許 巖 ， 王 波 ， 李 鵬

(1.重慶大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，重慶 400044;2.西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，四川 西昌 615000；3.中國電子科技集團(tuán) 第38研究所，合肥 230051)

基于檢測(cè)系統(tǒng)非線性相關(guān)性的相空間重構(gòu)時(shí)間延遲估計(jì)

許 巖1,2， 王 波1， 李 鵬3

(1.重慶大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，重慶 400044;2.西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，四川 西昌 615000；3.中國電子科技集團(tuán) 第38研究所，合肥 230051)

提出一種確定時(shí)間延遲參數(shù)的新方法，非線性復(fù)自相關(guān)法。采用一個(gè)高次復(fù)自相關(guān)函數(shù)R(τ)檢測(cè)系統(tǒng)的非線性相關(guān)性，通過尋找R(τ)的第一個(gè)局部極小值點(diǎn)來確定最優(yōu)時(shí)間延遲。R(τ)時(shí)間復(fù)雜度低，對(duì)數(shù)據(jù)長度依賴性不強(qiáng)。選取四種典型混沌動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，加入不同噪聲水平的高斯白噪聲，模擬含噪混沌時(shí)間序列，進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。結(jié)果表明，所得結(jié)果更合適，同時(shí)具有優(yōu)秀的抗噪聲能力。

混沌時(shí)間序列；噪聲水平；相空間重構(gòu)；嵌入維數(shù)；時(shí)間延遲

混沌時(shí)間序列分析作為當(dāng)今非線性科學(xué)的重要課題，在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、生物醫(yī)學(xué)以及金融等科學(xué)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。分析實(shí)際測(cè)量得到的時(shí)間序列數(shù)據(jù)混沌特征時(shí)，首先必須對(duì)其進(jìn)行相空間重構(gòu)。目前最為廣泛采用的相空間重構(gòu)方法是基于Takens定理[1]的坐標(biāo)延遲法[2]。坐標(biāo)延遲法是通過確定時(shí)間延遲τ和嵌入維數(shù)m來構(gòu)造相空間。假設(shè)觀察得到的時(shí)間序列為x(i)，i=1,2,3,…,N，則相空間重構(gòu)為X(i)={x(i),x(i+τ),x(i+2τ),……,x[i+(m-1)τ]},i=1,2,…M，其中M=N-(m-1)τ。對(duì)于時(shí)間延遲和嵌入維數(shù)的選取目前有兩種觀點(diǎn)，一種觀點(diǎn)認(rèn)為兩個(gè)參數(shù)無關(guān)，分別獨(dú)立計(jì)算(理論上，對(duì)于無限長的、無噪聲干擾的時(shí)間序列，τ和m是相互獨(dú)立的)，如自相關(guān)法[3]、復(fù)自相關(guān)法[4-5]、互信息法[6]以及平均位移法[7]。另一種觀點(diǎn)認(rèn)為兩個(gè)參數(shù)相關(guān)，通過計(jì)算嵌入窗寬tw=(m-1)τ來確定兩個(gè)參數(shù)，如時(shí)間窗口法[8]和C-C法[9-11]等，多數(shù)研究人員認(rèn)為這種觀點(diǎn)更加適合工程實(shí)踐。近年來，人們?cè)谏鲜鏊惴ǖ幕A(chǔ)上進(jìn)行了廣泛而深入的研究[12-15]，這些研究主要以數(shù)據(jù)充足且無噪聲的混沌時(shí)間序列為對(duì)象，然而實(shí)際測(cè)量得到的時(shí)間序列，一是未必能得到充足的數(shù)據(jù)點(diǎn)，二是不可避免含有噪聲，混雜在混沌動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的噪聲會(huì)掩蓋混沌系統(tǒng)內(nèi)在的動(dòng)力學(xué)特性，這兩點(diǎn)因素都會(huì)影響時(shí)間延遲參數(shù)的計(jì)算。當(dāng)時(shí)間延遲參數(shù)取值不是最佳時(shí)，雖然不會(huì)影響重構(gòu)的吸引子反應(yīng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，但是時(shí)間延遲過大會(huì)使非線性預(yù)測(cè)模型的計(jì)算量加大，同時(shí)，也會(huì)影響到重構(gòu)吸引子的歐幾里得幾何形狀進(jìn)而影響關(guān)聯(lián)維數(shù)d的計(jì)算[16]。

本文分析了幾種利用自相關(guān)性估計(jì)時(shí)間延遲的方法，在此基礎(chǔ)上，提出一種估計(jì)時(shí)間延遲的新方法，非線性復(fù)自相關(guān)法。該方法在幾何意義上構(gòu)造一個(gè)與相空間維數(shù)相同的多項(xiàng)式空間，在此空間中檢測(cè)系統(tǒng)的非線性相關(guān)性來確定最優(yōu)時(shí)間延遲。

1 自相關(guān)法和復(fù)自相關(guān)法

對(duì)于時(shí)間序列x(i)，i=1,2,3,…,N，自相關(guān)法是把J取一個(gè)固定值，而后對(duì)τ從小到大取值，計(jì)算自相關(guān)函數(shù)R(jτ)(見式(1))，當(dāng)R(jτ)下降到初始值的1-e-1時(shí)，所對(duì)應(yīng)的τ即為時(shí)間延遲。

(1)

自相關(guān)法本質(zhì)上是度量時(shí)間序列的線性關(guān)系，不適合非線性問題[17]，同時(shí)難于推廣到高維，Aguirre[18]對(duì)此進(jìn)行改進(jìn)，采用線性相關(guān)函數(shù)Φ1(τ) (見式(2))檢測(cè)系統(tǒng)的線性相關(guān)性，得到時(shí)間延遲τ1；同時(shí)引入一個(gè)非線性相關(guān)函數(shù)Φ2(τ) (見式(3))檢測(cè)系統(tǒng)的非線性相關(guān)性，得到時(shí)間延遲τ2；取τ1和τ2中的最小值作為最優(yōu)時(shí)間延遲，其中，E(·)為數(shù)學(xué)期望。雖然該方法比自相關(guān)法得到的時(shí)間延遲更小，然而與其他算法相比，結(jié)果仍然偏大。

(2)

(3)

復(fù)自相關(guān)法是由自相關(guān)法和平均位移法相結(jié)合推導(dǎo)得出，給定嵌入維數(shù)m，對(duì)時(shí)間延遲τ由小到大取值，計(jì)算復(fù)自相關(guān)函數(shù)Rm(τ) (見式(4))，選取Rm(τ)的第一個(gè)零點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的τ作為時(shí)間延遲。為了適應(yīng)一般系統(tǒng)，采用的是去除時(shí)間序列均值的去偏復(fù)自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)[4](見式(5))。該方法理論性強(qiáng)，繼承了平均位移法的幾何意義，同時(shí)解決了自相關(guān)法不能高維擴(kuò)展的問題。

(4)

(5)

2 復(fù)自相關(guān)法分析

復(fù)自相關(guān)法是對(duì)自相關(guān)法的高維擴(kuò)展，從式(2)和式(5)可以看出，當(dāng)m=2時(shí)，Rx(τ)=Φ1(τ)，該方法仍然是對(duì)線性關(guān)系上的相關(guān)性進(jìn)行度量，不能檢測(cè)到非線性的混沌時(shí)間序列中所有狀態(tài)之間的相關(guān)性。因此，該方法所得到的結(jié)果偏大。另一方面，由于噪聲是相互無關(guān)的，所以該方法對(duì)噪聲不敏感，有很好的抗噪聲能力。

為了驗(yàn)證上述推論的正確性，選取Logistic系統(tǒng)Lorenz系統(tǒng)的x分量數(shù)據(jù)，分別加入不同噪聲水平的高斯白噪聲，模擬含有噪聲的混沌時(shí)間序列。噪聲水平ν定義為

ν=σ[ω(t)]/σ[x(t)]

(6)

上式中ω(t)是均值為0，方差為1的高斯白噪聲，x(t)為純凈的混沌時(shí)間序列，σ(·)為時(shí)間序列的標(biāo)準(zhǔn)差。

2.1Logistic系統(tǒng)

對(duì)Logistic方程

x(n+1)=ux(n)[1-x(n)]

(7)

取u=4，初值取0.6，迭代3 000步，取后面的2 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為純凈的混沌時(shí)間序列，其關(guān)聯(lián)維數(shù)d理論值為0.99[15]，根據(jù)Takens定理m≥2d+1，最佳嵌入維數(shù)m=3。

圖1是Logistic系統(tǒng)去偏復(fù)自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)在不同噪聲水平下的變化關(guān)系，如圖所示，Rx(τ)對(duì)噪聲不敏感。計(jì)算結(jié)果如表1所示，與m=3時(shí)最優(yōu)時(shí)間延遲為1[19]的結(jié)論相比，結(jié)果偏大，相反，該方法的抗噪聲能力很好達(dá)到60%。

圖1 Logistic系統(tǒng)Rx(τ)變化關(guān)系Fig.1 Non-bias multiple autocorrelation function of Logistic

V010%20%40%60%80%τ444442

2.2 Lorenz系統(tǒng)

對(duì)Lorenz方程

(8)

取δ=16，r=45.92，b=4，初值 (1,0,1)，用Runge-Kutta方法求解，步長h=0.005，去除暫態(tài)過程，得到一個(gè)30 000個(gè)點(diǎn)數(shù)的值解，從中取出2 000個(gè)點(diǎn)作為純凈的混沌時(shí)間序列，關(guān)聯(lián)維數(shù)d理論值為2.05[15]，最佳嵌入維數(shù)m=6。

Lorenz系統(tǒng)的去偏復(fù)自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)變化關(guān)系如圖2，Rx(τ)對(duì)噪聲仍然不敏感。

結(jié)果如表2所示，圖3是Lorenz吸引子在x-y平面上的投影圖，圖4是τ=38時(shí)變量x的重構(gòu)吸引子，可以看出，此時(shí)吸引子結(jié)構(gòu)被破壞，時(shí)間延遲取38偏大。

圖2 Lorenz系統(tǒng)Rx(τ)變化關(guān)系Fig．2non?biasmultipleautocorrelationfunctionofLorenz圖3 Lorenz吸引子x-y平面投影圖Fig．3ProjectionofLorenzstrangeattractoronx-yplane圖4 τ=38Lorenz重構(gòu)吸引子Fig．4ReconstructedattractorofLorenzchoosingτ=38

表2 Lorenz系統(tǒng)計(jì)算結(jié)果

從以上結(jié)果可以看出，復(fù)自相關(guān)法的計(jì)算結(jié)果偏大；該方法對(duì)噪聲不敏感，抗噪聲能力很好。這與分析得到的結(jié)論一致。

3 非線性復(fù)自相關(guān)法

復(fù)自相關(guān)法對(duì)混沌系統(tǒng)計(jì)算結(jié)果偏大的根本原因是，該方法采用一個(gè)線性復(fù)自相關(guān)函數(shù)檢測(cè)系統(tǒng)的相關(guān)性，而混沌系統(tǒng)是非線性的。對(duì)此，非線性復(fù)自相關(guān)法采用一個(gè)高次復(fù)自相關(guān)函數(shù)R(τ)檢測(cè)混沌系統(tǒng)的非線性相關(guān)性。

從代數(shù)幾何意義上考慮R(τ)的構(gòu)造，首先復(fù)相關(guān)法可以看成是構(gòu)造一個(gè)2維的多項(xiàng)式空間，這對(duì)于高維的相空間來說，維數(shù)過小，采用該方法計(jì)算的結(jié)果不準(zhǔn)確；對(duì)此，非線性復(fù)自相關(guān)法通過構(gòu)造一個(gè)與重構(gòu)相空間維數(shù)相同的一元n次多項(xiàng)式空間，以準(zhǔn)確計(jì)算混沌系統(tǒng)的相關(guān)性，而一元n次多項(xiàng)式空間在高維空間代數(shù)流形上的維數(shù)為n+1[20]，因此n=m-1。該多項(xiàng)式記為f(x)

f(x)=1+x+x2+…+xm-1

(9)

則R(τ)可表示為

(10)

為了便于計(jì)算，取多項(xiàng)式f(x)的近似值xm，R(τ)的最終表達(dá)式如下：

(11)

采用坐標(biāo)延遲法重構(gòu)相空間，相空間矢量X(i)={x(i),x(i+τ),x(i+2τ),……,x[i+(m-1)τ]}中的任意兩個(gè)坐標(biāo)之間必須是獨(dú)立的。若時(shí)間延遲τ若太小，兩個(gè)分量在數(shù)值上太接近，則無法提供兩個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)分量；但時(shí)間延遲過大，兩坐標(biāo)分量在統(tǒng)計(jì)意義上又是完全獨(dú)立的，重構(gòu)出來的混沌吸引子在這兩個(gè)方向上的投影毫無相關(guān)性，造成吸引子結(jié)構(gòu)被破壞。非線性復(fù)自相關(guān)法選取R(τ)的極小峰值對(duì)應(yīng)的值作為時(shí)間延遲，確保任意兩個(gè)坐標(biāo)之間的獨(dú)立性；取其中的最小值作為最優(yōu)時(shí)間延遲，確保吸引子結(jié)構(gòu)不被破壞。

非線性復(fù)自相關(guān)法的具體計(jì)算過程如下。對(duì)給定的嵌入維數(shù)m，將時(shí)間延遲τ由小到大取值，計(jì)算非線性復(fù)自相關(guān)函數(shù)R(τ)，選取R(τ)的第一個(gè)局部極小值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值τ作為最優(yōu)時(shí)間延遲。

R(τ)易于計(jì)算，對(duì)數(shù)據(jù)量要求不大，對(duì)噪聲不敏感，可以檢測(cè)到Rx(τ)檢測(cè)不到的時(shí)間序列中的變化，能夠準(zhǔn)確檢測(cè)到混沌系統(tǒng)的非線性相關(guān)性，所以得到的時(shí)間延遲更加合適。

4 實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)選取Logistic系統(tǒng)、Hennon系統(tǒng)、Lorenz系統(tǒng)和Rossler系統(tǒng)的x分量作為純凈的混沌時(shí)間序列，分別加入不同噪聲水平的高斯白噪聲，模擬含有噪聲的混沌時(shí)間序列。為了與復(fù)自相關(guān)法進(jìn)行對(duì)比，利用Logistic系統(tǒng)和Lorenz系統(tǒng)模擬的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，分別沿用第二節(jié)中的原數(shù)據(jù)。同時(shí)選用互信息法和C-C法與新方法進(jìn)行比較。

4.1 Logistic系統(tǒng)

仍然取嵌入維數(shù)m=3，計(jì)算Logistic系統(tǒng)的時(shí)間延遲，R(τ)在不同噪聲水平下的變化關(guān)系如圖5所示，R(τ)對(duì)噪聲不敏感，對(duì)照?qǐng)D1可以看出，相比Rx(τ)，R(τ)對(duì)噪聲的敏感度有所增加。表3是三種方法對(duì)不同噪聲水平下Logistic系統(tǒng)的時(shí)間延遲計(jì)算結(jié)果，從表中可以出，新方法的計(jì)算結(jié)果與m=3時(shí)最優(yōu)時(shí)間延遲為1[19]的結(jié)論一致，與復(fù)自相關(guān)法相比，其抗噪聲能力也更好，在噪聲水平達(dá)到80%時(shí)，結(jié)果仍然穩(wěn)定；而互信息法和C-C法的結(jié)果也偏大。

圖5 Logistic系統(tǒng)R(τ)變化關(guān)系Fig.5 Nonlinear multiple autocorrelation function of Logistic

V010%20%40%60%80%非線性復(fù)自相關(guān)法111111互信息法875533C-C法444322

4.2 Hennon系統(tǒng)

對(duì)Hennon方程

(12)

取a=1.4，b=0.3，初值(0.4,0.4)，迭代10 000步，取后面的2 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為純凈的混沌時(shí)間序列，關(guān)聯(lián)維數(shù)d理論值為1.25[15]，取嵌入維數(shù)m=5。

圖6是Hennon系統(tǒng)R(τ)在不同噪聲水平下的變化關(guān)系，從圖中可以看出，R(τ)對(duì)噪聲不敏感。

圖6 Hennon系統(tǒng)R(τ)變化關(guān)系Fig.6 Nonlinear multiple autocorrelation function of Hennon

表4是三種方法對(duì)不同噪聲水平下Hennon系統(tǒng)的時(shí)間延遲計(jì)算結(jié)果。圖7是Hennon吸引子在x-y平面上的投影圖，圖8是τ=1時(shí)變量x的重構(gòu)吸引子，圖9是τ=2時(shí)變量x的重構(gòu)吸引子，顯然τ=2偏大，τ取1為最佳時(shí)間延遲。同Logistic時(shí)一樣，互信息法和C-C法的結(jié)果偏大。

表4 Hennon系統(tǒng)計(jì)算結(jié)果

圖7 Hennon吸引子x-y平面投影圖Fig．7ProjectionofHennonstrangeattractoronx-yplane圖8 τ=1Hennon重構(gòu)吸引子Fig．8ReconstructedattractorofHennonchoosingτ=1圖9 τ=2Hennon重構(gòu)吸引子Fig．9ReconstructedattractorofHennonchoosingτ=2

4.3 Lorenz系統(tǒng)

仍然取嵌入維數(shù)m=6計(jì)算Lorenz系統(tǒng)的時(shí)間延遲，圖10和圖11是R(τ)在不同噪聲水平下的變化關(guān)系(由于不同噪聲水平下R(τ)的數(shù)量級(jí)相差過大，放在一張圖中無法展示部分曲線變化趨勢(shì)，因此這里選用兩張圖)，R(τ)對(duì)噪聲不敏感，對(duì)照?qǐng)D3可以看出，相比Rx(τ)，R(τ)對(duì)噪聲更敏感。

圖10 Lorenz系統(tǒng)R(τ)變化關(guān)系Fig.10 Nonlinear multiple autocorrelation function of Lorenz

圖11 Lorenz系統(tǒng)R(τ)變化關(guān)系Fig.11 Nonlinear multiple autocorrelation function of Lorenz

三種方法對(duì)不同噪聲水平下Lorenz系統(tǒng)的時(shí)間延遲計(jì)算結(jié)果如表5所示，圖12是τ=7時(shí)x變量的重構(gòu)吸引子，圖13是τ=10時(shí)x變量的重構(gòu)吸引子。對(duì)照?qǐng)D3可以看出，雖然時(shí)間延遲取7和10都為有效的時(shí)間延遲，不過時(shí)間延遲為7時(shí)的重構(gòu)吸引子與原吸引子在形狀上更加接近。因此，時(shí)間延遲取7更合適。

表5 Lorenz系統(tǒng)計(jì)算結(jié)果

圖12 τ=7 Lorenz重構(gòu)吸引子Fig.12 Reconstructed attractor of Lorenz choosing τ=7

圖13 τ=10 Lorenz重構(gòu)吸引子Fig.13 reconstructed attractor of Lorenz choosing τ=10

4.4 Rossler系統(tǒng)

對(duì)Rossler方程

(13)

取a=16，b=2，c=45，初值 (0,0,0)，用Runge-Kutta方法求解，去除暫態(tài)過程，從中取出2 000個(gè)點(diǎn)作為純凈的混沌時(shí)間序列。

關(guān)聯(lián)維數(shù)d理論值為2.01[15]，取嵌入維數(shù)m=6計(jì)算Rossler系統(tǒng)的時(shí)間延遲，圖14是R(τ)在不同噪聲水平下的變化關(guān)系，和前幾個(gè)系統(tǒng)一樣，R(τ)對(duì)噪聲不敏感。

圖14 Rossler系統(tǒng)R(τ)變化關(guān)系Fig.14 Nonlinear multiple autocorrelation function of Rossler

三種方法對(duì)不同噪聲水平下Rossler系統(tǒng)的時(shí)間延遲計(jì)算結(jié)果如表6所示，圖15是Rossler吸引子在x-y平面上的投影圖，圖16是τ=11時(shí)變量x的重構(gòu)吸引子，圖17是τ=15時(shí)變量x的重構(gòu)吸引子，可以看出時(shí)間延遲取11更合適。

表6 Rossler系統(tǒng)計(jì)算結(jié)果

4.5 小數(shù)據(jù)計(jì)算

取以上四種混沌時(shí)間序列中 (1 901,2 000)區(qū)間的數(shù)據(jù)，嵌入維數(shù)取值同上，采用新方法計(jì)算各混沌系統(tǒng)的時(shí)間延遲，結(jié)果如表7所示，與采用2 000數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)的結(jié)果相比，Logistic和Hennon的計(jì)算結(jié)果與之前相同； Lorenz和Rosser的計(jì)算結(jié)果在噪聲水平小于40%時(shí)與之前相同，大于40%時(shí)存在一定的偏差。

圖15 Rossler吸引子x-y平面投影圖Fig．15ProjectionofRosslerstrangeattractoronx-yplane圖16 τ=11Rossler重構(gòu)吸引子Fig．16ReconstructedattractorofRosslerchoosingτ=11圖17 τ=15Rossler重構(gòu)吸引子Fig．17ReconstructedattractorofRosslerchoosingτ=15

表7 100數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)算結(jié)果

5 結(jié) 論

本文提出的非線性復(fù)自相關(guān)法，通過計(jì)算系統(tǒng)的非線性相關(guān)性來確定最優(yōu)時(shí)間延遲。從對(duì)四種典型混沌動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果可以看出，與復(fù)自相關(guān)法、互信息法和C-C法相比，新方法計(jì)算出的時(shí)間延遲更加合適，同時(shí)，在數(shù)據(jù)量小時(shí)的求解結(jié)果仍然可靠。該算法所用到的非線性自相關(guān)函數(shù)R(τ)對(duì)噪聲不敏感，因此該方法的抗噪聲能力也很好。

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Time-delay estimation for phase space reconstruction based on detecting nonlinear correlation of a system

XU Yan1,2, WANG Bo1, LI Peng3

(1. College of Computer Science, Chongqing University, Chongqing 400044, China;2. Xichang Satellite Launch Center, Xichang 615000, China;3. The 38thResearch Institute, China Electronic Technology Group Corporation, Hefei 230051, China)

A new method to determine time-delay was proposed, it was called nonlinear multi-autocorrelation function method. With this method a high order multi-autocorrelation functionR(τ) was used to calculate the nonlinear correlation of a system and estimate the optimal time delay by finding the first local minimum value ofR(τ). The time complexity ofR(τ) was low and its dependence on the length of data was not strong. The method was validated with four noisy chaotic time series. The time series were generated using four chaotic maps inputting Gaussian white noise with different levels. The numerical results showed that the proposed method is more appropriate with a good anti-noise ability.

chaotic time series; noise level; phase space reconstruction; embedded dimension; time delay

2013-01-10 修改稿收到日期：2013-06-04

許巖 男，碩士生，1982年生

TN751

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.002