余 斌，高 珊，王立海，謝婉欣，侯玉婷

(東北林業(yè)大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院，哈爾濱 150040)

木材缺陷的檢測是目前提高木材有效使用率的主要途徑之一。然而隨著社會的發(fā)展，傳統(tǒng)的人工檢測木材缺陷的方法，已經(jīng)滿足不了木材生產(chǎn)過程中對木材非破壞性快速檢測和持續(xù)檢測的需求。作為木材無損檢測技術(shù)中的一種，超聲波檢測技術(shù)的基本原理是超聲波產(chǎn)生的聲脈沖進入被檢測木材中，在木材內(nèi)部經(jīng)過穿透、反射、衰減后被另一端的傳感器收集，通過提取和處理接受端傳感器收集到的不同信號參數(shù)，進行木材材性和健康情況的預(yù)測。雖然到目前為止有關(guān)于超聲波在木材無損檢測的實際應(yīng)用方面已經(jīng)有了較多的研究成果，如于文勇等對超聲波木材缺陷檢測若干問題的探討[1]，楊慧敏等對超聲波功率譜技術(shù)在木材空洞缺陷無損檢測中的應(yīng)用研究[2]，孫吉男等對超聲波探測紅櫟木材的蜂窩和淺裂的研究[3]，肖江等對基于DSP的木材強度超聲波檢測系統(tǒng)研究[4]等等，但是從理論模型角度對超聲波在木材內(nèi)部傳播規(guī)律的研究還是尚未深入展開。

本文將原木看作正交各向異性材料，結(jié)合彈性波在固體介質(zhì)中的傳播理論以及聲學(xué)理論[5-6，11]，研究了超聲波在原木內(nèi)部的傳播規(guī)律，并得出了超聲波在原木內(nèi)部傳播過程中的位移方程和速度方程，為超聲波在木材檢測應(yīng)用上提供了理論依據(jù)。

1 超聲波在固體介質(zhì)中的控制方程

∑Fx=0,∑Fy=0,∑Fz=0。

∑Mx=0,∑My=0,∑Mz=0。

由∑Fx=0，可以得到下列等式：

圖1 微分平行六面體受力分析

(1)

同理，根據(jù)∑Fy=0，∑Fz=0，可以得到與公式(1)類似的另外兩個等式：

(2)

(3)

由于研究對象超聲波在固體物內(nèi)部的傳播過程中會引起質(zhì)點的運動，因此以上公式(1)、(2)、(3)中的右邊項應(yīng)不等于零。結(jié)合牛頓第二定律，可得到超聲波在固體物中傳播時質(zhì)點的運動微分方程：

(4)

(5)

(6)

σij,i+Fj=ρiij。

(7)

其中i,j的取值范圍為1，2，3，且分別對應(yīng)坐標(biāo)x，y，z；σij,i表示應(yīng)力分量對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)，F(xiàn)j表示體力分量，iij表示加速度分量。

σij=cijkluk,l。

(8)

其中cijkl為四階張量。

再將公式(8)代入公式(7)可以得到超聲波在固體介質(zhì)中的控制方程：

cijkluk,il+Fj=ρiij。

(9)

其穩(wěn)態(tài)無源形式為：

ρiij-cijkluk,il=0。

(10)

2 原木中的超聲波傳播方程

基于以上超聲波在固體介質(zhì)中的傳播理論，為了探究超聲波在原木內(nèi)部的傳播規(guī)律，首先必須分析原木的材料性質(zhì)。原木通常被看作成一種圓柱形的正交各向異性材料，這種材料的彈性常數(shù)首先是一個四階對稱張量，滿足cijkl=cjikl=cijlk=cklij，其中i、j、k、l的取值范圍均為1、2、3。然后將應(yīng)力、應(yīng)變以及彈性常數(shù)的足標(biāo)簡化[11]，可得下式：

(11)

由于研究的原木屬于正交各向異性材料，這種材料只有9個獨立的彈性常數(shù)[7]，因此原木的勁度系數(shù)矩陣為：

(12)

(13)

(14)

(15)

上式中的各項系數(shù)為：

A1=C11·l；B1=C66·l；C1=C55·l；D1=(C12+C66)·m；E1=(C13+C55)·n；F1=ρ·l。

A2=C66·m；B2=C22·m；C2=C44·m；D2=(C21+C66)·l；E2=(C23+C44)·n；F2=ρ·m。

A3=C55·n；B3=C44·n；C3=C33·n；D3=(C32+C44)·m；E3=(C31+C55)·l；F3=ρ·n。

根據(jù)公式(13)、(14)、(15)，令U(x,y,z,t)的分離變量形式為：

U(x,y,z,t)=X(x)·Y(y)·Z(z)·T(t)。

(16)

上式中，X(x)僅為變量x的函數(shù)，Y(y)僅為變量y的函數(shù)，Z(z)僅為變量z的函數(shù)，T(t)僅為變量t的函數(shù)。因此根據(jù)公式(16)可得到如下關(guān)系式：

這樣公式(13)～公式(15)可以改寫為：

(17)

(18)

(19)

U(x,y,z,t)=k1k2k3e(ax+by+cz)·(k4edt+k5e-dt)。

(20)

其中k1、k2、k3、k4、k5為任意常數(shù)。

U(x,y,z,t)=k1k2k3k4e(ax+by+cz)·(edt-e-dt)。

(21)

根據(jù)沿空間任意方向傳播的平面波表達式P=Aexpi(kx·x+kv·y+kz·z-ωt)，可以得到在t=0時刻，原木內(nèi)部質(zhì)點的振動速度大小為：

(22)

由公式(21)、(22)可得：

(23)

將公式(23)求解，可以得到：

(24)

因此，將公式(17)及公式(24)聯(lián)立后可以解得：

(25)

(26)

最后，將公式(21)、(24)、(25)、(26)聯(lián)立，可解得超聲波在原木內(nèi)部傳播過程中質(zhì)點的位移方程為：

(27)

相應(yīng)地，質(zhì)點的速度方程為：

(28)

根據(jù)得到的原木內(nèi)質(zhì)點運動速度方程，通過分析可得：超聲波在原木內(nèi)部傳播過程中，原木內(nèi)質(zhì)點的運動速度首先會受到超聲波傳播速度、傳播方向、角頻率、振幅等參數(shù)變化的影響，并且隨著振幅的增大，質(zhì)點運動速度加快。同時，原木本身的材料性質(zhì)，如原木內(nèi)部質(zhì)點的密度大小、不同原木材料的彈性常數(shù)變化等，也會對質(zhì)點的運動速度產(chǎn)生一定的影響。

3 結(jié)束語

超生波檢測技術(shù)作為無損檢測技術(shù)中較為常見的一種[12]，在木材腐朽以及材質(zhì)的檢測上起到了重要作用。為了更好地利用超聲波檢測技術(shù)，了解超聲波在原木內(nèi)部的傳播理論，本文依據(jù)彈性波在固體介質(zhì)中的傳播理論，結(jié)合正交各向異性材料的性質(zhì)，對超生波在原木中的傳播規(guī)律進行了研究，

并得出了相應(yīng)地位移方程和速度方程。當(dāng)然，對于超聲波這一檢測技術(shù)而言，如果想完全了解它在木材內(nèi)部真實的傳播情況，目前還存在一些比較復(fù)雜的技術(shù)問題未能完全解決，這有待科研工作者進一步的研究與完善。

【參 考 文 獻】

[1]于文勇，王立海，楊慧敏，等.超聲波木材缺陷檢測若干問題的探討[J].森林工程，2006，22(6)：7-9.

[2]楊慧敏，王立海.超聲波功率譜技術(shù)在木材空洞缺陷無損檢測中應(yīng)用[J].森林工程，2005，21(2)：8-9.

[3]孫吉男，于 莉，金德子.用超聲波探測紅櫟木材的蜂窩和淺裂[J].林業(yè)科技，1998，23(4)：61-62.

[4]肖 江，楊建華，黃 娜.基于DSP的木材強度超聲波檢測系統(tǒng)研究[J].林業(yè)機械與木工設(shè)備，2008，36(1)：27-287.

[5]杜功煥，朱哲民，龔秀芬.聲學(xué)基礎(chǔ)(第2版)[M].南京：南京大學(xué)出版社，2001.

[6]Pierce Allan D.Acoustics[M].New York：McGraw-Hill Book Company，1981.

[7]吳家龍.彈性力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2001.

[8]蔣玉川，張建海，李章政.彈性力學(xué)與有限單元法[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

[9]薛 強，馬士進，童智能.彈性力學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006.

[10]Timoshenko S P，Goodier J N.Theory of elasticity[M].3rded.New York：McGraw-Hill Book Co，1970.

[11]張海瀾.理論聲學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[12]中國無損檢測學(xué)會.超聲波探傷[M].北京：機械工業(yè)出版社，1987.