雷 雨，趙丹寧

(1. 中國科學(xué)院國家授時中心，陜西 西安 710600； 2. 中國科學(xué)院時間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710600；3. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049； 4. 中國科學(xué)院精密導(dǎo)航定位與定時技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710600)

一、引 言

隨著人們對衛(wèi)星導(dǎo)航與定位精度要求的提高，衛(wèi)星鐘差的預(yù)報成為一項(xiàng)非常重要的工作。星載原子鐘頻率高且異常敏感，極易受到外界及其自身因素的影響，其復(fù)雜細(xì)致的變化規(guī)律也很難掌握，因此建立精確的原子鐘運(yùn)行模型非常困難，準(zhǔn)確預(yù)報衛(wèi)星鐘差也非常困難。為此相繼發(fā)展了多種鐘差預(yù)報模型，如二次多項(xiàng)式模型[1-2]、灰色系統(tǒng)模型[3-4]、ARIMA時間序列模型[5]和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(artificial neural network, ANN)模型[6]。這些模型各有優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍，如二次多項(xiàng)式模型以時間為變量，用歷史鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合確定各項(xiàng)系數(shù)，進(jìn)而對鐘差作外推預(yù)報，其優(yōu)點(diǎn)在于可利用較長的以往數(shù)據(jù)進(jìn)行充分?jǐn)M合，缺點(diǎn)是預(yù)報誤差會隨時間的增加而不斷增大；灰色系統(tǒng)模型可基于較少的歷史數(shù)據(jù)(4個以上)建模進(jìn)行預(yù)報，但該模型要求鐘差數(shù)據(jù)呈指數(shù)規(guī)律變化，限定了其應(yīng)用范圍。實(shí)際上，用任何一種事先建立的數(shù)學(xué)模型來預(yù)報鐘差，其精度都是有限的，原因之一就是星載原子鐘運(yùn)行的物理特性很難用數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確表達(dá)，導(dǎo)致每一種方法在應(yīng)用上都有其局限性。為了充分利用每種方法的優(yōu)點(diǎn)，可以綜合各種方法的預(yù)報結(jié)果[7]。為此本文探討3種綜合單一模型的鐘差預(yù)報結(jié)果的方法。

二、綜合預(yù)報衛(wèi)星鐘差的方法

1. 經(jīng)典權(quán)方法

對于線性組合模型，如何確定模型的加權(quán)系數(shù)是一個關(guān)鍵問題，常用的方法是根據(jù)方差倒數(shù)定權(quán)。線性組合模型的定義為

(1)

經(jīng)典權(quán)方法根據(jù)方差倒數(shù)定權(quán)

(2)

2. 有效度權(quán)方法

預(yù)報有效度指標(biāo)以預(yù)報精度反映預(yù)報方法的有效性，其思想如下：

預(yù)報方法的有效度定義為[8]

Sj=Ej(1-σj)j=1,2,…,m

(4)

(5)

3. 最小二乘支持向量機(jī)回歸方法

(1) 最小二乘支持向量機(jī)回歸原理

支持向量機(jī)(SVM)是在統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種新的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，可以解決分類和回歸問題。與基于傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險最小化原理的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不同，SVM通過結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原理來提高泛化能力，較好地解決了小樣本、非線性、高維數(shù)和局部極小點(diǎn)等實(shí)際問題[9]。最小二乘支持向量機(jī)(LSSVM)是在標(biāo)準(zhǔn)SVM上的一種擴(kuò)展，其與標(biāo)準(zhǔn)SVM相比，提高了收斂速度，降低了復(fù)雜性[10]。

f(x)=wTφ(x)+b

(6)

式中，w為權(quán)值矢量；b為偏置。

標(biāo)準(zhǔn)SVM采用ε不敏感損失函數(shù)，LSSVM選擇誤差ξi的二次項(xiàng)，優(yōu)化問題為

(7)

式中，ξi表示誤差；C為容錯懲罰因子。

根據(jù)約束非線性規(guī)劃理論，求解上式可得方程

(9)

式中，核函數(shù)K(x,xi)為滿足Mercer條件的任意對稱函數(shù)。

與標(biāo)準(zhǔn)SVM相比，LSSVM回歸只需要確定核參數(shù)和懲罰因子，而不需要確定不敏感損失函數(shù)的值，這不僅簡化了計算，也便于實(shí)際應(yīng)用。

(2) 最小二乘支持向量機(jī)回歸方法實(shí)現(xiàn)

三、算例與分析

1. 數(shù)據(jù)來源

從http:∥igscb.jpl.nasa.gov/components/prods.html網(wǎng)站上下載了2011年5月22日至23日共2天的IGS精密鐘差數(shù)據(jù)，其采樣間隔為5 min?？紤]到目前在軌GPS衛(wèi)星有30多顆，限于篇幅，從現(xiàn)有的4種類型衛(wèi)星鐘中各選一顆，分別是PRN02(IIR Rb)、PRN03(IIA Cs)、PRN09(IIA Rb)和PRN17(IIR-M Rb)衛(wèi)星。

2. 建模方案

算例中先用5月22日1天的精密鐘差來擬合二次多項(xiàng)式的模型系數(shù)，而用22日最后24個歷元，即最后2 h的精密鐘差來建立灰色系統(tǒng)模型，然后分別利用兩種模型預(yù)報未來72個歷元(時長為6 h)的鐘差值。對于這72個樣本來說，既有觀測值，又有兩種模型的預(yù)報值，因此可以構(gòu)建綜合預(yù)報模型。值得一提的是，對于LSSVM模型，輸入為兩種單一模型的預(yù)報結(jié)果，輸出為觀測值，核函數(shù)分別選用RBF核函數(shù)、線性核函數(shù)和多項(xiàng)式核函數(shù)。

3. 數(shù)值結(jié)果

利用建立的綜合預(yù)報模型進(jìn)行6 h跨度的預(yù)報，為便于比較，圖1—圖4和表1分別給出了二次多項(xiàng)式模型、灰色系統(tǒng)模型、經(jīng)典權(quán)法、有效度權(quán)法和LSSVM法的預(yù)報殘差序列和殘差的統(tǒng)計特性。需要說明的是，RBF核函數(shù)和多項(xiàng)式核函數(shù)的預(yù)報誤差非常大，因此選取線性核函數(shù)預(yù)報。

結(jié)合圖1—圖4，分析表1可以看出，這3種組合方法都能有效地綜合單一預(yù)報結(jié)果，預(yù)報精度也大體相當(dāng)；與單一模型相比，綜合預(yù)報的精度并非最高。這里有必要解釋一下，綜合預(yù)報的目標(biāo)是在保障預(yù)報可靠性的基礎(chǔ)上提高預(yù)報精度，避免當(dāng)單一模型預(yù)報誤差較大時給衛(wèi)星導(dǎo)航與定位所帶來的致命影響，這就要求綜合預(yù)報結(jié)果不能是劣組合，即綜合預(yù)報的誤差不能大于由單一模型預(yù)報得到的最大誤差。從表1中可以明顯看出，綜合預(yù)報的最大誤差明顯小于由單一模型預(yù)報得到的最大誤差，有時甚至小于任意一種單一模型的最大值，這對保證導(dǎo)航與定位可靠性，以及提高定位精度具有非常重要的意義。算例中，3種方法可以出現(xiàn)非劣組合也可以出現(xiàn)優(yōu)組合(綜合預(yù)報的誤差小于任意一種單一預(yù)報得到的誤差)。對于3種綜合方法的具體特征總結(jié)如下。

圖1 02號衛(wèi)星鐘差預(yù)報殘差序列

圖2 03號衛(wèi)星鐘差預(yù)報殘差序列

圖3 09號衛(wèi)星鐘差預(yù)報殘差序列

圖4 17號衛(wèi)星鐘差預(yù)報殘差序列

表1 殘差序列的統(tǒng)計特性 ns

1) 經(jīng)典權(quán)方法簡單且容易理解，它是基于殘差序列的誤差平方和而建立起來的，這就要求參與綜合預(yù)報的單一方法的誤差能保持穩(wěn)定，但對于衛(wèi)星鐘差預(yù)報而言，單一預(yù)報結(jié)果的誤差往往是非均勻性的，因而這種綜合方法存在不足。

2) 有效度權(quán)預(yù)報結(jié)果的統(tǒng)計指標(biāo)優(yōu)于經(jīng)典權(quán)方法，說明該方法綜合效果好。有效度權(quán)法綜合考慮了單項(xiàng)方法預(yù)報精度序列的均值及離散程度(穩(wěn)定性)，較好地刻畫了預(yù)報模型的精度特征，因此求得的權(quán)系數(shù)比經(jīng)典權(quán)求得的權(quán)系數(shù)更優(yōu)，預(yù)報效果也就更佳。需要指出的是，經(jīng)典權(quán)方法和有效度權(quán)方法都屬于線性組合模型，這種方法是單一方法的凸組合，如果不滿足這一條件，往往會帶來較大的誤差[9]。

3) 3種綜合方法中，采用LSSVM回歸方法得到的預(yù)報誤差最小。究其原因，LSSVM能以一種非線性方式綜合二次多項(xiàng)式和灰色系統(tǒng)兩種模型的預(yù)報結(jié)果，LSSVM回歸綜合預(yù)報模型是對各單一模型的預(yù)報結(jié)果進(jìn)行擬合后通過統(tǒng)計學(xué)習(xí)建立模型，從而繼承了各單一模型的有用信息，有助于提高預(yù)報精度。然而，采用LSSVM方法需要確定核函數(shù)類型及其參數(shù)，尤其參數(shù)的選取對其性能有較大影響。但目前關(guān)于如何選取合適的參數(shù)并沒有明確的指導(dǎo)原則，一般根據(jù)經(jīng)驗(yàn)事先確定，這就給模型帶來了較大的任意性。欲進(jìn)一步提高LSSVM綜合方法的預(yù)報質(zhì)量，需要對懲罰因子等參數(shù)的優(yōu)化選取進(jìn)行深入的研究。

四、結(jié) 論

1) 3種綜合方法都能有效地融合單一模型的預(yù)報結(jié)果，當(dāng)然前提是每種模型都是可用的，也是有效的。相對于單一模型，綜合預(yù)報模型具有較好的可靠性，綜合結(jié)果至少是非劣組合，有時還會是優(yōu)組合。

2) 與LSSVM方法比較而言，經(jīng)典權(quán)方法和有效度權(quán)方法簡單且容易理解，易于實(shí)現(xiàn)。其中，經(jīng)典權(quán)方法只考慮了誤差的平方和，沒有考慮各個誤差的特點(diǎn)；而有效度權(quán)方法同時顧及了誤差的均值和離散程度，因此求得的權(quán)系數(shù)更優(yōu)。

3) LSSVM具有較強(qiáng)的非線性映射能力，泛化能力也強(qiáng)，在小樣本情況下仍能獲得可靠結(jié)果，但該方法計算相對復(fù)雜些，同時參數(shù)的確定受人為主觀因素的影響，具有很大的任意性。

4) 3種綜合方法可適用于完全不同的預(yù)報方法(ARIMA模型、Kalman濾波和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等)的組合預(yù)報。

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