劉臣等

摘 要：混沌理論是一門專門研究奇異函數(shù)、奇異圖形的數(shù)學(xué)理論，是一門研究自然界有序、無序規(guī)律的學(xué)科?；煦鐚W(xué)被很多學(xué)者認(rèn)為是二十世紀(jì)繼相對論、量子力學(xué)之后，物理學(xué)發(fā)生的第三次大革命。混沌學(xué)中的混沌是貌似無序的有序，紊亂中的規(guī)律?；煦鐚W(xué)的面世，標(biāo)志著人類歷史上又一次重大科學(xué)的進(jìn)步，因為人們可以從更接近實際的角度去認(rèn)識這個既無序又有序的世界?；煦缧蛄械漠a(chǎn)生有多種方法，常用的是Logistic映射和Chebyshev映射，本文采用的是Logistic映射的滿映射。

關(guān)鍵字：混沌；logistic映射；序列

1963年美國氣象學(xué)家E.N.Lorenz提出了著名的“蝴蝶效應(yīng)”，“蝴蝶效應(yīng)”大意為：一只南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的蝴蝶，不經(jīng)意間扇動幾下翅膀，兩周后可能就會在美國德克薩斯州引起一場龍卷風(fēng)。其原因在于：蝴蝶翅膀的運動，會導(dǎo)致其身邊的空氣系統(tǒng)發(fā)生變化，并會產(chǎn)生微弱的氣流，而微弱氣流的產(chǎn)生又會引起四周空氣或其他系統(tǒng)產(chǎn)生相應(yīng)的變化，由此引起一系列的連鎖反映，最終可能會導(dǎo)致其他系統(tǒng)的極大變化。

這是他在研究大氣時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)選取一定量的參數(shù)時，一個由確定三階常微分方程組描述的大氣對流模型變得不可預(yù)測。經(jīng)過長期反復(fù)的數(shù)值實驗和理論思考， Lorenz從同一系統(tǒng)出現(xiàn)的一系列非周期無規(guī)則行為中發(fā)現(xiàn)了混沌運動，這為后來的混沌研究奠定了基礎(chǔ)。

一般地，當(dāng)一個接近實際而沒有內(nèi)在隨機性的模型，仍然具有貌似隨機的行為，我們就可以說這個真實物理系統(tǒng)是混沌的?；煦缦到y(tǒng)具有三個關(guān)鍵要素：一是對初始條件的敏感依賴性，即蝴蝶效應(yīng)；二是奇異吸引子，這里是非線性事件的發(fā)生點，它通過誘發(fā)系統(tǒng)的活力，使其變?yōu)榉穷A(yù)設(shè)模式，從而產(chǎn)生了不可預(yù)測性；三是分形，它具有二個普通特征：自始至終都是不規(guī)則的以及在不同的尺度上，不規(guī)則程度卻是一個常量，這同時也表明了有序和無序的統(tǒng)一?；煦缦到y(tǒng)經(jīng)常是自反饋系統(tǒng)，出來的東西回去之后，經(jīng)過變換再出來，循環(huán)往復(fù)，任何初始值的微小變動都會按指數(shù)放大，因此會導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)在長期的不可預(yù)測性。

混沌來自于非線性動力系統(tǒng)，而動力系統(tǒng)描述的是隨時間發(fā)展變化的任意過程，并且這樣的系統(tǒng)產(chǎn)生于生活的各個方面。即使是一個理想化的、僅有一個變量的最簡單的動力系統(tǒng)，也會具有難以預(yù)測的、基本上是隨機的特性。動力系統(tǒng)中的一點或者是一個數(shù)的連續(xù)迭代產(chǎn)生的序列稱為軌道。如果初始條件的微小改變使其相應(yīng)的軌道在一定的迭代次數(shù)之內(nèi)也只有微小改變，則動力系統(tǒng)是穩(wěn)定的，此時，任意接近于給定初值的另一個初值的軌道可能與原軌道相差甚遠(yuǎn)，是不可預(yù)測的。因此，弄清給定動力系統(tǒng)中軌道不穩(wěn)定的點的集合是極其重要的。所有其軌道不穩(wěn)定的點構(gòu)成的集合是這個動力系統(tǒng)的混沌集合，并且動力系統(tǒng)中參數(shù)的微小改變可以引起混沌集合結(jié)構(gòu)的急劇變化。這種研究是及其復(fù)雜的，但是引入了計算機就可以形象地看到這種混沌集合的結(jié)構(gòu)，看清它是一個簡單的集合還是一個復(fù)雜的集合，以及隨著動力系統(tǒng)本身的變化它是如何變化的。這也是混沌學(xué)在計算機技術(shù)的幫助下不斷前進(jìn)的原因所在。

混沌序列的產(chǎn)生有多種方法，本文采用的是Logistic映射的滿映射：

進(jìn)行0，1判決，最后得到，既為我們所需要的比特混沌序列。

實數(shù)混沌序列：實數(shù)混沌序列是在比特混沌序列的基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)換得來的。由于我們在對圖像進(jìn)行加密的時候是對圖像的每個像素值的灰度值做運算，而每個像素的灰度值范圍是0～255，即：，所以在轉(zhuǎn)換的時候采取每八位進(jìn)行轉(zhuǎn)換，把0，1序列變成0～255的實數(shù)序列，長度變?yōu)楸忍匦蛄械?/8。

性能分析：

自相關(guān)性：設(shè)置一計數(shù)變量數(shù)組，。讓自身向右循環(huán)移位一次，然后將移位后的序列與原序列進(jìn)行按位比較，每有一位相同則此時的自動加1，然后依次再向右循環(huán)移位，再次比較，并記錄下每次值，這樣從向右循環(huán)移位499次，我們就得到了500個值，由于向右循環(huán)移位一次與向左循環(huán)移位499次是相同的結(jié)果，同時為了在畫出圖后，以移位0次作為對稱軸，我們將后250個值移到前面，然后將它畫圖，橫坐標(biāo)為-250～250，表示循環(huán)移動的位數(shù)，負(fù)表示向左移動，正表示向右移動，縱坐標(biāo)表示對應(yīng)每次移位后500個值當(dāng)中相同值的個數(shù)。

互相關(guān)性：與自相關(guān)性相同的是我們同樣設(shè)置一個計數(shù)變量數(shù)組。不同的是這次我們用兩個初值不同的序列進(jìn)行比較，循環(huán)右移其中一個序列，然后分別與另一個序列按位進(jìn)行比較，最后同樣得到500個值。通過matlab仿真其特性曲線，我們發(fā)現(xiàn)，只要當(dāng)混沌序列不是與自己本身進(jìn)行比較，其相同的元素所占比例都是很小的。將混沌序列與移位后的序列相比較，不論是與移了多少位的序列比較，相關(guān)性都很差，我們可以得出，混沌序列沒有周期性。圖中，即使和初值只相差的混沌序列進(jìn)行移位比較，相關(guān)性也很差。

由上面的分析可以得出混沌序列具有較好的隨機性，很強的自相關(guān)性，互相關(guān)性很弱，這些都完全符合加密的要求。

本文對混沌學(xué)、混沌系統(tǒng)做了簡要的介紹。著重介紹了利用Logistic映射產(chǎn)生比特混沌序列和實數(shù)混沌序列的方法。并對兩種混沌序列的性能做了分析，得出了混沌序列具有很強的隨機性、自相關(guān)性以及很弱的互相關(guān)性的重要特性。混沌在現(xiàn)代通信中的應(yīng)用一度成為研究的熱點。同時，隨著數(shù)字技術(shù)及Internet技術(shù)的飛速發(fā)展，多媒體通信越來越成為現(xiàn)代通信技術(shù)中研究的重點，通信領(lǐng)域也在逐漸與信號處理、密碼學(xué)等學(xué)科交融。相信在未來社會中，混沌理論必將為通信行業(yè)再添光彩。

參考文獻(xiàn)

[1]劉軍，侯祥林，王丹民，王鐵光，Logistic映射分支值的最優(yōu)化算法，東北大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2000，10，21（5）。

[2]靳毅，初識混沌現(xiàn)象，開封教育學(xué)院學(xué)報，1998（2）。

[3]鄧宗琦，混沌學(xué)的歷史和現(xiàn)狀，華中師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），1997，12。

[4]譚云亮，“混沌”及“混沌”理論發(fā)展，科技視野，1997年1月.