劉章軍， 萬 勇， 曾 波

(三峽大學 土木與建筑學院，湖北 宜昌 443002)

脈動風速過程模擬的正交展開-隨機函數(shù)方法

劉章軍， 萬 勇， 曾 波

(三峽大學 土木與建筑學院，湖北 宜昌 443002)

在隨機過程的正交展開基礎(chǔ)上，采用隨機函數(shù)的思想，提出了脈動風速隨機過程模擬的正交展開-隨機函數(shù)方法。通過將展開式中的一組標準正交隨機變量表達為基本隨機變量的正交函數(shù)形式，實現(xiàn)了用一個基本隨機變量來表達原隨機過程的目的。應(yīng)用正交展開-隨機函數(shù)方法，對脈動風速隨機過程進行模擬分析。結(jié)果表明，在二階數(shù)值統(tǒng)計意義上，僅需用一個基本隨機變量即可對脈動風速隨機過程進行精確模擬，進而體現(xiàn)了正交展開-隨機函數(shù)方法的有效性和優(yōu)越性。

脈動風速；模擬；正交展開；隨機函數(shù)；高斯過程；非高斯過程

在風工程中，脈動風通常可近似認為是一個各態(tài)歷經(jīng)、零均值的平穩(wěn)隨機過程。對于高聳結(jié)構(gòu)、高層建筑結(jié)構(gòu)和大跨度橋梁結(jié)構(gòu)等，脈動風對結(jié)構(gòu)的動力效應(yīng)顯著，是結(jié)構(gòu)設(shè)計時所需考慮的一類重要隨機動力荷載[1]。

目前，模擬脈動風過程的方法有多種[2]，主要包括諧波合成法及其改進方法[3-4]、線性濾波法、本征正交分解法[5-7]、小波分析法以及混合法[8-9]等，這些方法主要是針對平穩(wěn)高斯隨機過程進行模擬。此外，李錦華等[10]進行了非平穩(wěn)脈動風速的數(shù)值模擬，孫芳錦等[11]進行了非高斯風場的數(shù)值模擬研究。Li等[12]從大氣湍流的物理圖景出發(fā)，結(jié)合具體物理參數(shù)的建模，建立了具有物理基礎(chǔ)的脈動風速隨機Fourier幅值譜模型。文獻[13]建立了一般隨機過程的正交展開理論，文獻[14]進行了脈動風速隨機過程的正交展開研究。在此基礎(chǔ)上，本文試圖采用文獻[15]中提出的隨機函數(shù)思想，結(jié)合正交展開方法，對脈動風速隨機過程進行正交展開-隨機函數(shù)的模擬研究，以求用一個基本隨機變量即可在二階數(shù)值統(tǒng)計意義上對脈動風速隨機過程進行精確地模擬，并能獲得具有給定概率的樣本函數(shù)。進一步地，研究基于互功率譜密度函數(shù)或基于功率譜密度函數(shù)矩陣的隨機風場概率模型，并結(jié)合近年來發(fā)展起來的概率密度演化理論[16-17]，為工程結(jié)構(gòu)精細化的抗風動力響應(yīng)分析及動力可靠度研究提供基礎(chǔ)。

1 隨機過程的正交展開-隨機函數(shù)方法

1.1 隨機過程的正交展開

(1)

在式(1)中，λj與Фj分別為相關(guān)矩陣R的特征值和標準正交特征向量：

RФj=λjФj

(2)

注意，式(1)中φjk即為標準正交特征向量Фj的第k行元素，即

Фj={φj1,φj2,…,φjN}T

在式(2)中，相關(guān)矩陣R=[ρij]N×N可按下式來得到[13]：

(i,j=1,2,…,N)

(3)

(4)

文獻[9]給出的誤差限值ε≤0.10，為提高精度，本文認為脈動風速過程的均方相對誤差應(yīng)不超過5%，即ε≤0.05。

需要指出的是，在正交展開式(1)中，特征值λj與相應(yīng)的特征向量Фj應(yīng)按特征值的大小依次降次排列。

1.2 標準正交隨機變量的隨機函數(shù)表達

(5)

其中，E[·]表示數(shù)學期望，δij為Kronecker記號。

(6)

其中， pΘ(θ)為基本隨機變量Θ的概率密度函數(shù)。

1.2.1 非高斯隨機變量的構(gòu)造

(1) 選取定義在區(qū)間[-1,1]上的Legendre正交多項式[15]：

k=1,2,…,N

(7)

其中Pn(x)為Legendre多項式，其遞推公式為

(8)

(2) 選取定義在區(qū)間[-π,π]上的Hartley正交基函數(shù)[15]：

(8)

1.2.2 高斯隨機變量的構(gòu)造

Fξk(x)=

(10)

利用隨機變量的等概率反變換法，即可獲得一組具有標準高斯分布的正交隨機變量[15]：

(11)

2 脈動風速過程的模擬

2.1Davenport脈動風速譜及其等價功率譜

在上述隨機過程的正交展開-隨機函數(shù)方法中，需要由隨機過程的自相關(guān)函數(shù)來計算正交展開式(1)中的特征值λj和標準特征向量Φj。因此，首先需要根據(jù)脈動風速的功率譜密度函數(shù)求出相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)。

在風工程中，Davenport提出了與高度無關(guān)的脈動風速功率譜密度函數(shù)，即Davenport譜(單邊譜)[18]：

(12)

考慮到直接由Davenport譜來計算自相關(guān)函數(shù)的表達式比較困難，文獻[14]給出了Davenport譜的等價功率譜密度函數(shù)(雙邊譜)：

(13)

其中，參數(shù)A、α及β可由功率譜的面積、卓越頻率及峰值均相等的等價原則來確定。

根據(jù)Davenport譜與其等價功率譜的等價條件，可知：

(14)

(15)

2.2 實例分析與驗證

表1 基本隨機變量的離散點集

圖1 脈動風速的典型樣本時程曲線Fig.1 Generated samples for fluctuating wind

圖2給出了由Legendre正交多項式(7)所生成1 600條脈動風速樣本函數(shù)的二階統(tǒng)計特性與目標特性的比較，從圖中可知，樣本總體均值、標準差與目標均值、標準差以及樣本總體功率譜與目標功率譜均符合較好。圖3給出了利用Hartley正交基函數(shù)(即式(9))所生成628條非高斯脈動風速樣本的總體均值、標準差以及總體功率譜與目標均值、標準差和目標功率譜的比較，可見其符合程度十分理想。圖4給出了利用式(11)所生成628條高斯脈動風速樣本的總體均值、標準差以及總體功率譜與目標均值、標準差和目標功率譜的比較，從圖中可知，它們之間的符合程度也很理想。

圖2 利用Legendre正交多項式生成1600條脈動風速樣本的統(tǒng)計特性與目標特性比較Fig．2Comparisonthetargetsandsecond?orderstatisticsof1600non?Gaussianprocess’ssamplesgeneratedusingLegendreorthogonalpolynomials圖3 628條非高斯脈動風速樣本函數(shù)的統(tǒng)計特性與目標特性比較Fig．3Comparisonthetargetsandsecond?orderstatisticsof628generatednon?Gaussianprocess’ssamples圖4 628條高斯脈動風速樣本函數(shù)的統(tǒng)計特性與目標特性比較Fig．4Comparisonthetargetsandsecond?orderstatisticsof628generatedGaussianprocess’ssamples

在圖2～圖4樣本總體功率譜的圖形中，當頻率在0.82 Hz以上范圍時，樣本總體的功率譜密度函數(shù)為零，這是由于在脈動風速過程的近似正交展開式(1)中，展開項數(shù)N=1 000而不是趨于無窮大所致。這表明，當展開項數(shù)N越大時，兩者的高頻段部分將會符合得越理想。

順便指出，與文獻[15]中平穩(wěn)地震動過程的正交展開-隨機函數(shù)模擬的結(jié)果相比，脈動風速過程的模擬結(jié)果更為理想。脈動風速過程對于三種標準正交隨機變量的隨機函數(shù)構(gòu)造，其模擬效果均比較理想，而地震動過程對于Legendre正交多項式和高斯隨機變量構(gòu)造的模擬效果稍欠佳，其可能原因是脈動風速過程的持續(xù)時間為600 s，比地震動過程的持續(xù)時間20 s更長，更能符合平穩(wěn)隨機過程的假定，因而對隨機函數(shù)構(gòu)造的選擇沒有地震動過程那么敏感。這表明，平穩(wěn)隨機過程的正交展開-隨機函數(shù)方法具有良好的適用性和穩(wěn)定性。

3 結(jié) 論

在隨機過程的正交展開基礎(chǔ)上，通過將展開式中的一組標準正交隨機變量表達為基本隨機變量的正交函數(shù)形式，實現(xiàn)了用一個基本隨機變量來表達原隨機過程的目的。文中以Davenport脈動風速譜及其等價功率譜為例，通過標準正交隨機變量的Legendre正交多項式和Hartley基函數(shù)形式的構(gòu)造，對脈動風速非高斯平穩(wěn)過程和高斯平穩(wěn)過程進行了模擬。結(jié)果表明，本文方法所需基本隨機變量的數(shù)量最少，且模擬的精度很高，同時可以對高斯平穩(wěn)過程和非高斯平穩(wěn)過程進行模擬，進而體現(xiàn)了正交展開-隨機函數(shù)方法的有效性和優(yōu)越性。此外，利用本文隨機函數(shù)的思想，可以進一步研究基于互功率譜密度函數(shù)或者基于功率譜密度函數(shù)矩陣的風速隨機場模擬。

[ 1 ] 李杰, 劉章軍. 隨機脈動風場的正交展開方法[J]. 土木工程學報, 2008, 41(2): 49-53. LI Jie, LIU Zhang-jun. Orthogonal expansion method of random fields of wind velocity fluctuations[J]. China Civil Engineering Journal, 2008, 41(2): 49-53.

[ 2 ] 李錦華, 李春祥. 土木工程隨機風場數(shù)值模擬研究的進展[J]. 振動與沖擊, 2008, 27(9): 116-125. LI Jin-hua, LI Chun-xiang. Development of numerical simulations for stochastic wind fields in civil engineering[J]. Journal of Vibration and Shock, 2008, 27(9): 116-125.

[ 3 ] Deodatis G. Simulation of ergodic multivariate stochastic processes [J]. Journal of Engineering Mechanics, 1996, 122(8): 778-787.

[ 4 ] Cao Y H, Xiang H F, Zhou Y. Simulation of stochastic wind velocity field on long-span bridges[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2000, 126(1): 1-6.

[ 5 ] Chen X Z, Kareem A. Proper orthogonal decomposition-based modeling, analysis, and simulation of dynamic wind load effects on structures[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2005, 131(4): 325-339.

[ 6 ] Di Paola M. Digital simulation of wind field velocity [J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 1998, 74-76: 91-109.

[ 7 ] Carassale L, Solari G. Wind modes for structural dynamics: a continuous approach [J]. Probabilistic Engineering Mechanics, 2002, 17(2): 157-166.

[ 8 ] 胡亮, 顧明, 李黎. 基于本征正交分解的譜表示法模擬風場的誤差[J]. 振動與沖擊, 2011, 30(4): 12-15. HU Liang, GU Ming, LI Li. Errors produced with proper orthogonal decomposition-based spectral representation method in wind velocity field simulation [J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(4): 12-15.

[ 9 ] Chen L Z, Letchford C W. Simulation of multivariate stationary Gaussian stochastic processes: Hybrid spectral representation and proper orthogonal decomposition approach [J]. Journal of Engineering Mechanics, 2005, 131(8): 801-808.

[10] 李錦華, 李春祥, 申建紅. 非平穩(wěn)脈動風速的數(shù)值模擬[J]. 振動與沖擊, 2009, 28(1): 18-23. LI Jin-hua, LI Chun-xiang, SHEN Jian-hong. Numerical simulation of non-stationary fluctuating wind velocity[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(1): 18-23.

[11] 孫芳錦, 張愛社. 基于譜修正方法的非高斯風場模擬[J]. 防災(zāi)減災(zāi)工程學報, 2012, 32(2): 187-190. SUN Fang-jin, ZHANG Ai-she. Non-Gaussian wind field simulation based on spectral correction method[J]. Journal of Disaster Prevention and Mitigation Engineering, 2012, 32(2): 187-190.

[12] LI Jie, PENG Yong-bo, YAN Qi. Modeling and simulation of fluctuating wind speeds using evolutionary phase spectrum [J]. Probabilistic Engineering Mechanics, 2013, 32: 48-55.

[13] 李杰, 劉章軍. 基于標準正交基的隨機過程展開法[J]. 同濟大學學報(自然科學版), 2006, 34(10): 1279-1283. LI Jie, LIU Zhang-jun. Expansion method of stochastic processes based on normalized orthogonal bases [J]. Journal of Tongji University (Natural Science), 2006, 34(10): 1279-1283.

[14] 劉章軍, 李杰. 脈動風速隨機過程的正交展開[J]. 振動工程學報, 2008, 21(1): 96-101. LIU Zhang-jun, LI Jie. Orthogonal expansion of stochastic processes for wind velocity[J]. Journal of Vibration Engineering, 2008, 21(1): 96-101.

[15] 劉章軍, 萬勇, 鎮(zhèn)斌. 平穩(wěn)地震動過程的正交展開-隨機函數(shù)模型[J]. 應(yīng)用基礎(chǔ)與工程科學學報, 2014, 22(2).

[16] LI Jie, CHEN Jian-bing. Stochastic dynamics of structures [M]. Singapore: John Wiley & Sons Pte Ltd, 2009.

[17] 李杰, 陳建兵. 隨機動力系統(tǒng)中的概率密度演化方程及其研究進展[J]. 力學進展, 2010, 40(2): 170-188. LI Jie, CHEN Jian-bing. Advances in the research on probability density evolution equations of stochastic dynamical systems [J]. Advances in Mechanics, 2010, 40(2): 170-188.

[18] Davenport A G. The spectrum of horizontal gustiness near the ground in high winds [J]. Q. J. R. Meteorol. Soc., 1961, 87(372): 194-211.

Simulation of fluctuating wind processes with an orthogonal expansion-random function approach

LIU Zhang-jun, WAN Yong, ZENG Bo

(College of Civil Engineering & Architecture, Three Gorges University, Yichang 443002, China)

Based on the orthogonal expansion of stochastic processes, and the idea of random function, a hybrid orthogonal expansion-random function approach was proposed to simulate fluctuating wind. With this method, the standard orthogonal random variables in an orthogonal expansion formula were expressed into the orthogonal function form of a basic random variable to realize applying a basic random variable to express an original stochastic process. Utilizing the proposed approach, the simulation of fluctuating wind processes was perfomed. The results showed that the proposed approach can be used to accurately simulate the second-order statistics of fluctuating wind processes with only a basic random variable; the effectiveness and advantages of the orthogonal expansion-random function method are verified.

fluctuating wind; simulation; orthogonal expansion; stochastic function; Gaussian stationary process; non-Gaussian stationary process

國家自然科學基金資助項目(51278282, 50808113)；三峽地區(qū)地質(zhì)災(zāi)害與生態(tài)環(huán)境湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心

2013-10-09 修改稿收到日期：2013-11-21

劉章軍 男，博士，教授，1973年生

O324；TU311.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.021