高立群 孔祥勇 歐陽海濱 鄒德旋

(1.東北大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110004;2.江蘇師范大學(xué) 電氣工程及自動化學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

在實(shí)際工程和社會生活中，很多問題都可以歸結(jié)為求取函數(shù)極值點(diǎn)的問題，因此如何求取函數(shù)極值長期以來一直受到人們的極大關(guān)注，并取得了豐碩的研究成果，解決了很多領(lǐng)域內(nèi)的關(guān)鍵問題.對于線性函數(shù)，已有成熟的求取最優(yōu)點(diǎn)的線性規(guī)劃方法，對非線性函數(shù)的研究成為近年來的研究熱點(diǎn)之一，目前研究主要集中在多極值函數(shù)全局最優(yōu)值的求取和不確定性系統(tǒng)的優(yōu)化問題上.對于如何提高求解速度和精度，人們已提出了遺傳算法、蟻群算法和粒子群優(yōu)化算法等多種智能優(yōu)化算法［1-5］.對于不確定性系統(tǒng)的優(yōu)化問題，也出現(xiàn)了隨機(jī)規(guī)劃［6］、模糊規(guī)劃［7］、區(qū)間規(guī)劃［8］和魯棒優(yōu)化［9-10］等方法.

事實(shí)上，實(shí)際工程往往不僅需要考慮函數(shù)極值點(diǎn)的求取，還要綜合考慮所求極值點(diǎn)及其鄰域點(diǎn)的性質(zhì)，其原因主要源于以下兩方面:①在某點(diǎn)雖然取得了極值，但該點(diǎn)鄰域內(nèi)的函數(shù)值波動較大，極值點(diǎn)的魯棒性較差，故不適合作為優(yōu)化問題的解;②優(yōu)化結(jié)果容易受到環(huán)境的干擾和影響，從而得到虛假的極值點(diǎn).魯棒性是指解的抗干擾能力，它直接決定了解的實(shí)用性，即當(dāng)環(huán)境參數(shù)或解變量的值發(fā)生微小變化時，對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值的變化量不能超出可接受的范圍，同時這種變化量越小，解的魯棒性越好，反之越差.例如，一個控制系統(tǒng)能夠通過優(yōu)化性能指標(biāo)設(shè)計(jì)出最佳的參數(shù)配置，進(jìn)而通過元器件實(shí)現(xiàn)，但元器件性能的不穩(wěn)定可能導(dǎo)致實(shí)際參數(shù)偏離最佳配置.此時若設(shè)計(jì)的最佳控制參數(shù)的性能指標(biāo)值位于該函數(shù)的某一尖點(diǎn)，則性能指標(biāo)會急劇變差，從而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此該最優(yōu)解(最佳參數(shù))的魯棒性較差，不適用于實(shí)際系統(tǒng)中.

文中對確定性優(yōu)化問題的解及其鄰域進(jìn)行研究，提出了實(shí)用點(diǎn)的概念，并在粒子群算法的基礎(chǔ)上提出了一種求取實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)的快速搜索優(yōu)化(QSO)算法，給出了其參數(shù)設(shè)置，最后通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的有效性.

1 實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)的概念

在實(shí)際工程中，通過算法求得的最優(yōu)解(點(diǎn))不一定真正滿足實(shí)際問題的要求.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值位于某一尖點(diǎn)時，如果自變量發(fā)生較小偏差，可能導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)值急劇變化，則這種尖點(diǎn)型最優(yōu)點(diǎn)具有較大的風(fēng)險(xiǎn)，通常不可取.因此，在尋求最優(yōu)點(diǎn)時往往還要考慮最優(yōu)點(diǎn)附近鄰域點(diǎn)的性質(zhì).顯然，如果函數(shù)在鄰域內(nèi)各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值較小，則自變量出現(xiàn)偏差時函數(shù)值不會發(fā)生大的波動，系統(tǒng)仍能正常運(yùn)行;反之，如果鄰域內(nèi)各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值較大，則當(dāng)自變量出現(xiàn)偏差時，函數(shù)值就會發(fā)生大的偏差，使得系統(tǒng)無法正常工作.對于極大值問題，一個實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)通?？梢悦枋鋈缦?

則稱x 為y=f(x)上的一個實(shí)用點(diǎn)，記為x(ε，δ).

定義2 若點(diǎn)x*滿足定義1 的要求，同時它還是附近鄰域內(nèi)的極值點(diǎn)，則該點(diǎn)可稱為y=f(x)上的一個局部實(shí)用極值點(diǎn)，記為x*(ε，δ).

定義3 設(shè)函數(shù)y=f(x)有s 個局部實(shí)用極值點(diǎn)，則稱點(diǎn)為函數(shù)y=f(x)的全局實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)，簡稱實(shí)用最優(yōu)點(diǎn).

根據(jù)定義2，對于每個局部實(shí)用極值點(diǎn)，在給定ε的情況下，δ越大說明該極值點(diǎn)的魯棒性越強(qiáng)，δ越小則魯棒性越弱;在給定δ的情況下，ε越大說明該極值點(diǎn)的魯棒性越弱，ε越小則魯棒性越強(qiáng).

定義1 至定義3 不要求函數(shù)y=f(x)連續(xù)和導(dǎo)數(shù)存在，在求解實(shí)用極值點(diǎn)時也容易驗(yàn)證所要求的條件，但在δ領(lǐng)域內(nèi)可能存在函數(shù)值小幅快速振蕩現(xiàn)象.為了排除這種情況，還可以采取如下方法定義實(shí)用點(diǎn).

則稱x 為y=f(x)上的一個實(shí)用點(diǎn)，記為x(ε，Ω).

定義4 不僅要求函數(shù)y=f(x)連續(xù)，還要求其導(dǎo)數(shù)存在，在求解實(shí)用極值點(diǎn)時驗(yàn)證所要求的條件的計(jì)算量比較大，但可以保證在Ω 鄰域內(nèi)函數(shù)值y=f(x)比較光滑，沒有小幅快速振蕩現(xiàn)象.文中主要研究定義3 下的實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)，參數(shù)ε和δ是根據(jù)實(shí)際要求事先確定的.

Simon［11］于20 世紀(jì)50年代提出了滿意解的概念，即在實(shí)際應(yīng)用中，由于無法找到或者證明最優(yōu)解，當(dāng)?shù)贸龅慕膺_(dá)到一定的預(yù)期時，可認(rèn)為是滿意解.由滿意解和實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)的定義可知，兩者均受人為因素的影響，但又有所不同.對于確定性優(yōu)化問題，滿意解是根據(jù)人們的預(yù)期確定的，可以有許多個，人為因素體現(xiàn)在結(jié)果的選擇上;而實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)是約束條件下求得的常規(guī)最優(yōu)點(diǎn)，人為因素影響求解的過程，即約束的選取，約束確定以后，求解結(jié)果是唯一確定的.當(dāng)δ→0、ε→∞時，實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)就變成了常規(guī)最優(yōu)點(diǎn)，此時常規(guī)最優(yōu)點(diǎn)為實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)的特例，而滿意解可以認(rèn)為是近似最優(yōu)解.

2 實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)的求取

根據(jù)定義1，求解全局最優(yōu)實(shí)用極值點(diǎn)問題可以描述為如下優(yōu)化問題:

其中S 為變量x 的定義域.從形式上看，優(yōu)化問題(3)僅僅是一個約束優(yōu)化問題，似乎不難求解，但事實(shí)并非如此.由于S 內(nèi)通常含有多個極值點(diǎn)，無法簡單地借助松弛變量和拉格朗日乘子加以解決，只能借助智能優(yōu)化算法加以解決.

根據(jù)定義2 和定義3，求解實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)最直觀的方法是:首先求出所有的極值點(diǎn)，然后從中找出滿足定義1 的所有實(shí)用極值點(diǎn)，最后通過比較得到實(shí)用最優(yōu)點(diǎn).該方法計(jì)算量大，沒有可操作性.此外，若原有的極值點(diǎn)不滿足實(shí)用點(diǎn)的要求，但與極值點(diǎn)較近的點(diǎn)可能滿足要求，則采用該方法可能就無法求出實(shí)用最優(yōu)點(diǎn).因此，文中采用鄰域邊界采樣方法來判斷一個點(diǎn)是否滿足實(shí)用點(diǎn)的要求，同時借鑒粒子群隨機(jī)搜索的思想［12-15］提出一種QSO 算法.

2.1 QSO 算法的求解過程

求解實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)的具體步驟如下:

(1)初始化解向量矩陣A.解向量矩陣A 由隨機(jī)產(chǎn)生的M 個解向量組成，仿照粒子群優(yōu)化算法，可以將任意一個解向量比作一個粒子.

(2)確定最優(yōu)解向量.實(shí)用極值點(diǎn)的概念跟常規(guī)極值點(diǎn)的概念有所區(qū)別，它不僅考慮目標(biāo)函數(shù)值的大小，而且考慮點(diǎn)的鄰域特性.因此，在求解實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)時，不能簡單地套用常規(guī)極值點(diǎn)的判斷方法.在連續(xù)函數(shù)中某點(diǎn)的鄰域情況很難斷定，也就很難根據(jù)定義2 判斷該點(diǎn)是不是實(shí)用極值點(diǎn).有鑒于此，文中采用鄰域邊界采樣方法，給出實(shí)用極值點(diǎn)的近似判斷準(zhǔn)則.

定義域?yàn)閧(x1，x2，…，xnxi，min≤xi≤xi，max，i=1，2，…，n}的n 維實(shí)值函數(shù)f(x)上的一點(diǎn)x，對于事先給定的鄰域Ω(x)，在其邊界上采樣得到2n 個點(diǎn)，分別為

比較采樣點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，從中找到最大值fmax(z)及最小值fmin(z).令

對于給定的ε值，如果D(x)＜ε，則近似認(rèn)為x 滿足定義1 的約束要求，可以看作一個實(shí)用點(diǎn).

按照上述近似判斷準(zhǔn)則，依次判斷每個解向量是否滿足實(shí)用點(diǎn)的要求.如果沒有滿足實(shí)用點(diǎn)要求的解向量存在，則直接比較矩陣A 的最后一列，找出最大值，并將其對應(yīng)的粒子作為全局最優(yōu)粒子;否則，取這些滿足實(shí)用點(diǎn)要求且目標(biāo)函數(shù)值最大的解向量作為全局最優(yōu)解向量.

(3)更新解向量.全局最優(yōu)解確定后，對其他解向量進(jìn)行更新，

否則，直接轉(zhuǎn)入步驟(5).

(5)k=k+1，返回步驟(2)，直到達(dá)到最大迭代次數(shù)K 為止，輸出最優(yōu)解向量及f).

在約束檢測過程中，不滿足實(shí)用點(diǎn)要求的非最優(yōu)解向量會重新進(jìn)行隨機(jī)選擇，新位置與原位置之間沒有聯(lián)系，產(chǎn)生的速度無任何意義，故QSO 算法只引入了位置更新，并沒有引入速度更新.同時，粒子的個體歷史最優(yōu)對于目前粒子的運(yùn)動無法起到有效的引導(dǎo)作用，因此，QSO 算法在更新解向量時無需個體歷史最優(yōu)信息，僅依賴全局最優(yōu)信息，簡化了計(jì)算步驟.

步驟(4)是處理約束的關(guān)鍵，盡管該步驟不能完全保證在最優(yōu)點(diǎn)的δ鄰域內(nèi)所有點(diǎn)完全滿足約束條件，但當(dāng)目標(biāo)函數(shù)連續(xù)、搜索迭代次數(shù)較多時，可以以較大概率認(rèn)為所得到的點(diǎn)為實(shí)用最優(yōu)點(diǎn).

2.2 QSO 算法的參數(shù)設(shè)置

QSO 算法中有一些需要調(diào)節(jié)的參數(shù)，具體如下:

(1)群體規(guī)模M

當(dāng)群體規(guī)模較小時，個體容易陷入局部最優(yōu)，只有較大的群體規(guī)模才能夠保證種群的多樣性，防止誤收斂.但群體規(guī)模的增加會帶來計(jì)算時間的大幅增加，同時群體規(guī)模增長到一定數(shù)量后，再度增加對算法性能的提高不起作用.

(2)尋優(yōu)尺度系數(shù)C(k)

尋優(yōu)尺度決定每次搜索的步長，可以簡單地取為［0，1］區(qū)間上的一個常數(shù).為提高搜索速度，文中的C(k)取為

式中，k 為當(dāng)前迭代次數(shù)，K 為最大迭代次數(shù).C(k)隨著迭代次數(shù)的增加而線性遞減，迭代初期搜索步長較大，算法的全局搜索能力強(qiáng)，而在迭代后期搜索步長較小，算法的局部搜索能力較強(qiáng).

(3)位置更新水平P

P 直接影響著粒子的搜索過程，較大的P 值能夠增強(qiáng)粒子自我總結(jié)和向群體中優(yōu)秀個體學(xué)習(xí)的能力，從而引導(dǎo)種群向群體內(nèi)的最優(yōu)點(diǎn)靠近，具有較強(qiáng)的局部搜索能力;P 值較小時，粒子全局搜索和跳出局部最優(yōu)的能力增強(qiáng).通常情況下，P 可以取0.9 左右的常數(shù).

(4)終止準(zhǔn)則

一般使用最大迭代次數(shù)K 或可以接受的滿意解作為終止準(zhǔn)則，前者的設(shè)置更方便一些.

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為簡單、直觀起見，選擇一元多值函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)的概念及QSO 算法的可行性.

3.1 實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)概念的驗(yàn)證

根據(jù)定義1，結(jié)合函數(shù)f1(x)(見式(6)，其曲線見圖1)來說明實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)的概念及可行性.

圖1 函數(shù)f1(x)在區(qū)間［－6，5］上的曲線Fig.1 Curve of function f1(x)in interval of［－6，5］

從圖1 可以看出，在定義域［－6，5］內(nèi)，f1(x)共有5 個 局 部 極 值 點(diǎn)，它 們 分 別 是A(－ 4.278 0，4.1727)，B(－1.8278，0.6198)，C(1.2000，3.6382)，D(1.9046，3.9403)，E(3.8838，3.1713).按照傳統(tǒng)最優(yōu)點(diǎn)的概念，點(diǎn)A 為全局最優(yōu)點(diǎn).根據(jù)定義1，通過計(jì)算可知:當(dāng)δ=0.1、ε=0.3 時，點(diǎn)A 滿足實(shí)用點(diǎn)的定義，它是全局實(shí)用最優(yōu)點(diǎn);但當(dāng)δ=0.1、ε=0.1 時，點(diǎn)A 不滿足實(shí)用點(diǎn)的定義，故不能作為全局實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)，此時局部極值點(diǎn)D 滿足定義1，為δ=0.1、ε=0.1條件下函數(shù)f1(x)的全局實(shí)用最優(yōu)點(diǎn).

由提出實(shí)用極值點(diǎn)概念的緣由可知，實(shí)用極值點(diǎn)關(guān)注點(diǎn)的鄰域特性，即該點(diǎn)附近δ鄰域內(nèi)各點(diǎn)的函數(shù)值變化、波動及導(dǎo)數(shù)情況.從f1(x)的極值點(diǎn)特性可知，各極值點(diǎn)所處的位置平坦程度不同，魯棒性的強(qiáng)弱也不同，因此，不同約束條件下全局實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)的選取應(yīng)不同.當(dāng)δ一定時，ε不同，全局實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)也不同.例如，對于δ=0.1，當(dāng)ε=0.1 時，取點(diǎn)D 作為全局實(shí)用最優(yōu)點(diǎn);當(dāng)ε=0.3 時，取點(diǎn)A 作為全局實(shí)用最優(yōu)點(diǎn).對于給定的δ，ε越大說明極值點(diǎn)周圍各點(diǎn)的波動越大，反之越小.圖1 中，點(diǎn)A 相比于點(diǎn)D 處在更尖銳的位置，鄰域波動較大，該點(diǎn)的魯棒性不強(qiáng)，這就是點(diǎn)A 目標(biāo)函數(shù)值最大有時也不能作為全局實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)的原因.

3.2 δ和ε對實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)選取的影響

選取不同的δ和ε值，采用QSO 算法對f1(x)進(jìn)行尋優(yōu)，可以得到相應(yīng)的全局實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)，如表1所示.

表1 δ和ε取不同值時f1(x)的全局實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)Table 1 Practicably optimal points of f1 (x)with different values of δand ε

從表1 可知，當(dāng)δ和ε取不同值時，實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)的選取也不同.令R=，對比點(diǎn)B 和點(diǎn)D 可知，在給定δ的情況下，R 值越小，找到的實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)的魯棒性越弱，所處的位置越尖銳;對比點(diǎn)D 和點(diǎn)E可知，在給定ε的情況下，R 值越大，找到的實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)的魯棒性越強(qiáng)，所處的位置越平坦.此結(jié)果與概念定義時的分析以及概念驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論是一致的.

3.3 參數(shù)設(shè)置對QSO 算法尋優(yōu)性能的影響

由表1 可知，當(dāng)δ=0.1 和ε=0.02 時，f1(x)的實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)應(yīng)該是點(diǎn)B.采用文中提出的QSO 算法求取f1(x)的實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)，以獨(dú)立運(yùn)行50 次后搜索到點(diǎn)B 的成功率Rs來衡量尋優(yōu)性能，以此研究參數(shù)對算法尋優(yōu)性能的影響.

位置更新水平P 取0.95，最大迭代次數(shù)K 取500，不同種群規(guī)模M 下，算法搜索到點(diǎn)B 的成功率如表2 所示.從表中可以看出，群體規(guī)模越大，成功率越高，但當(dāng)種群規(guī)模大于15 之后，成功率不再增加.因此，對于f1(x)而言，種群規(guī)模取15 比較合適.

表2 種群規(guī)模對QSO 算法性能的影響Table 2 Effect of population size on the performance of QSO algorithm

種群規(guī)模M 取20，最大迭代次數(shù)K 取500，不同位置更新水平P 下，算法搜索到點(diǎn)B 的成功率如表3 所示.從表中可以看出，位置更新水平P 在0.90～1.00 之間時，可以保證算法每次都能搜索到實(shí)用最優(yōu)點(diǎn).位置更新水平較大時有利于加快算法的收斂速度，較小時則會擴(kuò)大全局搜索的范圍，提高跳出局部最優(yōu)的能力.為提高算法的性能，均衡全局搜索與局部搜索，位置更新水平P 可以在(0.90～1.00)范圍內(nèi)動態(tài)選取.

表3 位置更新水平對QSO 算法性能的影響Table 3 Effect of location updating probability on the performance of QSO algorithm

在種群規(guī)模M 為20、位置更新水平P 為0.95 的情況下，最大迭代次數(shù)K 不同時，算法搜索到點(diǎn)B 的成功率如表4 所示.從表中可以看出，最大迭代次數(shù)越大，成功率越高，當(dāng)最大迭代次數(shù)大于等于200 時，每次都能搜索到實(shí)用最優(yōu)解，即到達(dá)收斂域后，增加迭代次數(shù)對算法性能的提高很有限，但計(jì)算量會大幅增加.故一般情況下，最大迭代次數(shù)K 取200.

表4 最大迭代次數(shù)對QSO 算法性能的影響Table 4 Effect of the maximal number of generations on the performance of QSO algorithm

3.4 算法的有效性驗(yàn)證

為驗(yàn)證QSO 算法在不同要求下對復(fù)雜函數(shù)的尋優(yōu)性能，選取多極點(diǎn)函數(shù)f2(x)作為測試函數(shù)，其曲線見圖2.

圖2 f2(x)在區(qū)間［0，10］上的曲線Fig.2 Curve of f2(x)in interval of［0，10］

從圖2 可以看出，在定義域［0，10］內(nèi)，f2(x)共有7 個局部極值點(diǎn)(六角星標(biāo)記)，它們分別是(0.3242，1.509 5)、(1.652 6，3.869 4)、(2.1253，3.9781)、(4.1113，－1.1557)、(5.4472，0.5779)、(5.9583，0.7237)和(8.3280，3.8159).按照傳統(tǒng)最優(yōu)點(diǎn)的概念，點(diǎn)(2.1253，3.9781)為全局最優(yōu)點(diǎn).根據(jù)不同的δ和ε要求，用QSO 算法(種群規(guī)模M 為20，位置更新水平P 取0.95，最大迭代次數(shù)K 為500)求取函數(shù)f2(x)的實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)，具體結(jié)果如表5所示.從表中可以看出，對于f2(x)，QSO 算法也能根據(jù)不同的要求求出相應(yīng)的實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)，表明QSO算法具有良好的尋優(yōu)性能，能夠快速有效地找到實(shí)用最優(yōu)點(diǎn).

表5 δ和ε取不同值時f2(x)的實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)Table 5 Practicably optimal points of f2 (x)with different values of δand ε

4 結(jié)語

文中引入了實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)的概念，即約束條件下的最優(yōu)點(diǎn)，它更能滿足實(shí)際問題的要求.為求取實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)，文中采用鄰域采樣的近似判斷方法，同時借鑒粒子群搜索的思想提出了一種QSO 算法.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用文中提出的算法可以求出實(shí)用最優(yōu)點(diǎn)，該算法具有良好的尋優(yōu)性能.

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