趙斌華

《植樹問題》是人教版實驗教材四年級下冊“數學廣角”的內容，教材安排了三個例題：一條線段的植樹問題并且兩端都要栽樹的情況、兩端都不栽的情形，封閉曲線（方陣）中的植樹問題。在一次余姚市教研室主辦的校際聯動教研活動中，三位老師分別對“植樹問題”例1的內容進行了不同的演繹，有“小坡度式”只研究“兩端都栽”一種情況的，也有“開放式”同時研究三種情況的，但在課堂的某些環(huán)節(jié)中，均有發(fā)現學生出現不同程度的“卡殼”現象，這是什么原因？是學生不理解還是沒有掌握好呢？由此也引發(fā)了筆者以下的思考：

一、學生的學習起點在哪兒

“植樹問題”在課改前是作為“培優(yōu)”題讓學有余力的學生進行訓練的，新課標實施后，數學教材中增加了“數學廣角”這一領域，目的是通過“數學廣角”來進一步滲透數學學習的思想、方法，加強學生綜合運用知識的能力，逐步提高解決問題的能力。在此之前，學生已經學會除法，對于平均分也已經有了感性的認識和理解，能為理解株距奠定較好的學習基礎，同時也有了植樹時樹與樹之間應該有間隔的生活經驗。但對于數學意義上的間隔和間隔數，學生的認知卻很淺。

【片斷一】

師開門見山式揭示課題，引出例題：同學們在全長200米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵。一共需要多少棵樹苗？

生：200÷5=40（棵）。

師：還有不同的答案嗎？

生“卡殼”，不知怎么回答。

師：有什么辦法可以驗證下？

在老師的引導下，化繁為簡，先從20米開始研究。

師：你能通過畫線段圖的方式把它表示出來嗎？

生畫，師挑選作品并展示，只有“└┴┴┴┘”這一種情況而且部分學生沒有完成。

師：還有不一樣的答案嗎？

生再次“卡殼”，搖搖頭。

師只好給出自己的另兩種植樹情況：只種一端，兩端都不種。

學生第一次“卡殼”，原因有二：一是這里的學生多數都是外來務工子女，相對于城區(qū)的孩子，基礎肯定要差些，而且這些孩子在課外基本沒接觸過此類題型，所以答不出老師想要的加1、減1的答案；二是針對這一問題情境，缺少了一個“猜一猜”的環(huán)節(jié)，在學生看來，這樣的問題解決式的答案是唯一的，用除法做也是順理成章的，他們并沒有意識到從題目出發(fā)，還需要考慮多種情況的。學生第二次“卡殼”，首先是因為原來就沒考慮到植樹的多種情況，所以也不太會在畫圖中體現出來；其次是這里的孩子沒有畫線段圖的基礎，他們在畫的時候，還需要考慮總長、株距、比例尺等一系列因素，因此更加無暇去思考植樹的不同情況了。

學生是數學學習的主人，教師作為學生學習的組織者、引導者和合作者，應該充分關注學生的學習起點，從學生出發(fā)。面對不同的學生，教師也應該相應地調整自己的教學起點，幫助學生架構生活經驗和學習經驗之間的橋梁，讓學生更好地進入課堂。

二、學生的思維層次到哪兒

瑞士教育家裴斯泰洛齊說：“教學的主要任務不是積累知識，而是發(fā)展思維?！睂W生的思維能力主要是在他們獲取知識的過程中、在知識的掌握過程中發(fā)展起來的。數學是思維的體操，可以鍛煉學生的思維能力，使其不斷地發(fā)展。而思維又是一種隱性的心理活動，只有在具體的活動或操作中得以顯現。

【片斷二】

師：通過剛才的探究活動，并觀察這些算式，你發(fā)現了什么？

生：我發(fā)現每個算式都要+1。

生：我發(fā)現棵數都要比間隔數多1。

師：非常好！在植樹問題兩端都種的情況下，棵數=間隔數+1。

師：為什么要+1呢？

生：你看在圖上，每一棵樹都對著一個間隔，到最后還多出一棵樹，所以棵數要比間隔數多1。

師：你說得真清楚！那下面這道植樹問題，你們能解決嗎？

出示教材P118“做一做”：園林工人沿公路一側植樹，每隔6米種一棵，一共種了36棵。從第一棵到最后一棵的距離有多遠？

師：誰來說一說？

生：36×6=216（米）。

師：還有不一樣的想法嗎？

生：（36+1）×6=222（米）。

師：還有嗎？

生：（36-1）×6=210（米）。

師：你們同意哪一種算法？

只有少數學生同意最后一種算法，很明顯，學生“卡殼”了。

教師也覺得困惑了，剛才明明已經把“+1”的難點解決了呀，而且學生都能說得很清楚了，為什么換一種角度，學生就“卡”住了呢？所以說，在課堂上，并不是教師的教學到哪兒，學生的思維也已經跟到那兒了。在教師的帶領下，學生能夠步步緊跟著，但當教師一放手，學生就會回到自己的思維起點，對于沒有完全理解的內容，就會出現“卡殼”現象了。

因此，在課堂中，教師應該時刻關注學生的思維層次，充分暴露學生的思維，關注學生思維的障礙點，理清學生的思維脈絡。當學生遇到思維障礙時，教師需要適時地加以疏導、點撥，可以先“扶一扶”，然后再逐步過渡、“由扶到放”，努力做到與學生的思維同步，從而真正促進學生思維的發(fā)展。

三、學生的模型建構去哪兒

從數學角度講，數學建模是舍去無關緊要的東西，保留其數學關系，形成數學結構。而植樹問題在日常生活中會經常遇到，如路旁植樹、插彩旗、花壇種花、安路燈、鋸木頭、上樓梯等都可以歸結為“植樹問題”，因此非常有必要幫助學生建立解決這一類問題的數學模型。

【片斷三】

師：今天這節(jié)課我們研究了植樹問題（只研究了兩端都種），也知道了棵數和間隔數之間的關系。生活中也有許多這樣的例子，你能舉一個嗎？

生：路燈。

師：你能說一說分別把什么看作“棵數”、“間隔”和“間隔數”嗎？

生：路燈的盞數相當于“棵數”，路燈之間的距離相當于“間隔”，有幾個這樣的間隔就是“間隔數”。

師：說得非常好！

生：老師，我還有！你看，我們教師里一排排的座位，人是“間隔”，桌子是“樹”。

生：應該是人是“樹”，桌子是“間隔”吧？

生：人是“樹”的話，前面沒人了？

生：那人是“間隔”的話，后面沒桌子了？

生爭論著，“卡殼”了。

其實很簡單，這就是植樹問題中只種一端的情況，無論人是“間隔”還是桌子是“間隔”都是一一對應的，也就是不用+1的情況，“棵數=間隔數”的植樹類型。因為學生頭腦中的模型只有“兩端都種”這一種，想到的關系式也只有“棵數=間隔數+1”，所以就一時轉不過彎了。

數學知識不是單一的，它應該具有整體性、連貫性，數學結構也應是呈網絡狀的。心理學研究表明，整塊成片的知識網比零碎的知識點更容易讓人納入自己的原有認知體系。所以，個人認為，在一開始呈現植樹問題時，應該給學生一個整體的結構，即三種類型都要呈現，從知識的生成原理來看，這更有利于學生的建模。這樣相當于先給了學生一個框架，然后本節(jié)課重點來研究其中一種，讓學生走向分支，再在分支中建立相應的解決問題的模型結構，當學生遇到“岔路”時，能夠回到原有的整體框架，去尋找其他“分支”，從而真正達到完整的模型建構。這樣以后再遇到“鋸木頭”、“敲鐘”和“方陣問題”等也都能選擇正確的植樹問題的模型結構來應對解決了。

課堂是一門遺憾的藝術，如果沒有了學生的這些“卡殼”現象，也就沒有了更深入的思考。只有通過不斷地反思，總結教學的得失與成敗，在反思中改進，在反思中提高，才能不斷豐富自身素養(yǎng)，提升自我發(fā)展能力，逐步完善教學藝術。