李 萌，陳來榮，唐 亮

(北京林業(yè)大學(xué) 工學(xué)院，北京 100083)

木材運(yùn)輸是指從物流中心運(yùn)送采伐后的木材到需材點(diǎn)的過程[1]，它包含了從林區(qū)運(yùn)到物流中心的運(yùn)輸，物流中心到需材點(diǎn)的運(yùn)輸，以及運(yùn)輸過程中的運(yùn)輸木材量管理。木材運(yùn)輸是木材物流網(wǎng)絡(luò)的核心組成部分，木材物流網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是木材物流系統(tǒng)中的重要問題之一。在木材物流網(wǎng)絡(luò)中，如何降低木材物流成本，提高木材物流效率成為亟待解決的突出問題。因此在木材物流網(wǎng)絡(luò)中研究運(yùn)輸木材量控制有重要的意義，已吸引了國內(nèi)外學(xué)者廣泛的研究興趣。木材量的控制對(duì)于木材物流網(wǎng)絡(luò)的交通成本控制，是一個(gè)極具挑戰(zhàn)性的問題，因?yàn)槟静牧康倪\(yùn)輸成本在整個(gè)木材物流系統(tǒng)中占據(jù)了很大的一部分[2-3]。有大量的研究工作通過研究運(yùn)輸路徑的優(yōu)化來實(shí)現(xiàn)運(yùn)輸成本的控制[4-11]。Lin等學(xué)者[4-5]通過研究物流中心的選址問題來降低木材物流過程中的成本，而 Troncoso等學(xué)者[6-10]通過路徑優(yōu)化來降低木材物流過程中的成本。但是在運(yùn)輸路徑優(yōu)化中，運(yùn)輸木材量的控制是一個(gè)關(guān)鍵性問題。

本文研究探討了木材物流網(wǎng)絡(luò)中的運(yùn)輸木材量控制問題，設(shè)計(jì)了基于效用函數(shù)的木材量控制模型，其中所采用的效用函數(shù)理論，已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用在木材物流網(wǎng)絡(luò)中的控制和優(yōu)化問題中。

1 系統(tǒng)模型

木材物流網(wǎng)絡(luò)模型如圖1所示。假設(shè)木材物流中心建立在木材的采伐點(diǎn)，存在M={1，2，3，…，m}個(gè)物流中心，以及N={1，2，3，…，n}個(gè)需材點(diǎn)。物流中心i與需材點(diǎn)j之間的運(yùn)輸成本為Cij，且Cij可以通過公式(1)得到。

Cij=rijdijWij。

(1)

式中：rij為物流中心i與需材點(diǎn)j之間的單位運(yùn)輸成本；dij為物流中心i與需材點(diǎn)j之間的運(yùn)輸距離；Wij為物流中心i與需材點(diǎn)j之間的運(yùn)輸?shù)哪静牧俊?/p>

圖1 木材物流網(wǎng)絡(luò)模型

一般的，針對(duì)木材物流中心，其中轉(zhuǎn)木材量的能力有一個(gè)上限，如公式(2)所示。

(2)

其中通過Wi來表示物流中心i的中轉(zhuǎn)(存儲(chǔ))上限。

針對(duì)每一個(gè)物流中心，為了將所需木材實(shí)時(shí)、及時(shí)的運(yùn)輸?shù)叫璨狞c(diǎn)，它需要對(duì)木材進(jìn)行存儲(chǔ)，因此將會(huì)花費(fèi)一定的存儲(chǔ)成本。用Sij來表示木材物流中心i為需材點(diǎn)j存儲(chǔ)木材時(shí)的存儲(chǔ)成本，且Sij可以表示為，

(3)

其中μij是木材量的單位存儲(chǔ)成本。因此木材物流中心i與需材點(diǎn)j之間的運(yùn)輸效用函數(shù)(成本函數(shù))可以用公式(4)表示。

(4)

當(dāng)應(yīng)用效用函數(shù)來解決運(yùn)輸木材量控制的問題的時(shí)候，首先要理解一個(gè)重要的概念，即效用在這里反映的是運(yùn)輸成本?；谏鲜瞿Ｐ?，研究一個(gè)效用函數(shù)，來解決木材物流網(wǎng)絡(luò)中的運(yùn)輸木材量控制問題。所有的運(yùn)輸路徑所構(gòu)成的效用函數(shù)可以用公式(5)表示。

(5)

在木材物流網(wǎng)絡(luò)中，優(yōu)化目標(biāo)是最小化網(wǎng)絡(luò)中木材運(yùn)輸?shù)倪\(yùn)輸成本，目標(biāo)是在物流中心的中轉(zhuǎn)能力限制條件下，最小化公式(5)所給出的效用，如下面的公式(6)所示。

(6)

約束條件為：

對(duì)于所有的i∈M,M={1,2,3,…,m}。

(7)

基于上述的目標(biāo)函數(shù)，可以通過計(jì)算最優(yōu)的木材量來得到最小化的成本。公式(6)是整個(gè)木材運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)輸成本(效用)，公式(7)是每一個(gè)木材物流中心的中轉(zhuǎn)能力限制條件。通過解決公式(6)和公式(7)的最優(yōu)化問題，可以得到每一條運(yùn)輸路徑的最優(yōu)運(yùn)輸木材量，從而最小化網(wǎng)絡(luò)的整體運(yùn)輸成本。

2 解決方案

討論并給出最優(yōu)控制問題，即公式(6)和公式(7)的解決方案。

證明：最優(yōu)控制問題(6)和(7)可以通過拉格朗日算子方法來解決。針對(duì)公式(6)，其拉格朗日方程可由下面的公式得到：

(8)

對(duì)公式(8)求導(dǎo)數(shù)，可以得到：

(9)

令偏導(dǎo)數(shù)等于零，可以得到：

rijdij+2μijWij-λi=0。

(10)

解上面的方程，并得到其解表達(dá)式如下：

(11)

將公式(11)帶入公式(7)中，可以得到每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的拉格朗日算子λi的表達(dá)式如下：

(12)

因此，拉格朗日算子λi可以表達(dá)為：

(13)

將公式(13)帶入公式(11)中，可以得到最優(yōu)的運(yùn)輸木材量如下：

(14)

3 仿真驗(yàn)證

對(duì)木材物流網(wǎng)絡(luò)中的木材運(yùn)輸進(jìn)行數(shù)字化仿真。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中存在5個(gè)木材物流中心，以及3個(gè)需材點(diǎn)。假設(shè)所有的木材物流中心與需材點(diǎn)都是兩兩互聯(lián)的。給出了仿真所需要的參數(shù)設(shè)置(見表1)。給出了最終的仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。從仿真結(jié)果，可以得到木材物流網(wǎng)絡(luò)中的最優(yōu)木材量配置，來最小化整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)輸成本。

圖2 每一條路徑的最優(yōu)運(yùn)輸木材量

圖3 每一條路徑的最優(yōu)運(yùn)輸成本

表1 仿真參數(shù)

4 結(jié)束語

本文討論了木材物流網(wǎng)絡(luò)中的運(yùn)輸成本最小化問題，提出了一種新的基于效用函數(shù)的優(yōu)化模型。在模型中，通過考慮木材運(yùn)輸中的運(yùn)輸成本和存儲(chǔ)成本兩個(gè)因素，構(gòu)建了木材物流過程中的成本控制效用函數(shù)，從而得到了網(wǎng)絡(luò)成本最低時(shí)的運(yùn)輸木材量。實(shí)例表明，所構(gòu)建的模型可以獲得木材物流網(wǎng)絡(luò)所需的最優(yōu)木材量，從而實(shí)現(xiàn)運(yùn)輸成本的最小化。所得模型與求解結(jié)果為木材物流網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建及

優(yōu)化提供了有益的決策參考。

在后續(xù)的研究中，可能需要考慮更多的影響整個(gè)木材物流成本的因素，進(jìn)一步研究在木材物流網(wǎng)絡(luò)中的各參數(shù)的動(dòng)態(tài)變化對(duì)成本的影響。

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