高飛

數(shù)學思想、方法作為數(shù)學學科的“一般原理”，在數(shù)學學習中是至關重要的。記得一位教育家這樣說：“學生所學到的數(shù)學知識，在進入社會后不到一兩年就忘掉了，然而那些銘刻于頭腦中的數(shù)學精神和數(shù)學思想方法卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用，使他們受益終生?！弊鳛橐痪€數(shù)學教師，我們應在教學中有意識地加強數(shù)學思想方法的滲透與運用，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。下面就數(shù)學思想方法做小結。

一、函數(shù)方程思想

函數(shù)方程思想就是用函數(shù)、方程的觀點和方法處理變化或未知數(shù)之間的關系，從而解決問題的一種思維方式，是很重要的數(shù)學思想。

函數(shù)思想：把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數(shù)關系表達出來，并研究這些量間的相互制約關系，最后解決問題，這就是函數(shù)思想。應用函數(shù)思想解題，確立變量之間的函數(shù)關系是一關鍵步驟，大體可分為下面兩個步驟：（1）根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關系式，把問題轉化為相應的函數(shù)問題；（2）根據(jù)需要構造函數(shù)，利用函數(shù)的相關知識解決問題。

方程思想：從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉化為數(shù)學模型（方程、不等式、方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）使問題獲解。

函數(shù)與方程是兩個有密切聯(lián)系的數(shù)學概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法解決，很多函數(shù)問題也需要用方程的方法支援，函數(shù)與方程之間的辯證關系，形成了函數(shù)方程思想。

二、數(shù)形結合思想

數(shù)形結合是中學數(shù)學中重要思想方法之一，對于所研究的代數(shù)問題，有時可研究其對應幾何的性質使問題得以解決（以形助數(shù)）；或者對于所研究的幾何問題，可借助于對應圖形的數(shù)量關系使問題得以解決（以數(shù)助形），這種解決問題的方法稱之為數(shù)形結合。

數(shù)學研究的對象是數(shù)量關系和空間形式，即數(shù)與形兩個方面。在一維空間，實數(shù)與數(shù)軸上的點建立一一對應關系；在二維空間，實數(shù)與坐標平面上的點建立一一對應關系。

我們要抓住以下幾點數(shù)形結合的解題要領：

（1）對于研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進行求解即可。

（2）對于研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數(shù)的圖像求解（函數(shù)的零點，頂點是關鍵點），做好知識的遷移與綜合運用。

（3）對于以下類型的問題需要注意：可分別通過構造距離函數(shù)、斜率函數(shù)、截距函數(shù)、單位圓上的點及余弦定理進行轉化，達到解題目的。

華羅庚先生指出：“數(shù)缺性時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，割裂分家萬事非。”數(shù)形結合作為一種數(shù)學思想方法的應用大致分為兩種情形：或借助于數(shù)的精確性闡明形的某些屬性，或借助于形的幾何直觀性闡明數(shù)之間的某種關系。

三、分類討論思想

分類討論是一種重要的數(shù)學思想方法，當問題的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究的對象進行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結果，最終綜合各類結果得到整個問題的解答。

有關分類討論的數(shù)學問題需要運用分類討論思想解決，引起分類討論的原因大致可歸納如下幾種：

（1）涉及的數(shù)學概念是分類討論的；

（2）運用的數(shù)學定理、公式、或運算性質、法則是分類給出的；

（3）求解的數(shù)學問題的結論有多種情況或多種可能性的；

（4）數(shù)學問題中含有參變量，這些參變量的不同取值導致不同的結果的；

（5）較復雜或非常規(guī)的數(shù)學問題，需要采取分類討論的解題策略來解決的。

分類討論是一種邏輯方法，在中學數(shù)學中有極廣泛的應用。分類討論題覆蓋知識點較多，利于考查學生的知識面、分類思想和技巧；同時方式多樣，具有較強的邏輯性和綜合性。根據(jù)不同標準可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標準出發(fā)，做到不重復，不遺漏，包含各種情況，同時要有利于問題研究。

四、化歸與轉化思想

將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運用恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換，化歸為在已知知識范圍內已經(jīng)解決或容易解決的問題的思想叫做化歸與轉化的思想?；瘹w與轉化思想的實質是提示聯(lián)系，實現(xiàn)轉化。除極簡單的數(shù)學問題外，每個數(shù)學問題的解決都是通過轉化為已知問題實現(xiàn)的。從這個意義上講，解決數(shù)學問題就是從未知向已知轉化的過程?；瘹w與轉化的思想是解決數(shù)學問題的根本思想，解題過程實際上就是一步步轉化的過程。數(shù)學中的轉化比比皆是，如：未知向已知轉化，復雜問題向簡單問題轉化，新知識向舊知識轉化，命題之間的轉化，數(shù)與形的轉化，空間向平面的轉化，高維向低維轉化，多元向一元轉化，高次向低次轉化，超越式向代數(shù)式轉化，函數(shù)與方程的轉化等，都是轉化思想的體現(xiàn)。

五、或然與必然的思想

概率所研究的隨機現(xiàn)象，研究的過程是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”規(guī)律解決“偶然”的問題，這其中所體現(xiàn)的數(shù)學思想就是或然與必然的思想。

隨著新教材的實施，高考中對概率內容的考查已經(jīng)被放在了重要位置，通過對等可能性事件的概率、互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、獨立重復試驗、隨機事件的分布列、數(shù)學期望等重點內容的考查，一方面考查基本概念和基本方法，另一方面考查在解決實際問題中能否運用或然與必然的辯證關系，從而體現(xiàn)或然與必然的思想。

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