劉潔

(延安大學(xué) 化學(xué)與化工學(xué)院，陜西 延安 716000)

0 引言

對(duì)于結(jié)合面的各種結(jié)合條件，可以通過大量的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)來獲得不同情況下(如不同的載荷大小和性質(zhì)，結(jié)合面材料，結(jié)合面的加工方法及表面完整性，潤(rùn)滑油性質(zhì)等)結(jié)合面的基礎(chǔ)特性參數(shù)。關(guān)于如何運(yùn)用基礎(chǔ)特性參數(shù)解析計(jì)算實(shí)際機(jī)械結(jié)合部特性參數(shù)，即如何把結(jié)合面的基本假設(shè)，數(shù)學(xué)模型的理論運(yùn)用于計(jì)算結(jié)合部特性參數(shù)的研究方面，國(guó)內(nèi)外不少學(xué)者都在研究。文獻(xiàn)[1]的作者提出假設(shè)，組成結(jié)合部的構(gòu)件在結(jié)合部處的剛度比結(jié)合面的剛度高的情況下，忽略構(gòu)件本身在結(jié)合部處變形的影響。這就使結(jié)合部復(fù)雜的變形計(jì)算問題轉(zhuǎn)化成僅計(jì)算結(jié)合部的接觸表面層的變形問題，從而使結(jié)合部的變形可由構(gòu)件間的相對(duì)線位移和相對(duì)角位移來表示。這是在處理結(jié)合部變形這一復(fù)雜的非線性問題上的一個(gè)突破。文獻(xiàn)[2]的作者，根據(jù)以上結(jié)合部的物理假設(shè)，建立了平面移動(dòng)導(dǎo)軌結(jié)合部變形的通用數(shù)學(xué)模型，并編制了計(jì)算平面移動(dòng)導(dǎo)軌結(jié)合部變形的通用計(jì)算軟件。并以JISGNC數(shù)控車床橫溜板為對(duì)象進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，證明了上述結(jié)合部物理假設(shè)為基礎(chǔ)所建立的數(shù)學(xué)模型是適合的，計(jì)算程序是正確的。文獻(xiàn)[3]的作者，以滿足機(jī)械系統(tǒng)解析對(duì)結(jié)合部的上述要求為出發(fā)點(diǎn)，建立了圓柱結(jié)合部變形的通用數(shù)學(xué)模型，編制了計(jì)算圓柱結(jié)合部變形通用計(jì)算程序，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其理論和程序是正確的。

在解析球面結(jié)合部時(shí)，也應(yīng)用了文獻(xiàn)[5]提出的結(jié)合部物理假設(shè)。并通過借鑒圓柱面結(jié)合部的研究成果，進(jìn)一步發(fā)展研究，提出了球面結(jié)合部的解析方法，編制了相應(yīng)的解析程序，并通過了理論對(duì)比論證了其理論及相應(yīng)的解析程序也是正確的。

1 球面結(jié)合部理論解析

1.1 球面結(jié)合部數(shù)學(xué)模型

圖1所示的球面結(jié)合部的總體坐標(biāo)系xyz-O，xyz-o為球面上任一點(diǎn)的局部坐標(biāo)系。

圖1 球面結(jié)合部計(jì)算坐標(biāo)系

1.2 球面結(jié)合部位移條件及載荷結(jié)合條件的確定

1) 設(shè)球面上任意一點(diǎn)A處坐標(biāo)(R,φ,θ)，其中x3表示在XYZ-O中z向坐標(biāo)，圓球的半徑為R，其中X3=R·cosφ，r=R·sinφ。球面結(jié)合部坐標(biāo)系∑J—xyz-O，球面結(jié)合面坐標(biāo)系∑S—xyz-o。

從結(jié)合部坐標(biāo)系∑J到結(jié)合面坐標(biāo)系∑S的變換可以依次通過以下變換得到：

一次平移變換：

(rcosθ,rsinθ,X3)；

兩次旋轉(zhuǎn)變換：

則球面結(jié)合面坐標(biāo)系∑S相對(duì)于球面結(jié)合部坐標(biāo)系∑J的齊次變換矩陣為：

(1)

其中：

(2)

(3)

式中：SRJ是球面結(jié)合面坐標(biāo)系與球面結(jié)合部坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣；

JPS是球面結(jié)合部坐標(biāo)系與球面結(jié)合面坐標(biāo)系的平移變換矩陣。

2) 設(shè)球面結(jié)合部變形位移列陣為：

{xJ}={xJ1,xJ2,xJ3,xJ4,xJ5,xJ6}T

(4)

式中：xJ1,xJ2,xJ3——分別為球面結(jié)合部x，y，z方向的線位移；

xJ4,xJ5,xJ6——分別為球面結(jié)合部x，y，z方向的角位移。

{xJS}=[SJJ]·{XJ}

(5)

式中： [SJJ]——球面結(jié)合面S與球面結(jié)合部J的坐標(biāo)變換雅克比矩陣；

{XJS}——球面結(jié)合面的位移列陣。

則可由式(4)、式(5)可以求出球面結(jié)合面位移。

3) 由第一章和式(5)可以求出球面結(jié)合面上任一點(diǎn)處的接觸變形：

λτ=(xJ1+Rcosφ·xJ5)sinθ+(Rcosφ·xJ4-xJ2)cosθ-Rsinφ·xJ6

λn=cosθsinφ·xJ1+sinθsinφ·xJ2+cosφ·xJ3λ3=cosθcosφ·

xJ1+sinθcosφ·xJ2-sinφ·xJ3-Rsinθ·xJ4+Rcosθ·xJ5

(6)

4) 球面結(jié)合部反力及反力矩：

FRK=JJS·FRS

(7)

式中：FRK—作用在球面結(jié)合部上的反作用力及反力矩(K=1,2…6)；

JJS—球面結(jié)合部∑J與球面結(jié)合面∑S的力雅克比坐標(biāo)變換矩陣；

FRS—球面結(jié)合面上的反作用力。

當(dāng)結(jié)合部受力位移后，作用于球面上的反載荷可由求出：

(8)

1.3 球面結(jié)合部剛度矩陣的確定

當(dāng)結(jié)合部受外力作用發(fā)生變形位移{XJ}后，結(jié)合部所受的力{FJ}={F1,F2,F3,F4,F5,F6}T

可表示如下：

F1=-FR1=

F2=-FR2=

[(ατλnβτλ3sinα+αnλnβncosα)sinθ-ατλnβτλτcosθ]X3}ds

[(ατλnβτλ3sinα+αnλnβncosα)cosθ-ατλnβτλτsinθ]X3}ds

(9)

其中：式(9)的λn，λτ，λ3與式(6)相同。

根據(jù)剛度的定義，可以用Fi(i=1,2,…6)分別對(duì)XJj(j=1,2,…6)求偏導(dǎo)數(shù)而求出剛度矩陣中的每個(gè)元素kij。即：

(10)

若以λn，λτ，λ3為中間變量，則kij可表示如下：

(11)

現(xiàn)以k21為例推導(dǎo)出如下：

cosθcosα+αnβnλnβn-1cos2αsinθcosθ-ατβτλnβτ-1λτcosθcosθcosα+ατλnβτsin2αsinθcosθ)φ(λn)rds

(12)

由第一章可知：

(13)

ατλnβτ=kτ

(14)

所以：

(15)

根據(jù)上面的方法可以求出圓錐面結(jié)合部剛度矩陣[KJ]中的每個(gè)元素kij。因篇幅所限，這里省略其他剛度值的推導(dǎo)過程?？傊?，根據(jù)式(10)可以推導(dǎo)出球面結(jié)合部的剛度矩陣。

2 球面結(jié)合部解析程序及理論驗(yàn)證

對(duì)前面提出的關(guān)于球面結(jié)合部的數(shù)學(xué)模型中，含有六個(gè)待求的未知量XJi(i=1,2…6),但是由于這六個(gè)未知量都是隱含的，無法從方程組中分離出來。對(duì)于隱含的非線性方程組的求解問題，目前一直沒有一種通用的計(jì)算方法來加以解決，在借鑒了文獻(xiàn)[5]中的計(jì)算程序所用的計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，采用了求解變量輪換弦截法，對(duì)球面結(jié)合部的數(shù)學(xué)模型，編制FORTRAN語言程序來求解。所謂坐標(biāo)輪換弦截法的基本思想就是在給出欲求量賦初值后，通過弦截法來改進(jìn)欲求量的值，對(duì)求解的數(shù)學(xué)模型中的每個(gè)方程輪換地進(jìn)行驗(yàn)算，一直到每個(gè)方程都滿足給定的精度后，輸出欲求量。

2.1 球面結(jié)合部解析程序編制說明

a) 程序的基本功能

1) 確定球面結(jié)合部的位移結(jié)合條件；

2) 確定球面結(jié)合部的載荷結(jié)合條件；

3) 確定球面結(jié)合部的靜剛度及動(dòng)剛度；

4) 確定球面結(jié)合部的阻尼特性。

b) 程序結(jié)構(gòu)流程圖(圖2)

圖2 程序流程圖

c) 程序各模塊功能

1) 主程序模塊：主要用來輸入控制參數(shù)、基礎(chǔ)特性參數(shù)、結(jié)構(gòu)參數(shù)、載荷參數(shù)等。

2) 位移解析模塊DISPLACE：用于確定結(jié)合部位移結(jié)合條件。

3) 反力計(jì)算模塊REACTF：用于計(jì)算結(jié)合部反力及確定結(jié)合部載荷結(jié)合條件。

4) 面壓計(jì)算模塊PRESSURE：用于確定各結(jié)合面的載荷結(jié)合條件。

5) 剛度計(jì)算模塊STIFF：用于確定各結(jié)合面的剛度及結(jié)合部總剛度。

6) 阻尼計(jì)算模塊DAMP：用于確定結(jié)合面的阻尼特性。

2.2 球面結(jié)合部實(shí)例驗(yàn)證

a) 實(shí)例驗(yàn)證(圖3)

圖3 球面結(jié)合部坐標(biāo)系

設(shè)作用于球面及圓柱面結(jié)合部的作用力均為：Fx=1400N，其余方向的作用力及力矩全為零。通過編制的程序分別比較這兩種情況的計(jì)算結(jié)果：

1) 設(shè)球面的半徑R=0.82m，其中取φa=89°,φb=91°，則通過編制的球面結(jié)合部程序計(jì)算輸出結(jié)果為：

STATIC STIFFNESS MATRIX OF JOINT SURFACE:

IJS=1

0.12451E+06 -0.68760E-02 -0.10690E-03 0.0000 -0.11573E-02 0.63331E-01

-0.68760E-02 0.12451E+06 0.16288E-05 0.11573E-02 0.0000 492.06

-0.10690E-03 0.16288E-05 25403.-0.63331E-01 -492.06 0.0000

0.0000 0.11573E-02 -0.63331E-01 8533.5 0.41546E-03 0.22257E-04

-0.11573E-02 0.0000 -492.06 0.41546E-03 8536.0-0.13031E-05

0.63331E-01 492.06 0.0000 0.22257E-04 -0.13031E-05 17066.

GENERAL DYNA.STIFFNESS MATRIX OF JOINT:

KJ1[N/μm]= 0.103E+06

KJ2[N/μm]= 0.103E+06

KJ3[N/μm]= 0.215E+05

KJ4[N·m/(μm/m)]= 0.724E+04

KJ5[N·m/(μm/m)]= 0.724E+04

KJ6[N·m/(μm/m)]= 0.145E+05

GENERAL DYNA.DAMPING MATRIX OF JOINT:

CJ1[N·s/m/mm2]=138.

CJ2[N·s/m/mm2]=138.

CJ3[N·s/m/mm2]=18.7

CJ4[N·m·s/rad]=6.29

CJ5[N·m·s/rad]=6.29

CJ6[N·m·s/rad]=12.6

2) 設(shè)圓柱面的半徑為R'，則球臺(tái)面等效為圓柱面的半徑近似為：

R'=R·sinφa=0.819875m , 而且Za=R·cosφa=0.014311m，

Zb=R·cosφb=-0.014311m。通過圓柱結(jié)合部程序計(jì)算輸出結(jié)果為：

STATIC STIFFNESS MATRIX OF JOINT SURFACE:

IJS=1

0.12449E+06 -0.12315E-02 0.00000.25746E-07

-0.41531E-05 0.61525E-01

-0.12315E-02 0.12449E+06 0.0000-0.19629E-05 -0.25746E-07 491.78

0.0000 0.0000 25378.-0.61525E-01 -491.78 0.0000

0.25746E-07 -0.19629E-05 -0.61525E-01 8534.5 0.53026E-03 0.37521E-06

-0.41531E-05 -0.25746E-07 -491.78 0.53026E-03

8537.0 -0.36427E-06

0.61525E-01 491.78 0.0000 0.37521E-06 -0.36427E-06 17059.

GENERAL DYNA.STIFFNESS MATRIX OF JOINT:

KJ1[N/μm]= 0.103E+06

KJ2[N/μm]= 0.103E+06

KJ3[N/μm]= 0.215E+05

KJ4[N·m/(μm/m)]= 0.724E+04

KJ5[N·m/(μm/m)]= 0.724E+04

KJ6[N·m/(μm/m)]= 0.145E+05

GENERAL DYNA.DAMPING MATRIX OF JOINT:

CJ1[N·s/m/mm2]=138.

CJ2[N·s/m/mm2]=138.

CJ3[N·s/m/mm2]=18.7

CJ4[N·m·s/rad]=6.30

CJ5[N·m·s/rad]=6.30

CJ6[N·m·s/rad]=12.6

b) 實(shí)例驗(yàn)證結(jié)論

由此可以看出，當(dāng)球面半徑為R時(shí)，其中φ=89°-91°，可以把球臺(tái)面近似為半徑R'=R·sinφ的圓柱面求解，通過對(duì)圓柱面結(jié)合部計(jì)算的對(duì)比就可以論證本文中球面結(jié)合部理論解析及解析程序是正確的。

3 總結(jié)

通過建立球面結(jié)合部數(shù)學(xué)模型，然后推導(dǎo)出球面結(jié)合部位移及載荷結(jié)合條件，并給出了球面結(jié)合部剛度矩陣的求法，為以后機(jī)械系統(tǒng)性能分析提供通用性參數(shù)打下基礎(chǔ)。最后介紹了編制基于FORTRAN語言的球面結(jié)合部解析程序說明，并通過實(shí)例對(duì)比驗(yàn)證了球面結(jié)合部解析方法及解析程序是正確的。

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