岳二團(tuán)， 甘春標(biāo)， 楊世錫

(浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)系 現(xiàn)代制造工程研究所，杭州 310027)

氣隙偏心下永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性分析

岳二團(tuán)， 甘春標(biāo)， 楊世錫

(浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)系 現(xiàn)代制造工程研究所，杭州 310027)

研究氣隙偏心對(duì)永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。建立了氣隙偏心下轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)模型，結(jié)合永磁同步電機(jī)在帶負(fù)載工作下轉(zhuǎn)子永磁體及電樞電流共同形成的氣隙磁場分布情況，利用Maxwell應(yīng)力張量法計(jì)算了氣隙偏心造成的不平衡磁拉力，并代入轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程；通過實(shí)例分析，詳細(xì)討論了不同偏心以及負(fù)載類型對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。結(jié)果表明：質(zhì)量偏心在增大轉(zhuǎn)子振動(dòng)的同時(shí)會(huì)削弱不平衡磁拉力的影響，使振動(dòng)趨于規(guī)則；初始靜偏心的大小和方向都將影響轉(zhuǎn)子振動(dòng)特性，當(dāng)其方向和重力方向相反，振動(dòng)強(qiáng)度將有所減弱；當(dāng)外部負(fù)載轉(zhuǎn)矩發(fā)生變化，其相應(yīng)諧波頻率的振動(dòng)將被激發(fā)出來。

永磁電機(jī)；氣隙偏心；不平衡磁拉力；負(fù)載轉(zhuǎn)矩；振動(dòng)特性

永磁同步電機(jī)采用永磁材料勵(lì)磁，省去了勵(lì)磁電源以及勵(lì)磁繞組，具有結(jié)構(gòu)輕便、運(yùn)行可靠、效率高等特點(diǎn)，在各行業(yè)得到廣泛應(yīng)用。電機(jī)在運(yùn)行時(shí)，由于受到機(jī)械力和電磁力的耦合作用，其振動(dòng)情況復(fù)雜，特別是因加工精度及安裝誤差等原因?qū)е露ㄞD(zhuǎn)子間氣隙分布不均時(shí)，電機(jī)內(nèi)部將產(chǎn)生不平衡電磁力，使電機(jī)軸承工作環(huán)境惡化，同時(shí)也使得轉(zhuǎn)子振動(dòng)更為劇烈，嚴(yán)重情況下甚至?xí)?dǎo)致轉(zhuǎn)子和定子發(fā)生接觸，使電機(jī)失效。針對(duì)氣隙偏心時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)問題，已有很多學(xué)者對(duì)傳統(tǒng)電勵(lì)磁電機(jī)做過研究，并取得許多好結(jié)果，而對(duì)于永磁電機(jī)，尤其是高性能的稀土永磁同步電機(jī)，這方面的文獻(xiàn)則比較少[1]，其中部分文獻(xiàn)簡單引入電勵(lì)磁電機(jī)的相關(guān)結(jié)論，而忽略了永磁電機(jī)本身的特點(diǎn)。

不平衡磁拉力(Unbalanced Magnet Pull, UMP)是轉(zhuǎn)子振動(dòng)分析時(shí)首先要研究的問題，在工程上往往采用線性公式[2]，即假設(shè)其大小與偏心率成正比，當(dāng)偏心稍大時(shí)，這種方法誤差較大。Kim等[3]對(duì)外轉(zhuǎn)子永磁電機(jī)的偏心氣隙磁場進(jìn)行直接解析求解，得到氣隙中各處的磁密分布，Kim等[4]運(yùn)用該結(jié)果對(duì)轉(zhuǎn)子表面的Maxwell應(yīng)力進(jìn)行積分得到磁拉力解析式，但其推導(dǎo)過程及結(jié)果過于復(fù)雜，使其應(yīng)用受到限制，大大約束了該方法的應(yīng)用。Guo等[5]通過將氣隙磁導(dǎo)函數(shù)展開為級(jí)數(shù)形式，從而得到了不同極對(duì)數(shù)下三相同步電機(jī)空載時(shí)的不平衡磁拉力，進(jìn)而分析了剛性支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性。在轉(zhuǎn)子模型方面，目前的研究普遍采用單質(zhì)量圓盤的兩自由度轉(zhuǎn)子模型，主要關(guān)注其橫向振動(dòng)，而且少有考慮不同負(fù)載對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)的影響，但實(shí)際上，外部負(fù)載是影響電機(jī)穩(wěn)定性的一個(gè)重要因素。

本文在建立了兩端柔性支承永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子模型的基礎(chǔ)上，考慮初始靜偏心及振動(dòng)偏心同時(shí)存在的情況，推導(dǎo)了帶負(fù)載運(yùn)行時(shí)轉(zhuǎn)子所受不平衡磁拉力，并通過實(shí)例分析，詳細(xì)討論了質(zhì)量偏心、初始靜偏心以及外部負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

本文采用如圖1所示的轉(zhuǎn)子模型。轉(zhuǎn)子兩端對(duì)稱采用短軸承支承，Ob為軸承內(nèi)圈中心，O1為圓盤中心，Oc為圓盤質(zhì)心，Te為電磁轉(zhuǎn)矩，T為外部負(fù)載轉(zhuǎn)矩，δ為定轉(zhuǎn)子間的氣隙長度。

圖1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型Fig.1 A schematic of the rotor system

圖2 氣隙偏心下定轉(zhuǎn)子幾何結(jié)構(gòu)Fig.2 Geometrical structure of the stator-rotor under air-gap eccentricity

當(dāng)電機(jī)氣隙偏心時(shí)δ將沿圓周方向變化，如圖2所示，圖中大圓為定子內(nèi)圓面，小圓為轉(zhuǎn)子外圓面，兩圓之間即為氣隙空間，C為轉(zhuǎn)軸質(zhì)心，δ0為名義氣隙長度，r為工作中轉(zhuǎn)子中心的偏移量，圖中虛線為正常轉(zhuǎn)子位置?？紤]到轉(zhuǎn)子半徑遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)子中心偏移量，故任意角度θ處的氣隙長度可近似表達(dá)為

δ≈δ0-rcos(θ-γ)

(1)

(2)

圖3 轉(zhuǎn)子中心偏移量計(jì)算模型Fig.3 A model of the eccentricity of rotor center

電機(jī)帶負(fù)載運(yùn)行時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)除了受到外部轉(zhuǎn)矩T和電磁轉(zhuǎn)矩Te，同時(shí)還受滾動(dòng)軸承支承反力Qb、不平衡磁拉力Fm和質(zhì)量偏心力。由此，通過Lagrange方程可得轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

式中，m為圓盤等效質(zhì)量，m1為軸承端等效質(zhì)量，a為圓盤質(zhì)量偏心距，k,c,c1分別為轉(zhuǎn)軸彈性系數(shù)、阻尼系數(shù)以及軸承處的阻尼系數(shù)，Te,T為電磁轉(zhuǎn)矩及負(fù)載轉(zhuǎn)矩，f為粘滯摩擦系數(shù)。由式(3)可知，轉(zhuǎn)子的橫向振動(dòng)方程和轉(zhuǎn)動(dòng)方程存在耦合關(guān)系，為此，負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化將影響到轉(zhuǎn)子的橫向振動(dòng)。

以下分別對(duì)不平衡磁拉力Fmx、Fmy以及軸承支承反力Qbx、Qby進(jìn)行分析。

1.1 不平衡磁拉力

為計(jì)算方便， 我們將電機(jī)氣隙磁導(dǎo)Λ作如下處理[5]：

(4)

其中，S為每極氣隙磁通面積，相對(duì)偏心ε=r/δ，系數(shù)Λn為

(5)

根據(jù)永磁同步電機(jī)運(yùn)行相量圖[6]，定子繞組及永磁轉(zhuǎn)子的合成磁動(dòng)勢為

F(θ,t)=Fs+Fj=

Fsmcos(ωet-pθ)+

Fjmcos(pωrt-pθ-λ)

(6)

其中，F(xiàn)sm為定子繞組磁勢基波幅值，與繞組電流、匝數(shù)及繞線型式有關(guān)；Fjm為永磁轉(zhuǎn)子向外提供的等效磁勢幅值，與永磁體材料、外形尺寸及工作點(diǎn)有關(guān)；p為電機(jī)磁極對(duì)數(shù)，ωe為電角速度，ωr為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度，λ=(π/2+θN-φ)為定轉(zhuǎn)子磁勢夾角，其中θN、φ為轉(zhuǎn)矩角及功率因數(shù)角。氣隙中的磁密分布與徑向Maxwell應(yīng)力大小分別為

(7)

(8)

當(dāng)偏心率較小時(shí)，式(4)中的級(jí)數(shù)項(xiàng)隨階次增加而迅速減小，故僅取其前四項(xiàng)代入式(8)，然后將σ在X,Y方向的分量分別沿轉(zhuǎn)子表面進(jìn)行積分，即可得到X,Y方向的不平衡磁拉力

(9)

其中

(10)

從式(9)和式(10)可以看出，不平衡磁拉力包含兩部分：其中一部分(式(9)中第一項(xiàng))和時(shí)間無關(guān)，僅與電樞磁勢幅值、永磁磁勢幅值及兩者所夾的角度有關(guān)，方向指向最小氣隙處；另一部分(式(9)中第二項(xiàng)和第三項(xiàng))則隨時(shí)間周期性變化，其幅值表達(dá)式中的磁導(dǎo)級(jí)數(shù)部分僅包含高階系數(shù)乘積項(xiàng)Λ2,Λ3，故該部分幅值較前者小很多。

1.2 系統(tǒng)軸承力

圖4 滾動(dòng)軸承示意圖Fig.4 A schematic of the rolling bearing

本文選用深溝球軸承作為電機(jī)轉(zhuǎn)子兩端的支撐，軸承截面如圖4所示。滾動(dòng)軸承在工作過程中，受載荷的滾珠數(shù)量是不斷變化的，故需討論單個(gè)滾珠所提供的支承反力，然后再進(jìn)行疊加。根據(jù)赫茲彈性接觸理論，滾動(dòng)體和內(nèi)外圈滾道之間的接觸變形載荷與接觸變形量的關(guān)系為[7]

(11)

其中δi為第i個(gè)滾動(dòng)體與滾道的接觸彈性變形量，kb為總接觸剛度。設(shè)x,y,α和λ分別為軸承內(nèi)圈中心點(diǎn)在水平方向和垂直方向的位移、滾動(dòng)軸承接觸角和徑向游隙，n為滾動(dòng)體數(shù)目，φi為t時(shí)刻第i個(gè)滾動(dòng)體的角位置，ωc和ω為滾動(dòng)體公轉(zhuǎn)角速度和轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。

假設(shè)滾動(dòng)體與滾道間只作純滾動(dòng)，則

(12)

式中下標(biāo)“+”表示若結(jié)果為非負(fù)值則保留，若為負(fù)值則置零，因?yàn)榇藭r(shí)該滾珠未受擠壓。從而第i個(gè)滾動(dòng)體所產(chǎn)生的回復(fù)力為

(13)

將各滾珠回復(fù)力疊加，即得滾動(dòng)軸承的非線性軸承力為

2 實(shí)例分析

由于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程之間存在復(fù)雜耦合，難以求得解析解，故本文將通過數(shù)值仿真來研究轉(zhuǎn)子振動(dòng)特性。本文所選算例為一臺(tái)額定功率7.5 kW、額定轉(zhuǎn)速1 000 r/min的永磁同步電動(dòng)機(jī)，采用龍格庫塔法求解非線性振動(dòng)微分方程。若無特別說明，均取：m=25 kg，m1=5 kg，J=0.093 4 kg·m2，c=200 N·s/m，c1=100 N·s/m，k=4.5×107N/m，R=82.5 mm，L=105 mm，δ0=3.0 mm，μ0=4×10-7H/m若不考慮偏心磁拉力等的影響，轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)固有頻率約為1 340 rad/s，遠(yuǎn)高于電機(jī)額定轉(zhuǎn)速。

2.1 質(zhì)量及初始位置偏心對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)的影響

由于轉(zhuǎn)軸熱處理工藝以及磁鋼安裝布置精度等原因，轉(zhuǎn)子可能存在質(zhì)量偏心，即轉(zhuǎn)子質(zhì)心和形心不重合，存在一個(gè)偏移量a。圖5為永磁同步電機(jī)在額定負(fù)載下不同質(zhì)量偏心時(shí)轉(zhuǎn)子的軸心軌跡。由圖5 (b)、(c)可見如果質(zhì)量偏心量增大，振動(dòng)幅值增加，而且軸心軌跡逐漸規(guī)則化，這是由于質(zhì)量偏心的增加導(dǎo)致離心力增大，使得離心力在各影響因素中占主導(dǎo)作用，電磁力的影響則明顯減弱。

圖6為當(dāng)電機(jī)存在初始靜偏心時(shí)轉(zhuǎn)子的軸心軌跡。由圖6 (b)、(c)可見，初始靜偏心的存在將使轉(zhuǎn)軸整體朝最小靜偏心方向偏移。一般情況下，轉(zhuǎn)子振幅會(huì)隨靜偏心增大而增大，但在靜偏心角靠近π/2時(shí)，振動(dòng)有所緩和，因?yàn)榇藭r(shí)靜偏心造成的氣隙不均和重力引起的轉(zhuǎn)軸偏移會(huì)相互削弱。類似地，當(dāng)靜偏心角與重力方向接近時(shí)，會(huì)使轉(zhuǎn)子振動(dòng)大幅增加。由式(9)可得各靜偏心情形下Y方向的不平衡磁拉力，見圖7，計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)靜偏心方向與重力方向相反時(shí)，不平衡磁拉力將被削弱。

因此，初始靜偏心對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)有較大影響，尤其是水平放置的電機(jī)，若安裝時(shí)使轉(zhuǎn)軸朝重力方向偏移，將會(huì)大大增加轉(zhuǎn)子的振動(dòng)。

圖5 不同質(zhì)量偏心時(shí)轉(zhuǎn)子軸心軌跡(其中r0=0.1 mm，γ0=π/4) Fig.5 Rotor center locus with different mass eccentricities

圖6 不同靜偏心下轉(zhuǎn)子軸心軌跡Fig.6 Rotor center locus with different static eccentricities

圖7 不同靜偏心下Y方向的不平衡磁拉力 Fig.7 Unbalanced magnet pull on Y direction with different static eccentricities

2.2 負(fù)載變化對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)的影響

前述假定所研究的永磁同步電機(jī)工作在額定狀態(tài)下，即在恒定的額定負(fù)載轉(zhuǎn)矩TN下以額定轉(zhuǎn)速運(yùn)轉(zhuǎn)。然而在許多工程應(yīng)用中，負(fù)載轉(zhuǎn)矩受外界擾動(dòng)將發(fā)生變化，從而將引起電樞電流以及氣隙磁場的變化。下面進(jìn)一步分析兩種不同形式的負(fù)載變化對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響。

考慮到不同應(yīng)用需求以及不同控制策略，本文作以下假設(shè)：當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化時(shí)，電機(jī)通過調(diào)節(jié)其電樞電流以及定轉(zhuǎn)子磁勢夾角，以快速跟蹤轉(zhuǎn)矩變化；在電源電壓和電機(jī)轉(zhuǎn)速基本恒定時(shí)，電樞電流的變化與負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化呈線性關(guān)系。

首先，設(shè)負(fù)載轉(zhuǎn)矩按正弦規(guī)律變化，即T=TNsin2πft，其幅值TN=71 N·m，頻率f=10 Hz，代入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(3)后可解得轉(zhuǎn)子在Y方向的振動(dòng)，見圖8。

圖8 正弦負(fù)載下轉(zhuǎn)子振動(dòng)信號(hào)Fig.8 Vibration of rotor under sine load

由圖8可見，信號(hào)頻率較恒定負(fù)載下豐富，主要的頻率成分有：由轉(zhuǎn)子自身重力和初始位置偏心共同引起的相對(duì)固定的成分(0 Hz)、轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)引起的轉(zhuǎn)速成分(16.7 Hz)、負(fù)載頻率成分(10 Hz)以及2倍負(fù)載頻率成分(20 Hz)。因此，負(fù)載轉(zhuǎn)矩的頻率及其2倍頻可在轉(zhuǎn)子振動(dòng)信號(hào)中體現(xiàn)出來。

圖9 負(fù)載轉(zhuǎn)矩周期方波變化時(shí)轉(zhuǎn)子振動(dòng)圖線Fig.9 Vibration of rotor under periodical square load

進(jìn)而，設(shè)方波負(fù)載幅值為71 N·m，頻率為10 Hz，占空比為0.5。類似前述方法，可得負(fù)載轉(zhuǎn)矩作方波形變化時(shí)的振動(dòng)信號(hào)，見圖9。由圖9可見，此時(shí)轉(zhuǎn)子振動(dòng)情況變得復(fù)雜，多種高頻成分的信號(hào)被激發(fā)出來：除了重力和初始偏心造成的固定偏移成分(0 Hz)、轉(zhuǎn)速頻率成分(16.7 Hz)、負(fù)載頻率成分(10 Hz)，負(fù)載轉(zhuǎn)矩的奇數(shù)倍頻也被激發(fā)出來，而且有多個(gè)高頻成分集中于150 Hz附近。這是因?yàn)椋芷谛苑讲ㄐ盘?hào)可通過傅里葉級(jí)數(shù)分解為不同正弦函數(shù)的和，而這些正弦函數(shù)的頻率恰好分別為基頻的奇數(shù)倍，因而方波型負(fù)載轉(zhuǎn)矩可看作由多種諧波成分組成，在作用到永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子上后，各諧波頻率將被激發(fā)出來。

3 結(jié) 論

本文針對(duì)永磁同步電機(jī)氣隙偏心問題，首先建立了柔性支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，分析了電機(jī)在帶負(fù)載工作時(shí)氣隙磁場分布以及不平衡磁拉力，進(jìn)而通過數(shù)值仿真，詳細(xì)分析了不同偏心情形以及不同負(fù)載類型時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，得到了如下結(jié)論：

(1) 質(zhì)量偏心較小時(shí)，不平衡磁拉力對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)的影響比較顯著，隨著質(zhì)量偏心的增大，轉(zhuǎn)子振幅有所增加，同時(shí)電磁力的影響被弱化；

(2) 初始靜偏心的存在對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)有重要影響。當(dāng)靜偏心方向與重力方向相同或相近時(shí)，轉(zhuǎn)子振動(dòng)將得到加強(qiáng)，而當(dāng)靜偏心與重力方向相反時(shí)，由于二者的作用相互削弱，故轉(zhuǎn)子振動(dòng)有所減弱；

(3) 考慮外部負(fù)載的作用將能更準(zhǔn)確描述電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性，當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩發(fā)生變化時(shí)，其所含諧波成分的頻率將在轉(zhuǎn)子振動(dòng)信號(hào)中體現(xiàn)出來。

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Vibration characteristics analysis of a rotor for a permanent magnet motor with Air-Gap Eccentricity

YUE Er-tuan, GAN Chun-biao, YANG Shi-xi

(Department of Mechanical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)

The vibration characteristics of a rotor system of a permanent magnet synchronous motor with air-gap eccentricity were studied. The dynamic model of the rotor system was built. According to the distribution of magnetic flux density generated by permanent magnet and the armature current under loaded, the unbalanced magnet pull (UMP) was calculated with Maxwell stress tensor method and it was substituted into the dynamic model. Through several illustrating numerical examples, the effects of different eccentricities and loads on the rotor vibration were discussed in detail. The results showed that the mass unbalance weakens the effect of the UMP and aggravates the vibration of the rotor; the magnitude and orientation of initial eccentricity can also change the vibration characteristics of the rotor, and the vibration is weakened when the orientation of initial eccentricity is opposite to that of gravity; as the load torque changes, the corresponding vibration components are excited with the same harmonic frequencies as those of the load.

permanent magnet motor; air-gap eccentricity; unbalanced magnet pull; load torque; vibration characteristics

國家自然科學(xué)基金(11172260,11072213)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20110101110016)

2013-03-13 修改稿收到日期：2013-06-03

岳二團(tuán) 男，碩士生，1986年生

甘春標(biāo) 男，教授，1971年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.006