為廣泛的一種非線(xiàn)性濾波，且在某些情況下仍為解決問(wèn)題的最佳方法[7-8]。本文基于非線(xiàn)性濾波EKF研究了一種新的非線(xiàn)性自適應(yīng)抗差濾波(adaptively robust extended Kalman filter， AREKF)，并將這種算法在MicroLab-1衛(wèi)星的精密定軌中進(jìn)行應(yīng)用，實(shí)測(cè)計(jì)算結(jié)果證明該算法的有效性和可行性。

1 非線(xiàn)性自適應(yīng)抗差濾波[9]

本文研究的衛(wèi)星軌道確定問(wèn)題是一個(gè)非線(xiàn)性系統(tǒng)。非線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程分別為

Xk=f(Xk-1)+Wk,

(1)

Lk=h(Xk)+ek.

(2)

式中：Xk為狀態(tài)向量；f(·)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程；Wk為狀態(tài)噪聲向量；Lk為觀測(cè)向量；h(·)為觀測(cè)方程；ek為觀測(cè)噪聲向量。其中Wk和ek的期望為零，且不相關(guān)，協(xié)方差分別為∑Wk和∑k。

為控制觀測(cè)異常和狀態(tài)噪聲導(dǎo)致的狀態(tài)預(yù)測(cè)信息異常對(duì)狀態(tài)參數(shù)估值的影響，可以構(gòu)造如下極值原則：

n.

(3)

對(duì)式(3)求極值可得

).

(4)

在擴(kuò)展卡爾曼濾波框架下，式(4)可等價(jià)為

).

(5)

(6)

狀態(tài)向量驗(yàn)后協(xié)方差矩陣為

(7)

由以上公式可得，要實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)抗差濾波，就必須求得觀測(cè)向量等價(jià)協(xié)方差矩陣和自適應(yīng)因子。

1.1 觀測(cè)噪聲等價(jià)協(xié)方差陣[3]

觀測(cè)向量等價(jià)協(xié)方差陣可通過(guò)雙因子方差膨脹模型求得[9]。觀測(cè)向量的協(xié)方差矩陣是一種觀測(cè)量的精度評(píng)定指標(biāo)，它能夠定量地反映觀測(cè)量的離散程度。如果觀測(cè)向量等價(jià)協(xié)方差小，則說(shuō)明觀測(cè)量的質(zhì)量好，精度高，該觀測(cè)所占的權(quán)重就大；相反地，若觀測(cè)量的質(zhì)量較低，精度一般，則該觀測(cè)所占的權(quán)重就小。

(8)

由此生成的協(xié)方差矩陣稱(chēng)為等價(jià)協(xié)方差矩陣。由上述推導(dǎo)可以知道，通過(guò)加入膨脹因子構(gòu)造的等價(jià)協(xié)方差陣仍然能夠與原來(lái)的協(xié)方差陣保持相關(guān)性。

為了在觀測(cè)誤差超過(guò)閾值時(shí)，相應(yīng)的方差膨脹，否則原有的方差不變，以λii為例，其膨脹因子可構(gòu)造為

(9)

(10)

式中:vi，σvi分別為殘差向量Vk和殘差向量協(xié)方差矩陣∑Vi中的元素?？捎梢韵鹿角蟮?/p>

(11)

(12)

由膨脹因子的構(gòu)造過(guò)程可以得知，當(dāng)觀測(cè)值的誤差超過(guò)某一設(shè)定值時(shí)，相應(yīng)的方差會(huì)膨脹，即對(duì)原協(xié)方差矩陣作降權(quán)處理。反之，膨脹因子的值為1，原方差保持不變。

1.2 自適應(yīng)因子

不同的誤差判別統(tǒng)計(jì)量[10]或衡量了動(dòng)態(tài)載體實(shí)時(shí)位置狀態(tài)與模型標(biāo)定狀態(tài)的差異，或衡量了動(dòng)力學(xué)模型的誤差大小。基于這樣的原理，可以構(gòu)造自適應(yīng)因子α，以調(diào)節(jié)狀態(tài)信息與觀測(cè)信息對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響。本文中選擇了兩段函數(shù)模型作為自適應(yīng)因子，其具體形式為

(13)

(14)

(15)

1.3 非線(xiàn)性自適應(yīng)抗差擴(kuò)展卡爾曼濾波算法

以標(biāo)準(zhǔn)EKF算法框架為基礎(chǔ)，結(jié)合1.1、1.2所述理論，可以建立如下的非線(xiàn)性自適應(yīng)抗差卡爾曼濾波算法：

狀態(tài)更新：

(16)

(17)

量測(cè)更新：

(18)

(19)

(20)

2 計(jì)算與分析

為了驗(yàn)證所提出的算法性能，實(shí)驗(yàn)中選取MicroLab-1衛(wèi)星星載GPS接收機(jī)所采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行定軌解算[11]。在數(shù)據(jù)處理時(shí)進(jìn)行了一定的簡(jiǎn)化。本算例使用了預(yù)測(cè)殘差統(tǒng)計(jì)量作為誤差判別統(tǒng)計(jì)量，采用兩段式函數(shù)構(gòu)成自適應(yīng)因子。對(duì)于膨脹因子和預(yù)測(cè)殘差統(tǒng)計(jì)量的閾值選取，經(jīng)過(guò)多次計(jì)算和比較，確定為0.9和0.8。

本算例中為研究自適應(yīng)抗差濾波的性能，設(shè)置了A，B，C 3種情況，其參數(shù)設(shè)置如表1所示；同時(shí)將24 h內(nèi)分別由標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)展Kalman濾波(EKF)和抗差自適應(yīng)Kalman濾波(RAEKF)計(jì)算的位置誤差和速度誤差繪制成圖，如圖1～6所示。

表1 A，B，C 3種情況下的濾波參數(shù)

圖1 情況A的位置誤差

圖2 情況A的速度誤差

圖3 情況B的位置誤差

圖4 情況B的速度誤差

圖5 情況C的位置誤差

圖6 情況C的位置誤差

由圖1～6可以得出：

1)濾波結(jié)果在前5 000 s 歷元內(nèi)極不穩(wěn)定，位置誤差最大約達(dá)180 m，速度誤差最大達(dá)0.29 m/s，其后趨于穩(wěn)定,這是由濾波的原理造成的；

2)自適應(yīng)抗差濾波相對(duì)于EKF的濾波結(jié)果有所改善，大部分歷元的誤差均有所降低，但誤差仍在同一個(gè)數(shù)量級(jí)；

3)從自適應(yīng)抗差濾波結(jié)果相對(duì)EKF濾波結(jié)果的改善情況來(lái)看，情況B改善最大，誤差減小幅度最大，情況A次之，情況C基本無(wú)明顯改善，說(shuō)明狀態(tài)噪聲的權(quán)越大，自適應(yīng)抗差濾波的效果越明顯。

均方根誤差(RMS)是估值與真值之差的平方與觀測(cè)次數(shù)比值的平方根，能很好地反應(yīng)出估值的精度。本算例中，分別計(jì)算了狀態(tài)向量估值各維的均方根誤差和位置、速度均方根誤差。其中位置分量的均方根誤差[12]計(jì)算公式為

(21)

(22)

(23)

(24)

速度分量的均方根誤差計(jì)算公式依此類(lèi)推。其計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2給出了A，B，C 3種方案的RMS誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果?？梢钥闯?，AREKF的軌道確定結(jié)果在各個(gè)分量上的RMS誤差均小于EKF的軌道確定結(jié)果在各個(gè)分量上的RMS誤差。各種情況的自適應(yīng)抗差濾波結(jié)果的均方根誤差相對(duì)于EKF均有所減小，說(shuō)明估值的精度均有所提高，但并不十分明顯，其中，情況B精度提高最大，情況A次之，情況C精度提高最小。這與上圖的分析是一致的。

表2 A，B，C 3種方案的RMS誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果 m

3 結(jié)束語(yǔ)

結(jié)合上一節(jié)的圖表可知，個(gè)別歷元自適應(yīng)抗差濾波的解反而比EKF解的誤差更大。這一方面是因?yàn)樵加^測(cè)數(shù)據(jù)誤差較大，無(wú)論使用何種濾波方法均不可能實(shí)現(xiàn)高精度的定軌，另一方面因?yàn)樽赃m應(yīng)抗差濾波只是修改了觀測(cè)噪聲協(xié)方差陣和預(yù)測(cè)狀態(tài)協(xié)方差陣，只能消減觀測(cè)誤差和狀態(tài)噪聲的擾動(dòng)對(duì)濾波結(jié)果的影響，提升總體濾波精度，并不能使每個(gè)歷元的誤差都降低?？偟膩?lái)說(shuō)，本文提出的自適應(yīng)抗差擴(kuò)展卡爾曼濾波算法(RAEKF)對(duì)狀態(tài)擾動(dòng)和觀測(cè)誤差有一定的抵制能力，與標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)相比提高了精度，證明其理論的可行性。

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[責(zé)任編輯：劉文霞]

Methodofsatellite-borneGPSorbitdeterminationbasedonEKFandadaptiverobustfilter

DUAN Yu, WU Jiang-fei

(School of Geospatial Information, Information Engineer University, Zhengzhou 450052, China)

The satellite dynamic model errors and the inevitable observation anomaly have a serious influence on the orbit determination accuracy of satellites based on GPS. An appropriate adaptive control factor and the robust estimation theory are used to establish an adaptive robust extended Kalman filter(AREKF) to complete the orbit determination of satellites based on GPS. The measured calculation shows that the adaptive robust extended Kalman filter serves a certain resistance against the observation error and state disturbance. The precision is improved and the feasibility of the theory compared with the standard extended kalman filter is verified.

nonlinear filter; orbit determination; EKF; adaptive filter; robust estimation

2013-03-19

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41174006;40974010;41274016)

段 宇(1989-)，男，碩士研究生.

P228.4

：A

：1006-7949(2014)01-0021-04