李素非1，李國(guó)杰1，翟登輝2，王衛(wèi)星2

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級(jí)聯(lián)型多電平逆變器最小總諧波失真階梯調(diào)制策略研究

李素非，李國(guó)杰，翟登輝，王衛(wèi)星

(1.電力傳輸與功率變換控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海交通大學(xué)電氣工程系，上海 200240；2.許繼電氣股份有限公司，河南 許昌 461000)

為了降低級(jí)聯(lián)型多電平逆變器的輸出電壓諧波分量，提出了一種新穎的基于KKT條件最優(yōu)化方法的階梯調(diào)制策略。利用KKT條件法，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到相應(yīng)的導(dǎo)通角計(jì)算方法,所提出的階梯調(diào)制策略能夠在任意調(diào)制系數(shù)下最小化階梯波輸出的總諧波失真（THD）。另外利用牛頓-拉普遜迭代法來(lái)求取上述導(dǎo)通角計(jì)算中的關(guān)鍵參數(shù)。為了克服牛頓—拉普遜迭代法計(jì)算速度慢的缺點(diǎn)，提出了冪函數(shù)逼近法來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算復(fù)雜度。最后，對(duì)上述方法進(jìn)行了仿真分析，得到了固定和可變調(diào)制系數(shù)下的級(jí)聯(lián)逆變器輸出電壓波形和其頻譜分布。仿真結(jié)果證實(shí)了調(diào)制策略的有效性。

級(jí)聯(lián)型多電平逆變器；總諧波失真；階梯調(diào)制；KKT條件法；函數(shù)逼近

0 引言

級(jí)聯(lián)型逆變器在中/高功率等級(jí)的系統(tǒng)的中有廣泛的應(yīng)用。根據(jù)開關(guān)頻率，可以將級(jí)聯(lián)型逆變器的調(diào)制分為高頻調(diào)制和低頻調(diào)制。常見(jiàn)的高頻調(diào)制策略有正弦載波調(diào)制（SPWM）、特定諧波消除脈寬調(diào)制（SHEPWM）空間電壓矢量調(diào)制（SVPWM）。相對(duì)于高頻調(diào)制策略而言，低頻階梯調(diào)制能減小開關(guān)損耗和器件的開關(guān)應(yīng)力，延長(zhǎng)其使用壽命，提高系統(tǒng)效率。

在階梯調(diào)制中，各電平導(dǎo)通角的計(jì)算是一個(gè)研究熱點(diǎn)。導(dǎo)通角計(jì)算方法包括選擇諧波消去法（SHE）、等面積法、最小面積差法以及最小THD法。SHE法的目的是消去電壓輸出波形中的低次諧波，由于需要解多元非線性超越方程組，它的計(jì)算非常復(fù)雜。等面積法要求在每一個(gè)特定的時(shí)間區(qū)間內(nèi)，參考正弦電壓和階梯調(diào)制波積分相同，但是它沒(méi)有優(yōu)化諧波失真，可能帶來(lái)電壓基頻幅值失真。最小面積差法的主要目標(biāo)是在每一個(gè)電平上，參考正弦電壓和階梯電壓之差的積分最小，它同樣會(huì)引入電壓基波幅值失真。

總諧波失真是衡量逆變器輸出波形質(zhì)量的重要參數(shù)，本文主要研究最小化階梯波調(diào)制中總諧波失真的方法。文獻(xiàn)[26]采用Levenberg-Marquardt迭代法計(jì)算導(dǎo)通角，文獻(xiàn)[27]提出粒子群優(yōu)化算法，這些方法時(shí)間復(fù)雜度高，在線實(shí)現(xiàn)困難；同時(shí)，要求電壓基頻幅值不能隨時(shí)間改變，且忽略高次諧波的影響，因而并不是嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義下的最優(yōu)解法。如果基頻電壓幅值是可變的，則需要離線解出對(duì)應(yīng)于不同基頻幅值下各電平的導(dǎo)通角，運(yùn)行時(shí)通過(guò)查表得到各電平導(dǎo)通角。查表法雖然能降低計(jì)算復(fù)雜度，但精度和分辨率較低，并占用大量存儲(chǔ)容量。有學(xué)者提出一種最小化總諧波失真的解析方法，能在線計(jì)算導(dǎo)通角，但僅優(yōu)化了最多電平數(shù)量下的導(dǎo)通角，沒(méi)有考慮較少電平數(shù)量下的限制條件，基頻電壓幅值也被限定在一定范圍內(nèi)；當(dāng)電平數(shù)量多時(shí)利用牛頓—拉普遜迭代法，計(jì)算復(fù)雜。

本文利用KKT條件法，提出了一種在大范圍基頻電壓下最小化階梯波總諧波失真的在線計(jì)算方法，并利用函數(shù)逼近的方法簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。

1 級(jí)聯(lián)型逆變器階梯波調(diào)制簡(jiǎn)述

H橋級(jí)聯(lián)型逆變器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。它由個(gè)模塊組成，每個(gè)模塊有一個(gè)直流電壓源，以及由四個(gè)開關(guān)器件及反并聯(lián)二極管構(gòu)成的H橋。

在圖1中，對(duì)于第個(gè)模塊來(lái)說(shuō)，它的直流電壓源是，輸出電壓為。當(dāng)和導(dǎo)通，和關(guān)斷時(shí)，；當(dāng)和導(dǎo)通，和關(guān)斷時(shí)，；當(dāng)和導(dǎo)通，和關(guān)斷時(shí)，。所以

其中，

總輸出電壓為

圖2階梯調(diào)制輸出電壓波形

其中是奇數(shù)，偶次諧波為零。定義調(diào)制系數(shù)為

(4)

調(diào)制系數(shù)的范圍為

(6)

總諧波失真定義為

根據(jù)帕斯瓦爾定理，有

(8)

將式（8）代入式（7）得

2 總諧波失真最小化方法

本節(jié)利用KKT條件法推導(dǎo)最小化總諧波失真的導(dǎo)通角計(jì)算方法。目標(biāo)是在特定的調(diào)制系數(shù)下，求得一組導(dǎo)通角，使得式（9）中的總諧波失真最小。不失一般性，設(shè)，最高電平數(shù)為，在圖1中。它等價(jià)于以下最優(yōu)化問(wèn)題：

(11)

(12)

(14)

(16)

(19)

所以

(21)

(23)

表1和

Table 1 and

Table 1 and

S 101.273 2 21.200 42.546 5 32.266 13.819 7 43.301 65.093 0 54.324 76.366 2 65.341 37.639 4 76.353 98.912 7 87.363 910.185 9 98.372 111.459 2 109.378 912.732 4 1110.384 814.005 6 1211.389 915.278 9 1312.394 416.552 1 1413.398 417.825 4 1514.401 919.098 6 1615.405 120.371 8

(26)

(29)

(30)

(32)

(34)

(35)

(37)

(38)

(40)

根據(jù)式（34），不等式（39）和式（40）的右側(cè)相等。所以且。得證。

這樣就得到了總諧波失真最小化的導(dǎo)通角計(jì)算方法。具體步驟如下：

4）根據(jù)式（21）計(jì)算各導(dǎo)通角的正弦，如果超過(guò)了1，令其為1。

3.1牛頓—拉普遜迭代法

(42)

(44)

在實(shí)際系統(tǒng)中，調(diào)制系數(shù)是時(shí)變的，且在部分情況下它的變化比較連續(xù)。如果仍然在每一時(shí)刻都選取初始值，會(huì)增加迭代次數(shù)，占用計(jì)算資源。假設(shè)第時(shí)刻的第次迭代所計(jì)算的參數(shù)值為，第時(shí)刻迭代次后滿足，且第時(shí)刻的階梯級(jí)數(shù)為。則第時(shí)刻的參數(shù)初值按照以下方法求出：

下面討論牛頓—拉普遜法的計(jì)算復(fù)雜度。這里僅包含迭代計(jì)算參數(shù)的算法復(fù)雜度，不考慮加減運(yùn)算所消耗的時(shí)間，僅考慮乘法、除法、開方和反三角函數(shù)運(yùn)算的時(shí)間。各，和的值已存儲(chǔ)在微處理器或DSP芯片中。的值在對(duì)應(yīng)于當(dāng)前時(shí)刻的迭代開始前計(jì)算。對(duì)于當(dāng)前時(shí)刻的各次迭代，根據(jù)式（42）和式（43），時(shí)間復(fù)雜度為

3.2冪函數(shù)逼近法

為節(jié)約運(yùn)算資源，提升運(yùn)算速度，并克服牛頓—拉普遜法的缺點(diǎn)，本文提出了冪函數(shù)逼近法。階梯級(jí)數(shù)可以表示為調(diào)制系數(shù)的函數(shù)，即

(48)

3.2.1 選定擬合點(diǎn)集

(50)

圖3求取擬合點(diǎn)集的流程圖

3.2.2 近似冪函數(shù)的求取

(52)

將式（52）和式（53）代入式（48）中就得到了近似的冪函數(shù)。為了評(píng)價(jià)近似函數(shù)的精度，分別定義對(duì)應(yīng)于的相關(guān)系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)擬合誤差為

(54)

相應(yīng)的近似冪函數(shù)系數(shù)和擬合精度結(jié)果如表2所示。

表2擬合結(jié)果

Table 2 Fitting results

調(diào)制系數(shù)的擬合誤差如圖4所示。調(diào)制系數(shù)的誤差會(huì)導(dǎo)致基波幅值失真。

根據(jù)式（48），冪函數(shù)逼近法當(dāng)前時(shí)刻的總時(shí)間復(fù)雜度為

比較式（57）和式（46），可以發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)逼近法的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度相對(duì)于牛頓—拉普遜法顯著減少，并且不受階梯級(jí)數(shù)、迭代次數(shù)的影響。為進(jìn)一步節(jié)約計(jì)算資源，這里規(guī)定在第時(shí)刻，若，不再用式（48）計(jì)算對(duì)應(yīng)于的參數(shù)的值，而是直接使用對(duì)應(yīng)于的參數(shù)的值；否則需根據(jù)式（48）計(jì)算對(duì)應(yīng)于的參數(shù)的值，并令，。其中為選定的誤差閾值。目前的微處理器或DSP芯片能夠勝任這些運(yùn)算。

4 仿真結(jié)果

圖5當(dāng)時(shí)的輸出電壓及其各次諧波含量

圖6當(dāng)時(shí)的輸出電壓及其各次諧波含量

圖7級(jí)聯(lián)逆變器的輸出電壓

圖8總諧波失真隨調(diào)制系數(shù)變化曲線

5 結(jié)論

階梯調(diào)制是級(jí)聯(lián)型逆變器的一種重要的調(diào)制策略。本文經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，提出了一種最小化總諧波失真的階梯調(diào)制在線算法，總諧波失真總體趨勢(shì)隨調(diào)制系數(shù)的增大而減小，當(dāng)調(diào)制系數(shù)為7.96和13.06時(shí)，總諧波失真分別達(dá)到5%和3%。

為了克服牛頓—拉普遜迭代法在求取導(dǎo)通角時(shí)計(jì)算復(fù)雜度高的缺點(diǎn)，本文提出了一種冪函數(shù)近似求取調(diào)制參數(shù)的方法，該方法大大簡(jiǎn)化了計(jì)算量。仿真結(jié)果證實(shí)了這些方法的有效性。

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Staircase modulation strategy with minimum total harmonic distortion for cascaded multilevel inverters

LI Su-fei, LI Guo-jie, ZHAI Deng-hui, WANG Wei-xing

(1. Key Laboratory of Control of Power Transmission and Conversion, Ministry of Education (Department of Electrical Engineering, Shanghai Jiao Tong University), Shanghai 200240, China; 2. XJ Electric Co., Ltd., Xuchang 461000, China)

In order to decrease the output-voltage harmonic components of cascaded multilevel inverter, this paper proposes a novel staircase modulation strategy based on Karush-Kuhn-Tucker (KKT) conditions. With KKT conditions and rigorous mathematical derivation, this paper acquires the corresponding calculation method of conducting angles, and the proposed staircase modulation strategy can minimize the total harmonic distortion (THD) under arbitrary modulation index. Furthermore, this paper takes advantage of Newton-Raphson iteration method to obtain the key parameter in the aforementioned conducting angle calculation method. To overcome the deficiency of slow calculation speed of Newton-Raphson iteration method, this paper proposes the power function approximation approach to simplify calculation complexity. Finally, this paper undertakes simulation analysis and obtains the output voltage waveforms and their frequency-domain distributions under both fixed and varying modulation indices. Simulation results verify the effectiveness of the modulation strategy. This work is supported by National Natural Science Foundation of China (No. 51477098), National High Technology Research and Development Program of China (863 Program) (No. 2012AA050212), and International S&T Cooperation Program of China (No. 2013DFG71630).

cascaded multilevel inverter; THD; staircase modulation; KKT conditions; function approximation

TM464

A

1674-3415(2014)19-0008-10

2013-12-23；

2014-04-09

李素非(1988-)，男，碩士，研究方向?yàn)榫植糠烹娫诰€監(jiān)測(cè)、電力電子技術(shù)等；E-mail: lsf5072@126.com

李國(guó)杰(1965-)，男，通信作者，博士，教授，主要研究方向?yàn)樾履茉纯刂婆c接入、微電網(wǎng)分析與控制。E-mail: liguojie@sjtu.edu.cn

翟登輝(1984-)，男，碩士，工程師，研究方向?yàn)槲㈦娋W(wǎng)系統(tǒng)及電力電子設(shè)備研發(fā)。

國(guó)家自然科學(xué)基金(51477098)；國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃863計(jì)劃(2012AA050212)；國(guó)家國(guó)際科技合作專項(xiàng)項(xiàng)目(2013DFG71630)