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        解析幾何中對稱問題的解法探析

        2014-08-20 17:49:30陳則候
        新課程·中旬 2014年6期
        關(guān)鍵詞:對稱點方程組評析

        陳則候

        一、關(guān)于點的對稱問題

        1.點關(guān)于點的對稱

        解決點點對稱問題的關(guān)鍵是利用中點坐標公式,點P(a,b)關(guān)于點Q(m,n)的對稱點為P′(2m-a,2n-b),中點問題也是其他對稱問題的基礎(chǔ).

        2.直線關(guān)于點的對稱

        例1.求直線l∶2x-3y+1=0關(guān)于點A(1,2)對稱的直線l′的方程.

        解法一:在直線l∶2x-3y+1=0上任取兩點,如,M(1,1),N(-2,-1),則M、N關(guān)于點A的對稱點M′,N′均在直線l′上,易知由兩點式可得l′的方程為2x-3y+7=0.

        解法二:∵l∶l′, ∴可設(shè)l′的方程為2x-3y+c=0(c≠1)

        評析:解法一是取特殊點法;解法二是兩直線關(guān)于點對稱成平行直線,對稱點到兩直線的距離相等的幾何性質(zhì).

        二、關(guān)于直線的對稱

        1.點關(guān)于直線的對稱

        一般的點關(guān)于直線的對稱問題

        例2.求點P(4,0)關(guān)于直線l∶5x+4y+21=0的對稱點P′.

        解法:設(shè)P(4,0)關(guān)于直線l的對稱點為P′(x′,y′),顯然x′≠4,則PP′⊥l,線段PP的中點在直線l上.

        2.直線關(guān)于直線的軸對稱

        一般的直線關(guān)于直線的對稱問題

        評析:此類型是直線與對稱軸相交.四種解法都是常用方法,都注意利用幾何性質(zhì).解法一是抓住了對稱關(guān)系的轉(zhuǎn)化(線關(guān)于線對稱轉(zhuǎn)化為點關(guān)于線對稱);解法二抓住P與P′是一對“相關(guān)點”,利用“相關(guān)點”的性質(zhì)求出直線l2上的動點的軌跡,這是求曲線關(guān)于直線對稱方程的常用方法.

        3.圓錐曲線關(guān)于直線的對稱

        例4.求圓C∶(x-2)2+(y+3)2=1關(guān)于直線l∶2x-y-1=0的對稱圓方程.

        評析:此題其實就是求圓心(2,-3)關(guān)于直線l∶2x-y-1=0的對稱點問題.

        例5.求拋物線y2=2x關(guān)于直線2x-y-1=0的對稱拋物線方程.

        總之,求對稱問題歸根結(jié)底都是點的對稱,我們通常采用變量替換、數(shù)形結(jié)合等思想。求對稱問題的通法是:(1)求對稱點一般采用,先設(shè)對稱點P(x,y),再利用中點坐標公式或垂直、平分等條件,列出x,y的方程組,解方程組所得的解就是對稱點的坐標;(2)求對稱直線一般是:先設(shè)對稱曲線上任一點P(x,y),再利用求對稱點的方程求出P點的對稱點Q點坐標,將Q點坐標代入已知曲線方程中,所得的關(guān)于x,y的關(guān)系式,就是所求對稱曲線的方程.

        (作者單位 浙江省永嘉縣上塘中學)

        編輯 王團蘭

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