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        解析幾何中對(duì)稱問題的解法探析

        2014-08-20 17:49:30陳則候
        新課程·中旬 2014年6期
        關(guān)鍵詞:對(duì)稱點(diǎn)方程組評(píng)析

        陳則候

        一、關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題

        1.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱

        解決點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱問題的關(guān)鍵是利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,點(diǎn)P(a,b)關(guān)于點(diǎn)Q(m,n)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2m-a,2n-b),中點(diǎn)問題也是其他對(duì)稱問題的基礎(chǔ).

        2.直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱

        例1.求直線l∶2x-3y+1=0關(guān)于點(diǎn)A(1,2)對(duì)稱的直線l′的方程.

        解法一:在直線l∶2x-3y+1=0上任取兩點(diǎn),如,M(1,1),N(-2,-1),則M、N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)M′,N′均在直線l′上,易知由兩點(diǎn)式可得l′的方程為2x-3y+7=0.

        解法二:∵l∶l′, ∴可設(shè)l′的方程為2x-3y+c=0(c≠1)

        評(píng)析:解法一是取特殊點(diǎn)法;解法二是兩直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱成平行直線,對(duì)稱點(diǎn)到兩直線的距離相等的幾何性質(zhì).

        二、關(guān)于直線的對(duì)稱

        1.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱

        一般的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題

        例2.求點(diǎn)P(4,0)關(guān)于直線l∶5x+4y+21=0的對(duì)稱點(diǎn)P′.

        解法:設(shè)P(4,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′,y′),顯然x′≠4,則PP′⊥l,線段PP的中點(diǎn)在直線l上.

        2.直線關(guān)于直線的軸對(duì)稱

        一般的直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題

        評(píng)析:此類型是直線與對(duì)稱軸相交.四種解法都是常用方法,都注意利用幾何性質(zhì).解法一是抓住了對(duì)稱關(guān)系的轉(zhuǎn)化(線關(guān)于線對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱);解法二抓住P與P′是一對(duì)“相關(guān)點(diǎn)”,利用“相關(guān)點(diǎn)”的性質(zhì)求出直線l2上的動(dòng)點(diǎn)的軌跡,這是求曲線關(guān)于直線對(duì)稱方程的常用方法.

        3.圓錐曲線關(guān)于直線的對(duì)稱

        例4.求圓C∶(x-2)2+(y+3)2=1關(guān)于直線l∶2x-y-1=0的對(duì)稱圓方程.

        評(píng)析:此題其實(shí)就是求圓心(2,-3)關(guān)于直線l∶2x-y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)問題.

        例5.求拋物線y2=2x關(guān)于直線2x-y-1=0的對(duì)稱拋物線方程.

        總之,求對(duì)稱問題歸根結(jié)底都是點(diǎn)的對(duì)稱,我們通常采用變量替換、數(shù)形結(jié)合等思想。求對(duì)稱問題的通法是:(1)求對(duì)稱點(diǎn)一般采用,先設(shè)對(duì)稱點(diǎn)P(x,y),再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式或垂直、平分等條件,列出x,y的方程組,解方程組所得的解就是對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求對(duì)稱直線一般是:先設(shè)對(duì)稱曲線上任一點(diǎn)P(x,y),再利用求對(duì)稱點(diǎn)的方程求出P點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q點(diǎn)坐標(biāo),將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入已知曲線方程中,所得的關(guān)于x,y的關(guān)系式,就是所求對(duì)稱曲線的方程.

        (作者單位 浙江省永嘉縣上塘中學(xué))

        編輯 王團(tuán)蘭

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