李懷鋒 鄧巧林

(上海同濟建設工程質(zhì)量檢測站，上海 200092)

空間球體建筑變形檢測新方法

李懷鋒 鄧巧林

(上海同濟建設工程質(zhì)量檢測站，上海 200092)

使用高精度全站儀檢測了上海某球體結(jié)構(gòu)的變形情況，并運用自由設站采集均勻分布在球體上的點位坐標，通過坐標轉(zhuǎn)換將球體點坐標統(tǒng)一到一個坐標系；同時根據(jù)空間向量球的中垂面性質(zhì)，采用一種新的空間球體擬合方法，對球體點坐標進行處理，以解算出球心坐標、半徑，進而反算出球體變形情況。

空間球體，自由設站，坐標轉(zhuǎn)換，中垂面，空間向量

1 概述

在測量工作中，有時需要對一些球形物體進行擬合檢測，例如大型機械設備、球形建筑等，解算其球心、半徑，查看其變形情況或者評定施工精度。從理論上講，若測定不在同一平面上的四個球體點的坐標，便可確定出唯一空間球體。為了提高測定精度，需要在球體上觀測多于四個點的坐標，按照最小二乘準則求解球體參數(shù)的最或然值。以往常設出球的二次方程，將球心和半徑作為參數(shù)，先設定初始值，然后根據(jù)泰勒公式列出誤差方程式，進行平差迭代計算出球體參數(shù)和變形情況，文獻[1][2]中采用的就是這種方法擬合檢測空間球體，數(shù)據(jù)處理過程稍顯繁瑣。根據(jù)球的特性，球心必在球體上任意兩點連線的中垂面上[3]；本文利用這一特性，采用一種空間球體擬合檢測新方法，以球體坐標為參數(shù)，用空間向量列出所有中垂面方程，推導出誤差方程，按照最小二乘準則求出球心坐標，進而反算出球體半徑和變形情況。

2 不同測站之間的坐標轉(zhuǎn)換

筆者根據(jù)現(xiàn)場情況，全站儀自由設站兩次就可以觀測到球體上均勻分布的點，每一站上對球體免棱鏡觀測10個點，點位坐標見表1。為了確定兩個測站之間的坐標轉(zhuǎn)換關系，在球體結(jié)構(gòu)附近的其他建筑物上選定5個標識點，貼上反射片，每個測站運用全站儀對其觀測，得到標識點的坐標，見表2。

表1 自由設站測定的球面點的坐標 m

表2 自由設站測定的標識點的坐標 m

本文運用的坐標轉(zhuǎn)換模型的主要思想是文獻[4][5]提出的采用附有條件間接平差方法的坐標轉(zhuǎn)換方法，文獻[4][5]詳細介紹了該坐標轉(zhuǎn)換模型，本文不再贅述。

若測站1處直角坐標系為o-xyh，測站2處直角坐標系o′-x′y′h′，其中有n個公共觀測點，分別表示為(xi，yi，hi)T和(xi′，yi′，hi′)T(i=1，2，…，n)。因為兩個測站下觀測條件基本一致，故可認為尺度參數(shù)仍為1，沒有發(fā)生變化，那么測定的球體點和標識點在兩個測站處的空間直角坐標系下的關系為：

(1)

其中，(Δx，Δy，Δz)T為平移參數(shù)；R為旋轉(zhuǎn)矩陣。

根據(jù)表2中的兩個測站坐標系下的標識點坐標，運用上述的大角度坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)的歸一化模型，先后求解出旋轉(zhuǎn)矩陣和平移參數(shù)，其中：

(2)

(Δx，Δy，Δz)T=(33.648 1 78.202 7 -0.363 3)T

(3)

利用式(1)與求出的旋轉(zhuǎn)矩陣R、平移參數(shù)，將在表1中測站2處測定的球面點坐標從直角坐標系o′-x′y′h′轉(zhuǎn)換到直角坐標系o-xyh，球體點位坐標數(shù)據(jù)見表3。

表3 坐標轉(zhuǎn)換后的測站2測定的球體點的坐標 m

3 球體結(jié)構(gòu)擬合

(4)

代入坐標向量后，中垂面方程簡化為：

Δx12·x0+Δy12·y0+Δz12·z0-li=0

(5)

(6)

則誤差方程式為：

V=B×X-L

(7)

X=(BTPB)-1BTPL

(8)

球體半徑是球體上各個點到球心的距離的最或然值，即平均值。解出球心坐標后，反算各個球體點到球心的距離為：

(9)

而球體半徑r為這些距離的平均值。根據(jù)表1中測站1處測定的10個球體點坐標和表3中坐標轉(zhuǎn)換后的10個球體點坐標，可以推出19個線性無關的中垂面方程，由式(8)可以解出球心坐標P0(x0，y0，z0)為(41.660 1，37.104 0，34.449 4)T，進而按照式(9)計算出各個球體點到球心的距離，球心半徑r=24.580 3 m。

4 精度分析

首先分析測站坐標系之間的坐標轉(zhuǎn)換精度。根據(jù)式(2)和式(3)求出的兩個測站坐標系的轉(zhuǎn)換參數(shù)后，將標識點在測站2坐標系下的坐標轉(zhuǎn)換為在測站1坐標系下的坐標，與測站1處測定的標識點坐標進行比較，并根據(jù)式(10)計算出坐標轉(zhuǎn)換的點位中誤差m0僅為1 mm，可見觀測數(shù)據(jù)非?？煽俊?/p>

(10)

下面分析球體結(jié)構(gòu)擬合精度和變形情況。根據(jù)式(9)反算出各個觀測點到球心的距離與其平均值對比，可得各個觀測點處的

球體變形量即點球距為：

Δri=ri-r，i=1，2，…，n (11)

進一步計算半徑中誤差為：

(12)

5 結(jié)語

筆者同樣采用MATLAB7.1編制了文獻[1][2]介紹的球體擬合算法程序，與本文描述的算法進行對比。在相同的計算環(huán)境下運行，計算出半徑中誤差分別為6.9 mm，6.6 mm，運算所需時間分別為0.46 s，0.15 s，表明兩個算法精度相當，但是本文介紹算法效率更高。同時在觀測中應注意，不能只觀測球體半面的點，對空間球體上觀測分布均勻的點，可避免病態(tài)方程出現(xiàn)而引起的解不對；若保證點位分布均勻，再多的點也不會顯著提高擬合的精度；選取標識點時一定要保證兩個觀測站都能觀測到，點位牢固可靠且不能在一條直線上，才能保證大角度坐標轉(zhuǎn)換的準確性，此方法簡明易懂，易于程序?qū)崿F(xiàn)，擬合檢測效果令人滿意。

[1] 程效軍，王 峰.測定球面多點坐標計算球面參數(shù)的方法[J].鐵道勘察,2006(6):1-2.

[2] 王解先,季凱敏.工業(yè)測量擬合[M].北京：測繪出版社,2008.

[3] 王敬庚.空間解析幾何[M].北京:北京師范大學出版社,2004.

[4] 陳 義,沈云中,劉大杰.適用于大旋轉(zhuǎn)角的三維基準轉(zhuǎn)換的一種簡便模型[J].武漢大學學報(信息科學版),2004,29(12):1101-1105.

[5] 潘國榮，周 瑩，張德海.坐標轉(zhuǎn)換模型在盾構(gòu)姿態(tài)計算中的應用[J].大地測量與地球動力學,2006,26(3):84-87.

New deformation detection method of buildings with spatial sphere

LI Huai-feng DENG Qiao-lin

(ShanghaiTongjiConstructionEngineeringQualityDetectionStation,Shanghai200092,China)

The paper detects the deformation conditions of the spatial sphere structure in Shanghai city by applying high-accuracy total station, collects the point coordinate distributed equally on the sphere by setting free-station, and adjusts the sphere point coordinates to the only coordinate through coordinate transformation. According to the middle vertical property of spatial vector sphere, it applies new spatial sphere simulation method, deals with the sphere point coordinate, obtains the sphere center coordinate and diameter, and finally calculates the sphere deformation conditions.

spatial sphere, setting free-station, coordinate transformation, middle vertical plane, spatial vector

1009-6825(2014)11-0242-02

2014-02-08

李懷鋒(1985- )，男，碩士，助理工程師； 鄧巧林(1985- )，男，工程師

TU196.1

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