熊 明

（華南師范大學(xué)政治與行政學(xué)院，廣東廣州510631）

塔斯基［Tarski 1936］提出了一階語(yǔ)言的一種解釋，這種解釋允許使用任何個(gè)體對(duì)象作為變?cè)娜≈?，不同的變?cè)虺Ｔ赡芤韵嗤膶?duì)象作為它們的解釋。這種解釋現(xiàn)在已成為一階語(yǔ)言的標(biāo)準(zhǔn)解釋，被稱為塔斯基語(yǔ)義。在塔斯基提出這種語(yǔ)義之前，法國(guó)邏輯學(xué)家艾爾布朗在對(duì)其“基本定理”（現(xiàn)稱為艾爾布朗定理）的證明中，事實(shí)上也對(duì)一階語(yǔ)言提出了一種解釋。①塔斯基的論文發(fā)表于1935年，而艾爾布朗定理出現(xiàn)在艾爾布朗的博士論文[Herbrand 1930]（1929年4月完成，但因服兵役答辯直到1930年6月才完成），這篇論文甚至稍早于哥德?tīng)栮P(guān)于完全性定理證明的那篇論文［1930年2月完成答辯］。參見(jiàn)［van Heijenoort 1967］，第 525、582頁(yè)。在這種解釋中，變?cè)娜≈抵荒苁且浑A語(yǔ)言中的項(xiàng)，各個(gè)項(xiàng)的解釋就是項(xiàng)本身（因而，不同的項(xiàng)——特別地，不同的變?cè)虺Ｔ囟ū唤忉尀椴煌膶?duì)象）。這種解釋現(xiàn)在稱為一階語(yǔ)言的艾爾布朗語(yǔ)義。

從表面看來(lái)，艾爾布朗語(yǔ)義僅僅是塔斯基語(yǔ)義的一種特殊情形。因此，雖然艾爾布朗定理是一階邏輯中最基本的結(jié)果之一，但是艾爾布朗語(yǔ)義本身似乎并沒(méi)有引起邏輯學(xué)家足夠的重視。美國(guó)斯坦福大學(xué)的T．Hinrichs和M．Genesereth教授在文［Hinrichs&Genesereth 2006］中的研究表明，艾爾布朗語(yǔ)義與塔斯基語(yǔ)義在可判定性、邏輯后承關(guān)系等方面是不同的。

上述種種差異自然是由不同語(yǔ)義解釋造成的。一階語(yǔ)言中任何概念只要依賴于語(yǔ)義都可能會(huì)在塔斯基語(yǔ)義和艾爾布朗語(yǔ)義下有所不同。而真謂詞作為語(yǔ)義中最基本的概念之一自然會(huì)被納入到上述兩種語(yǔ)義的框架之內(nèi)。真謂詞在艾爾布朗語(yǔ)義下是否具有不同于塔斯基語(yǔ)義中的表現(xiàn)呢？這個(gè)問(wèn)題似乎在文獻(xiàn)中還沒(méi)有得到深入的研究，本文就是要想對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行初步的探索，指出艾爾布朗語(yǔ)義下的真謂詞概念確實(shí)是值得注意的。

一、艾爾布朗語(yǔ)義

一階語(yǔ)言中的初始符號(hào)、項(xiàng)、公式等句法對(duì)象一如往常規(guī)定。需要補(bǔ)充的是，為了使艾爾布朗語(yǔ)義不至于過(guò)于平庸，這里約定一階語(yǔ)言中個(gè)體常元不空。注意，一階語(yǔ)言中的語(yǔ)句指的是閉公式，即不含自由變?cè)墓健?/p>

我們知道，在塔斯基語(yǔ)義中，為了能對(duì)語(yǔ)句進(jìn)行賦值，必須給出一定的模型對(duì)語(yǔ)句中的非邏輯符號(hào)做出解釋，同時(shí)還必須通過(guò)指派對(duì)變?cè)付▽?duì)象。這里主要的麻煩在于，雖然語(yǔ)句的賦值獨(dú)立于指派，但是一般情況下，必須在模型和指派下對(duì)所有的公式進(jìn)行賦值，然后才能在模型下對(duì)語(yǔ)句進(jìn)行賦值。艾爾布朗語(yǔ)義就不存在這樣的問(wèn)題，我們可以直接對(duì)語(yǔ)句進(jìn)行賦值。

我們規(guī)定，對(duì)于一個(gè)一階語(yǔ)言L，只要確定L中原子語(yǔ)句的一個(gè)集合，就給出了L的一個(gè)艾爾布朗模型。在某個(gè)艾爾布朗模型M下，按如下方式規(guī)定原子語(yǔ)句的可滿足性：形如s=t的原子語(yǔ)句在M下可滿足，當(dāng)且僅當(dāng)項(xiàng)s和t作為符號(hào)串完全相同；形如Pt1…tn的原子語(yǔ)句在M下可滿足，當(dāng)且僅當(dāng)項(xiàng)s和t作為符號(hào)串完全相同。由聯(lián)接詞聯(lián)接得到的復(fù)合語(yǔ)句的可滿足性如常規(guī)定，略去。量詞語(yǔ)句的可滿足性規(guī)定如下：形如?xA的語(yǔ)句在M下可滿足，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)L中每個(gè)閉項(xiàng)t，A（t）都在M下可滿足；形如?xA的語(yǔ)句在M下可滿足，當(dāng)且僅當(dāng)L中存在某個(gè)閉項(xiàng)t，使得A（t）在M下可滿足。

相應(yīng)于上述可滿足概念，可規(guī)定邏輯后承。如果任何滿足語(yǔ)句集∑的艾爾布朗模型也一定滿足語(yǔ)句A，那么就稱A是∑的一個(gè)邏輯后承，又可稱∑衍推出A。為明確起見(jiàn)，艾爾布朗模型下的可滿足及邏輯后承概念加前綴“H-”，而塔斯基語(yǔ)義下的可滿足及邏輯后承概念加前綴“T-”。

如［Hinrichs&Genesereth 2006］文所指出，在塔斯基語(yǔ)義下，一階公式的可滿足性是半可判定的，但在艾爾布朗語(yǔ)義下，一階公式的可滿足性不是半可判定的；在塔斯基語(yǔ)義下，邏輯后承關(guān)系具有緊致性，但在艾爾布朗語(yǔ)義下，邏輯后承關(guān)系不具備緊致性；在塔斯基語(yǔ)義下，自然數(shù)結(jié)構(gòu)中的真語(yǔ)句是不能有窮可公理化的，但在艾爾布朗語(yǔ)義下，自然數(shù)結(jié)構(gòu)中的真語(yǔ)句是有窮可公理化的。

作為例子，考慮這樣一個(gè)一階語(yǔ)言，其中非邏輯符號(hào)只有一元謂詞P和個(gè)體常元a。眾所周知，Pa不是?xPx的T-邏輯后承。然而，Pa卻是?xPx的H-邏輯后承，理由是滿足?xPx的艾爾布朗模型只有{Pa}一個(gè)。再考慮一階語(yǔ)言，其中除含上述P和a外，還含一個(gè)一元函數(shù)符f。因?yàn)檫@個(gè)語(yǔ)言中的閉項(xiàng)是a、fa、ffa如此等等，所以，?xPx是集合{Pa，Pfa，Pffa，…}的一個(gè) H-邏輯后承。然而，很明顯，{Pa，Pfa，Pffa，…}的任何有窮子集都不會(huì)H-衍推出?xPx。由此可見(jiàn)，與T-邏輯后承不同，H-邏輯后承不滿足緊致性。

二、塔斯基T-模式

下面轉(zhuǎn)入本文的主題：艾爾布朗語(yǔ)義下的真謂詞。為此，先規(guī)定皮亞諾算術(shù)的一個(gè)形式語(yǔ)言LN，其中除等詞=外，還含有二元謂詞Less、三元謂詞Add、Mult、一元函數(shù)符S以及個(gè)體常元0。注意，在艾爾布朗語(yǔ)義下，因?yàn)橹挥心切┩耆嗤捻?xiàng)才是相等的，所以不能使用函數(shù)符來(lái)表示加法和乘法運(yùn)算（不然的話，甚至如0+0=0這樣的語(yǔ)句在艾爾布朗語(yǔ)義都是不可滿足的）。在LN中添加一元謂詞T得到的語(yǔ)言記為。這個(gè)語(yǔ)言就是我們考慮真謂詞的一階語(yǔ)言。除非特別聲明，以下所說(shuō)項(xiàng)、公式等皆指中的項(xiàng)、公式。用記號(hào)‘A’表示公式A的哥德?tīng)枖?shù)。

這里，T不是一個(gè)普通的謂詞符，而是用來(lái)表示真謂詞的符號(hào)。那么，什么時(shí)候T才能被視作是真謂詞呢？按照塔斯基的思想，唯有下一模式對(duì)某個(gè)語(yǔ)言中的每個(gè)語(yǔ)句A都成立，才能認(rèn)為T是該語(yǔ)言的真謂詞：T‘A’當(dāng)且僅當(dāng)A（［Tarski 1936］，155-156）。此模式就是著名的塔斯基T-模式。此模式在塔斯基語(yǔ)義下的表現(xiàn)形式如下：

X作為T的解釋，很自然應(yīng)當(dāng)包含且只包含中所有在N與X構(gòu)成的解釋中為真的語(yǔ)句。換句話說(shuō)，式子（1）應(yīng)對(duì)中每個(gè)語(yǔ)句A成立，只有這樣，T的解釋X才被認(rèn)為是的真謂詞。然而，塔斯基證明，這是不可能做到的，因?yàn)槿舨蝗?，則在中，可以構(gòu)造這樣的語(yǔ)句λ，滿足：

這樣，把λ代入到式子（1）中會(huì)導(dǎo)致矛盾。這個(gè)結(jié)論常被稱為“塔斯基定理”，而證明中所用語(yǔ)句λ因它斷定它自己不真，故相當(dāng)于說(shuō)謊者語(yǔ)句。

在此情況下，使用先前提到的語(yǔ)句λ，同樣可以導(dǎo)出矛盾。因此，在的艾爾布朗語(yǔ)義下，塔斯基定理同樣成立：不可能包含它自身的真謂詞。

這里順便指出，艾爾布朗語(yǔ)義下的塔斯基T-模式與塔斯基語(yǔ)義下的T-模式似乎并無(wú)太大的區(qū)別，但是對(duì)于［Hsiung 2009］所提出的T-模式的一個(gè)推廣，情況似乎并不明了，究竟如何在艾爾布朗語(yǔ)義下表達(dá)T-模式的這個(gè)推廣似乎是值得深入研究的問(wèn)題。

三、亞布魯悖論

美國(guó)邏輯學(xué)家亞布魯（S．Yablo）在文［Yablo 1993］中提出了以他名字命名的悖論。這個(gè)悖論含有可數(shù)無(wú)窮多個(gè)語(yǔ)句：Y（0），Y（1），……，每個(gè)語(yǔ)句都斷定它后面的每個(gè)語(yǔ)句都不真。這些語(yǔ)句蘊(yùn)涵矛盾，這是因?yàn)榧僭O(shè)Y（0）為真，根據(jù)Y（0）所說(shuō)，對(duì)于k＞0，Y（k）為假。因而，一方面，Y（1）為假，另一方面，對(duì)于所有k＞1，Y（k）為假。這樣，Y（1）為真，與Y（1）為假矛盾。于是，Y（0）必為假。同理，這個(gè)語(yǔ)句的其他每個(gè)語(yǔ)句都為假，因而，Y（0）又必為真，矛盾。

首先注意，語(yǔ)句集Υ是PA一致的。這是因?yàn)樵赑A中，從集合Υ的任何有窮子集都不會(huì)推出矛盾，然而PA的推演滿足緊致性定理，因此，整個(gè)Υ就是PA一致的。然而，集合Υ是PAω不一致的（見(jiàn)［Ketland 2005］，299）。這一點(diǎn)可以從上一節(jié)的標(biāo)準(zhǔn)塔斯基解釋不滿足Υ可以看出。因而，在塔斯基語(yǔ)義下，只有PA的非標(biāo)準(zhǔn)模型能滿足Υ。換言之，T的解釋只有包含某個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)才能使Υ中語(yǔ)句（在非標(biāo)準(zhǔn)的塔斯基語(yǔ)義下）都為真。

四、語(yǔ)言層次

眾所周知，為了突破塔斯基定理的限制，塔斯基本人采用了語(yǔ)言分層的方式來(lái)規(guī)定真謂詞。事實(shí)上，僅需把T解釋為L(zhǎng)N中所有在N中為真的語(yǔ)句的哥德?tīng)枖?shù)構(gòu)成的集合X，則式子（1）一定對(duì)中任意語(yǔ)句A都成立。在這個(gè)意義上雖然不能含有它自身的真謂詞，但是它包含LN的真謂詞因而被稱為的元語(yǔ)言。

分層的想法同樣適用于艾爾布朗語(yǔ)義?；氐较惹疤岢龅陌瑺柌祭收Z(yǔ)義中的底模型M。注意，M中不含任何帶真謂詞符的語(yǔ)句，因此T在M中實(shí)際被解釋為空謂詞。但是，若規(guī)定M1是M與所有使得M?HA成立的語(yǔ)句T‘A’的并集，則對(duì)的任意語(yǔ)句A，都有，當(dāng)且僅當(dāng)M?A。特別地，對(duì)LN的語(yǔ)句，有，當(dāng)且僅當(dāng)M1?A。因此同樣包含了這樣的T，它被解釋為L(zhǎng)N的真謂詞。

對(duì)語(yǔ)言進(jìn)行分層規(guī)定真謂詞的做法歷來(lái)為學(xué)者所詬病，其中毛病之一如克里普克指出，這種做法無(wú)法對(duì)超窮的層次進(jìn)行規(guī)定（見(jiàn)［Kripke 1975］，59～61）?？死锲湛伺u(píng)的要點(diǎn)在于超窮層次要求對(duì)之前層次的真謂詞外延進(jìn)行累積，但真謂詞的外延累積會(huì)導(dǎo)致矛盾。這一點(diǎn)是熟知的事實(shí)。此處，我們說(shuō)明類似的累積在艾爾布朗語(yǔ)義也同樣導(dǎo)致矛盾，甚至無(wú)需等到超窮層次，這種矛盾在第二層次就會(huì)產(chǎn)生。

為此，我們規(guī)定M2是M1與所有使得M1?HA成立的語(yǔ)句T‘A’的并集?？紤]說(shuō)謊者語(yǔ)句λ，因?yàn)門‘λ’不在M中，所以，M?Hλ。由此，T‘λ’在M1中，所以，M1?Hλ不成立。根據(jù)M2的規(guī)定，T‘λ’不在M2中。但由此由M1累積出來(lái)的，T‘λ’必在M1中，這就出現(xiàn)矛盾了。由此可見(jiàn)，在的艾爾布朗語(yǔ)義中，模型如果按累積規(guī)定下去至多到第一個(gè)層次就必須終止。

能使層次一直進(jìn)行下去的辦法主要有兩種，一種是按克里普克的歸納構(gòu)造方法，修改模型上的賦值引入真值空缺（見(jiàn)［Kripke 1975］）；另一種就是按古普塔和赫茲伯格的修正理論，在構(gòu)造模型的時(shí)候不進(jìn)行累積只進(jìn)行修正（見(jiàn)［Gupta 1982］和［Herzberger 1982］）。本文限于經(jīng)典邏輯，所以只考慮第二種辦法。

在艾爾布朗語(yǔ)義中，可這樣來(lái)規(guī)定不具累積效應(yīng)的模型：以M作為起點(diǎn)，設(shè)之為；然后，對(duì)任意序數(shù)α，規(guī)定就是所有使得成立的語(yǔ)句T‘A’的并集；最后，對(duì)極限序數(shù)α，規(guī)定就是前面所有階段的下極限，也就是說(shuō)包含語(yǔ)句A，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)小于α的序數(shù)γ，使得對(duì)任意大于γ但小于α的都包含A。通過(guò)這樣的規(guī)定，我們就不難在艾爾布朗語(yǔ)義中展開(kāi)修正理論了。

五、結(jié)論

前面的分析總結(jié)起來(lái)，有以下幾點(diǎn)：塔斯基T-模式在艾爾布朗語(yǔ)義中的表達(dá)類似于塔斯基語(yǔ)義中的表達(dá)，而且使用說(shuō)謊者悖論同樣能夠在艾爾布朗語(yǔ)義中得到塔斯基定理；亞布魯悖論在塔斯基非標(biāo)準(zhǔn)模型中可以得到滿足，但是在艾爾布朗語(yǔ)義中卻是不可滿足的；語(yǔ)言分層的思想在（經(jīng)典）塔斯基語(yǔ)義中到第ω階段一般情況下不能繼續(xù)，但在艾爾布朗語(yǔ)義中甚至到第二階段就不得不終止。

可以看到，艾爾布朗語(yǔ)義下的真理論與塔斯基語(yǔ)義下的真理論既有共通之處，又有某些讓人感興趣的差異。當(dāng)然，這個(gè)對(duì)照分析還比較初步，我們主要的目的是拋磚引玉，希望引起讀者注意，艾爾布朗語(yǔ)義下的真理論本身還是有許多問(wèn)題值得考慮的。

[1]Gupta，A．Truth and paradox[J]．Journal of Philosophical Logic，1982，11（1）．

[2]Herbrand，J．Investigations in proof theory：The properties of true propositions[M]//van Heijenoort，J．（ed．）From Frege to G?del：A Source Book in Mathematical Logic，1879-1931（Source Books in the History of the Sciences）．Cambridge：Harvard University Press，1967，525～581．

[3]Herzberger，H．G．Notes on naive semantics[J]．Journal of Philosophical Logic，1982，11（1）．

[4]Hinrichs，T．，Genesereth，M．Herbrand Logic[OL]．http://www．cs．uic．edu/～hinrichs/papers/hinrichs2006herbrand．pdf，2006-02．

[5]Hsiung，M．Jump Liars and Jourdain’s Card via the relativized T-scheme[J]．Studia Logica，2009，91（2）．

[6]Ketland，J．Yablo’s paradox and ω-inconsistency[J]．Synthese，2005，145（3）．

[7]Kripke，S．A．Outline of a theory of truth[M]//Martin，R．L．Recent Essays on Truth and the Liar Paradox．Oxford：Oxford University Press，1984，53～82．

[8]Tarski，A．The concept of truth in formalized languages[M]//Woodger，J．H．（tr．）Logic，Semantics，Metamathematics：Papers from 1923 to 1938．Oxford：Clarendon Press，1956，152～278．

[9]Yablo，S．Paradox without self-reference[J]．Analysis，1993，53（4）．