許麗華

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院 鹽城機(jī)電分院 ，江蘇 鹽城 224005)

0 引言

通常我們?cè)谘芯孔匀唤缰械母鞣N現(xiàn)象時(shí)，發(fā)現(xiàn)它們大部分是無(wú)序的、不穩(wěn)定的和隨機(jī)的，不存在任何線(xiàn)性關(guān)系.但為了研究方便，習(xí)慣于將復(fù)雜的研究對(duì)象簡(jiǎn)化、抽象，建立起各種理想狀態(tài)下的線(xiàn)性模型，從而將問(wèn)題加以解決.雖然從數(shù)學(xué)角度上這種近似方法也可以解決一些較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但對(duì)于復(fù)雜一些的非線(xiàn)性系統(tǒng)和過(guò)程，用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具根本無(wú)法描述[1].近年來(lái)，非線(xiàn)性科學(xué)領(lǐng)域研究中發(fā)展起來(lái)的分形學(xué)從紛繁復(fù)雜的系統(tǒng)本身入手，揭示非線(xiàn)性系統(tǒng)中有序與無(wú)序、確定性與隨機(jī)性的統(tǒng)一.

分形理論借助相似性原理洞察隱藏于混亂現(xiàn)象中的精細(xì)結(jié)構(gòu)，打破了傳統(tǒng)的線(xiàn)性觀，開(kāi)拓了人們認(rèn)識(shí)復(fù)雜現(xiàn)實(shí)世界的新思路和新途徑，使人們能以全新的觀念和手段來(lái)處理這些難題，透過(guò)撲朔迷離的無(wú)序的混沌現(xiàn)象和不規(guī)則的形態(tài)，探索和揭示隱藏在復(fù)雜現(xiàn)象背后的規(guī)律及本質(zhì)聯(lián)系[2].為人們從局部認(rèn)識(shí)整體、從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限提供新的方法論，為不同的學(xué)科發(fā)現(xiàn)的規(guī)律提供了嶄新的語(yǔ)言和定量的描述，為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)提供了新的思想方法.近 20 年來(lái)，分形理論在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及工業(yè)生產(chǎn)等許多領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，并逐步成為連結(jié)現(xiàn)代各學(xué)科的緯線(xiàn).

1 分形模型和分形求和法

設(shè)分形模型

N(r)=Cr(D r>0

(1)

其中r表示特征尺度，C>0稱(chēng)為比例常數(shù)，D>0稱(chēng)為一般分維數(shù)，N(r)=N(≥r)表示尺度大于等于r的數(shù)目或和數(shù).例如r可表示金品位，N(≥r)表示金品位大于等于r的樣品數(shù)目或和數(shù).分形分布可以應(yīng)用于那些具有標(biāo)度不變性的地質(zhì)現(xiàn)象，而標(biāo)度不變性則提供了應(yīng)用分形分布的基礎(chǔ).

設(shè)研究數(shù)據(jù){xi}，i=1，2，…，N.記

(2)

log[N(r)]= (Dlog(r) + log(C)

(3)

用最小二乘法求出斜率D的估計(jì)量，即為分維數(shù)；如果其散點(diǎn)大致分布在二段直線(xiàn)上時(shí)(即分二組的情形)，可采用分段擬合，有的界限點(diǎn)清楚，有的則不清楚.為了提高界限點(diǎn)確定的客觀性，在二個(gè)區(qū)間用最小二乘法進(jìn)行回歸時(shí)用了最優(yōu)化方法確定界限點(diǎn).其基本思想是，找出合適的界限點(diǎn)ri0，使各區(qū)間擬合的直線(xiàn)與原始數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的剩余平方和Ei(i=1，2)在兩個(gè)區(qū)間的總和：

(4)

為最小.其中ri0是界限點(diǎn)，D1和D2分別為相應(yīng)區(qū)間的斜率即分維數(shù).為了檢驗(yàn)回歸方程的顯著性，對(duì)每個(gè)回歸方程都進(jìn)行了相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)及方差分析檢驗(yàn).該方法可以推廣到三段直線(xiàn)以上的情況，即分三組以上的情形.

2 求和法在工業(yè)數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用

我國(guó)是個(gè)資源大國(guó)，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和資源的開(kāi)發(fā)利用，工業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)生的“三廢”也在日愈增加，迫使我們一方面要減少對(duì)其的排放，一方面還要增加對(duì)其的綜合利用[3].因此，如何通過(guò)對(duì)工業(yè)“三廢”數(shù)據(jù)特征進(jìn)行客觀、有效地分析，建立科學(xué)合理的預(yù)測(cè)模型，進(jìn)一步探討工業(yè)“三廢”的行為機(jī)制，成為需要解決的重大問(wèn)題.分形求和法的提出，為解釋復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為機(jī)制提供了有力的工具，從時(shí)間序列數(shù)據(jù)中研究復(fù)雜系統(tǒng)的分形特征，為準(zhǔn)確反映系統(tǒng)的變化規(guī)律發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用，其目前已經(jīng)在化學(xué)、生物、地質(zhì)、氣象、水文等諸多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[4].筆者根據(jù)湖南省1993—2012年近20年的工業(yè)廢氣排放總量和工業(yè)“三廢”綜合利用產(chǎn)品產(chǎn)值數(shù)據(jù)，通過(guò)分析其分維數(shù)，研究其分形特征.表1和表2數(shù)據(jù)均來(lái)源于湖南省1994年—2013年統(tǒng)計(jì)年鑒.

表1 工業(yè)廢氣排放總量(單位：億標(biāo)立方米)

表2 工業(yè)”三廢”綜合利用產(chǎn)品產(chǎn)值(單位：萬(wàn)元)

根據(jù)表1中1993年到2012年的工業(yè)廢氣排放量數(shù)據(jù)序列，我們選取相應(yīng)的r值，保證2270≤ r ≤ 6013.9即可，所選取的r值和經(jīng)計(jì)算所得的相對(duì)應(yīng)的N(r)值見(jiàn)表3.同理我們可以根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)序列選取相應(yīng)的r值，保證19932≤ r ≤ 263513.6即可，所選取的r值和經(jīng)計(jì)算所得的相對(duì)應(yīng)的N(r)值見(jiàn)表4.

表3 工業(yè)廢氣排放總量的N(r)

表4 工業(yè)三廢綜合利用產(chǎn)品產(chǎn)值的N(r)

根據(jù)表1和表3中的數(shù)據(jù)序列{xi}，i=1，2，…，20.在lnN(r)-lnr坐標(biāo)中投點(diǎn)，用最小二乘法擬合直線(xiàn)(見(jiàn)圖1)，得到相應(yīng)的工業(yè)廢氣排放總量的直線(xiàn)方程為：

LogN(r) = -2.424805535 Inr + 30.184593882270≤ r ≤ 6013.9

因而得到分維數(shù) D = 2.42；同理根據(jù)表2和表4中的數(shù)據(jù)可以得到工業(yè)三廢綜合利用產(chǎn)品產(chǎn)值的直線(xiàn)方程：

LogN(r) =-0.1382929868 Inr + 15.8742920719932≤ r ≤ 80000

LogN(r) =-1.520647185 Inr + 31.4504393180000≤ r ≤263513.6

得到相應(yīng)的分維數(shù) D1 = 0.138；D2 = 1.52；界限點(diǎn)r0= 80000，它所對(duì)應(yīng)的是2001年工業(yè)三廢綜合利用產(chǎn)品產(chǎn)值.圖2為相應(yīng)的lnN(r)-lnr圖.以上方程均通過(guò)顯著性檢驗(yàn).

圖1 lnN(r)-lnr圖圖2lnN(r)-lnr圖

從圖1我們可以得到分維數(shù)D=2.42，它反映了湖南省從1993年至2012年間工業(yè)廢氣排放總量的變化趨勢(shì).從總體上看，湖南省近20年里工業(yè)廢氣排放總量大致呈現(xiàn)增長(zhǎng)的趨勢(shì)，分維數(shù)的大小反映了工業(yè)廢氣排放總量增長(zhǎng)的趨勢(shì)大小.從圖2我們可以得到分維數(shù)D1=0.138，D2=0.152，分界點(diǎn)r0=80000，它所對(duì)應(yīng)的是2001年工業(yè)三廢綜合利用產(chǎn)品產(chǎn)值.可以看出，從總體上看，湖南省近20年里工業(yè)三廢綜合利用產(chǎn)品產(chǎn)值大致呈現(xiàn)增長(zhǎng)的趨勢(shì)，分界點(diǎn)r0所對(duì)應(yīng)的年代產(chǎn)值都要比前8年的年代產(chǎn)值要大，而比后11年的年代產(chǎn)值要小.這2個(gè)分維數(shù)的大小反映了這二部分的變化趨勢(shì)大小.其中分維數(shù)越大，表明變化趨勢(shì)越大；分維數(shù)越小，表明變化趨勢(shì)越小.

3 結(jié)論

基于分形模型，提出分形求和法，通過(guò)對(duì)湖南省的工業(yè)廢氣排放總量和工業(yè)三廢綜合利用產(chǎn)品產(chǎn)值數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過(guò)分維數(shù)的大小準(zhǔn)確的反映了其變化趨勢(shì)的大小.該方法與傳統(tǒng)的概率圖模型方法得到的結(jié)論一致，不僅適用于工業(yè)生產(chǎn)中的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，而且還適用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)數(shù)據(jù)、地質(zhì)數(shù)據(jù)等[5]，具有普遍的意義.

[1]郭玉濱.關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘算法研究[J]. 棗莊學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，23(2)：70-73.

[2]董科強(qiáng).分形理論和時(shí)間序列分析若干問(wèn)題研究[D].北京：北京交通大學(xué)數(shù)學(xué)系,2011.

[3]丁俊,孫洪泉.優(yōu)化分形維數(shù)計(jì)算方法[J].四川建筑科學(xué)研究,2011 ,25(5)：34-35.

[4]劉青,劉麗麗.江西省煤炭產(chǎn)業(yè)前后向關(guān)聯(lián)分析[J].棗莊學(xué)院學(xué)報(bào)，2013,30(2)：49-54.

[5]朱葉紅,朱道才.基于灰色關(guān)聯(lián)方法的安徽產(chǎn)業(yè)協(xié)同分析[J].棗莊學(xué)院學(xué)報(bào)，2012,29(5)：57-63.