陶紅玉，周炳海

（同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804）

0 引言

隨著社會(huì)的發(fā)展，能源危機(jī)及其引起的環(huán)境危機(jī)日益加劇。風(fēng)能是一種儲(chǔ)量豐富、清潔、開(kāi)發(fā)成本低的可再生能源，近年來(lái)，風(fēng)力發(fā)電在全球范圍內(nèi)受到廣泛關(guān)注［1］。

風(fēng)力發(fā)電最主要的設(shè)備就是風(fēng)力機(jī)，它主要由葉片、增速齒輪箱、發(fā)電機(jī)、軸承等多個(gè)部件組成，由于受環(huán)境等因素影響，風(fēng)力機(jī)各部件除了隨服役時(shí)間正常退化外還受到隨機(jī)沖擊的影響。為保證風(fēng)力機(jī)系統(tǒng)的安全性、可靠性和穩(wěn)定運(yùn)行，許多學(xué)者針對(duì)風(fēng)力機(jī)維護(hù)問(wèn)題進(jìn)行了研究［2－3］。該類研究只關(guān)注風(fēng)力機(jī)系統(tǒng)中的某個(gè)部件，很少有學(xué)者針對(duì)風(fēng)力機(jī)系統(tǒng)建立多部件維護(hù)模型。Laggoune等［4］針對(duì)隨機(jī)失效的多設(shè)備系統(tǒng)建立了預(yù)防維護(hù)模型。王靈芝等［5］建立了多部件成組預(yù)防性維修的經(jīng)濟(jì)型優(yōu)化模型。蘇春和周小荃［6］以風(fēng)力機(jī)為對(duì)象，考慮風(fēng)力機(jī)各部件之間的經(jīng)濟(jì)相關(guān)性，建立了基于有效役齡的多部件維修優(yōu)化模型。該類多部件維護(hù)模型很少關(guān)注系統(tǒng)各部件的失效機(jī)理，并不適用于受環(huán)境和工況等因素影響而不確定退化的風(fēng)力機(jī)多部件系統(tǒng)。許多學(xué)者運(yùn)用隨機(jī)過(guò)程理論對(duì)不確定退化系統(tǒng)的退化過(guò)程進(jìn)行建模。Hameed［7］首次用Gamma過(guò)程對(duì)隨機(jī)退化過(guò)程進(jìn)行建模后，Gamma過(guò)程被廣泛用于描述不同系統(tǒng)的退化過(guò)程［8－9］，也有一些學(xué)者將退化過(guò)程看作隨機(jī)沖擊過(guò)程［10－12］，建立了 Poisson沖擊退化模型。許多學(xué)者進(jìn)一步提出了帶有兩種退化路徑的退化模型［13－15］，但該類模型都建立在各退化過(guò)程相互獨(dú)立的假設(shè)上。

從文獻(xiàn)分析可知，對(duì)隨機(jī)退化系統(tǒng)的維護(hù)建模大都是基于單一退化過(guò)程或兩個(gè)獨(dú)立退化過(guò)程的單元件系統(tǒng)狀態(tài)維護(hù)模型。為了有效解決隨機(jī)退化的多部件系統(tǒng)維護(hù)建模，本文采用非定態(tài)Gamma過(guò)程和非齊次Poisson過(guò)程，對(duì)具有正常退化和隨機(jī)沖擊退化兩種退化路徑的多部件風(fēng)力機(jī)系統(tǒng)各部件的退化過(guò)程進(jìn)行建模，并引入退化影響因子和沖擊影響因子，對(duì)正常退化和隨機(jī)沖擊過(guò)程之間的相互影響進(jìn)行描述，進(jìn)一步考慮維護(hù)準(zhǔn)備時(shí)間和維護(hù)時(shí)間，構(gòu)建了帶有自報(bào)警失效和潛在失效［11］的多部件系統(tǒng)狀態(tài)維護(hù)模型。

1 問(wèn)題描述及退化建模

1．1 問(wèn)題描述及假設(shè)

本文針對(duì)具有隨服役時(shí)間正常退化和由工作環(huán)境引起的隨機(jī)沖擊退化兩種退化路徑的風(fēng)力機(jī)多部件系統(tǒng)，進(jìn)行退化建模和維護(hù)建模分析。為有效描述所建模型，作如下一般性假設(shè)：①周期性地對(duì)風(fēng)力機(jī)系統(tǒng)的各部件狀態(tài)進(jìn)行檢測(cè)，每次檢測(cè)都是瞬時(shí)的，無(wú)故障引入，各部件的退化信息完全可以通過(guò)檢測(cè)得到；②風(fēng)力機(jī)系統(tǒng)的各部件不可修，達(dá)到一定的維護(hù)閾值后進(jìn)行相應(yīng)的替換。

1．2 退化建模

根據(jù)文獻(xiàn)［11－12］的描述，本文采用非定態(tài)Gamma過(guò)程（non－stationary Gamma process）對(duì)風(fēng)力機(jī)系統(tǒng)各部件正常退化過(guò)程進(jìn)行建模，用di（t）表示t時(shí)刻部件i的正常退化量，則其概率密度函數(shù)為

部件i的退化量增量 Δdi（t）＝di（t＋Δt）－di（t）也服從Gamma分布，其概率密度函數(shù)為

受環(huán)境及工況的影響，各部件的退化量與時(shí)間呈非線性關(guān)系，非定態(tài)Gamma過(guò)程的形狀參數(shù)為冪指函數(shù)

由于部件受隨機(jī)沖擊的影響，不僅會(huì)造成部件的累計(jì)損傷增加，還會(huì)加速部件的正常退化，則部件i在t時(shí)刻受到第j次沖擊后Gamma分布的形狀參數(shù)為

式中：αji（t）′表示部件i在t時(shí)刻受到第j次沖擊前Gamma分布的形狀參數(shù)，α0i（t）＝αi；η為沖擊影響因子，且有η≥1，當(dāng)η＝1時(shí)，正常退化過(guò)程不受隨機(jī)沖擊過(guò)程的影響。假設(shè)在［0，t］內(nèi)部件i的正常退化量為Di（t），用（Ga（n）t）t≥0表示參數(shù)為（αni（t），βi）的 Gamma過(guò)程，若［t1，t2］內(nèi)發(fā)生 N（t）＝n次隨機(jī)沖擊，則有

系統(tǒng)不僅受正常退化的影響，還受隨機(jī)沖擊的影響。根據(jù)文獻(xiàn) ［13－15］的描述，本文采用非齊次泊松過(guò)程（non－h(huán)omogeneous poisson process）對(duì)風(fēng)力機(jī)多部件系統(tǒng)的隨機(jī)沖擊過(guò)程進(jìn)行建模。假設(shè)部件i受到的沖擊過(guò)程為一均值λi（t）的非齊次Poisson過(guò)程。用wji（t）表示部件i在t時(shí)刻受到第j次沖擊時(shí)產(chǎn)生的沖擊損傷量，假設(shè)wji（t）服從均值為ui（t）的指數(shù)分布，隨機(jī)沖擊發(fā)生的時(shí)間序列為Si，部件i的第j次沖擊到達(dá)的時(shí)刻為Sji，S0i＝0，Ni＝｛Ni（t），t≥0｝為部件i的一個(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程。則［0，t］內(nèi)部件i受到j(luò)次沖擊的概率為

考慮到系統(tǒng)服役時(shí)間越長(zhǎng)，退化程度越嚴(yán)重，越容易受到隨機(jī)沖擊的影響，非齊次Poisson過(guò)程的強(qiáng)度參數(shù)與時(shí)間呈非線性關(guān)系，則有

同理可得部件i在［t1，t2］內(nèi)受到n次沖擊的概率為

隨著服役時(shí)間的增加，退化和沖擊損傷量的累計(jì)不僅使部件更容易受到?jīng)_擊影響，還會(huì)增大每次沖擊產(chǎn)生的沖擊損傷。本文采用冪律函數(shù)來(lái)表示沖擊損傷量與時(shí)間之間的非線性關(guān)系：

式中：Xji（t）′表示t時(shí)刻部件i受到第j次沖擊前的總退化量；υi表示退化水平對(duì)沖擊損傷量的影響因子，當(dāng)υi＝1時(shí)，沖擊損傷不受部件退化水平的影響。用Wi（t）表示t時(shí)刻部件i由沖擊造成的總損傷，則有

假設(shè)Gjii（x）為wji（t）的j重卷積，則有

因?yàn)?wji（t）～Exp（ui（t））且 uji（t）＝θi［Xji（t）′］υi－1，可得

T時(shí)刻部件i的總退化量為Xi（t），由式（5）和式（11）可得

當(dāng)t＝0時(shí)有 Xi（0）＝0。進(jìn)一步由式（5）、式（6）、式（9）、式（11）～式（14）可得

式 中 ＊ 表 示 分 布 的 卷 積， 且 φin＝Ni（t）θi∑ ［X（Sin）′］ui－1。若部件i允許的最大退化 量 為j＝0 Hi，則部件i在t時(shí)刻的可靠度為

將式（15）代入式（16）可得

2 狀態(tài)維護(hù)建模

根據(jù)所建風(fēng)力機(jī)系統(tǒng)各部件的退化模型，可以分析不同時(shí)刻風(fēng)力機(jī)系統(tǒng)各部件的失效情況，在此基礎(chǔ)上結(jié)合機(jī)會(huì)維護(hù)策略，應(yīng)用更新定理，建立多部件系統(tǒng)狀態(tài)維護(hù)模型。假設(shè)系統(tǒng)失效閾值和維護(hù)閾值是已知的，周期性地對(duì)風(fēng)力機(jī)系統(tǒng)的各部件退化水平進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)間隔時(shí)間為δ，當(dāng)系統(tǒng)中某部件的退化水平達(dá)到規(guī)定的維護(hù)閾值或失效時(shí)下達(dá)相應(yīng)的維護(hù)指令。維護(hù)指令下達(dá)后經(jīng)過(guò)時(shí)間τ維護(hù)到達(dá)，此時(shí)根據(jù)系統(tǒng)各部件的退化狀態(tài)執(zhí)行相應(yīng)的維護(hù)工作。如果實(shí)際的維護(hù)工作與下達(dá)的維護(hù)指令不一致，則產(chǎn)生一定的懲罰成本。每次維護(hù)需要時(shí)間ρ。各部件的失效分為潛在失效（latent failures）和自報(bào)警失效（self－announced failures）［11］兩種方式。潛在失效只能通過(guò)檢測(cè)來(lái)識(shí)別，自報(bào)警失效可立即識(shí)別，且系統(tǒng)內(nèi)一旦有部件發(fā)生自報(bào)警失效，系統(tǒng)就立即停機(jī)。部件發(fā)生潛在失效時(shí)可以繼續(xù)工作直至被檢測(cè)或發(fā)生自報(bào)警失效。在該維護(hù)策略下，進(jìn)一步分析t時(shí)刻系統(tǒng)各部件的維護(hù)情況。

2．1 維護(hù)策略分析

根據(jù)假設(shè)，系統(tǒng)各部件不可修，預(yù)防維護(hù)、修復(fù)性維護(hù)以及各故障維護(hù)均使各部件狀態(tài)恢復(fù)如新，

j＝1

N（t）每次維護(hù)記為一個(gè)維護(hù)周期。同時(shí)假設(shè)：Xmaxi（t）表示t時(shí)刻系統(tǒng)中總退化量最大的部件maxi的總退化量，t時(shí)刻對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行的維護(hù)即為部件maxi的維護(hù)方式；dpm，dlf，dsf和dom分別表示預(yù)防維護(hù)閾值、潛在失效閾值、自報(bào)警故障閾值和機(jī)會(huì)維護(hù)閾值；PM表示預(yù)防維護(hù)；OM 表示機(jī)會(huì)維護(hù)；LF表示潛在故障維護(hù)；SF表示自報(bào)警故障維護(hù)；P表示維護(hù)指令；L表示實(shí)際維護(hù)方式。則可建立如下維護(hù)模型。

（1）當(dāng)t＝nδ且Xmaxi（nδ）＜dpm時(shí)，即在t時(shí)刻，風(fēng)力機(jī)系統(tǒng)各部件的退化水平均未達(dá)到預(yù)防維護(hù)閾值，此時(shí)系統(tǒng)正常運(yùn)行。

（2）當(dāng)t＝nδ且dpm≤Xmaxi（nδ）＜dlf時(shí)，有即在t時(shí)刻，系統(tǒng)中部件i的退化水平達(dá)到其預(yù)防維護(hù)閾值，系統(tǒng)需要停機(jī)進(jìn)行預(yù)防維護(hù)，此時(shí)下達(dá)預(yù)防維護(hù)指令，系統(tǒng)繼續(xù)運(yùn)行時(shí)間τ后維護(hù)到達(dá)，此時(shí)根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際退化情況進(jìn)行相應(yīng)的維護(hù)，則實(shí)際的維護(hù)情況有如圖1所示的三種情況。

1）當(dāng)t＝nδ＋τ時(shí)，若dpm≤Xmaxi（nδ＋τ）＜dlf，則L＝PM，即實(shí)際對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)防維護(hù)，其概率為

對(duì)部件j（j≠maxi）進(jìn)行機(jī)會(huì)維護(hù)的概率為

2）當(dāng)t＝nδ＋τ時(shí)，若dlf≤Xmaxi（nδ＋τ）＜dsf，則L＝LF，即實(shí)際對(duì)系統(tǒng)潛在失效維護(hù)，其概率為

對(duì)部件j（j≠maxi）進(jìn)行機(jī)會(huì)維護(hù)的概率為

3）當(dāng)t∈ （nδ，nδ＋τ］τ′≤τ時(shí)，若Xmaxi（nδ＋τ′）≥dsf，則L＝SF，實(shí)際對(duì)系統(tǒng)自報(bào)警失效維護(hù)的概率為

對(duì)部件j（j≠maxi）進(jìn)行機(jī)會(huì)維護(hù)的概率為

（3）當(dāng)t＝nδ且dlf≤Xmaxi（nδ）＜dsf時(shí)，則有

系統(tǒng)中有部件潛在失效，此時(shí)下達(dá)潛在失效維護(hù)指令，系統(tǒng)停機(jī)等待維護(hù)，則有L＝LF。

對(duì)部件j（j≠maxi）進(jìn)行機(jī)會(huì)維護(hù)的概率為

（4）當(dāng)t＝nδ＋h，h≤δ且Xmaxi（nδ＋h）≥dsf時(shí)，有

在檢測(cè)間隔期內(nèi)，系統(tǒng)中有部件發(fā)生自報(bào)警失效，此時(shí)系統(tǒng)停機(jī)等待維護(hù)到達(dá)，對(duì)部件j（j≠maxi）進(jìn)行機(jī)會(huì)維護(hù)的概率為

2．2 成本分析

根據(jù)本文所建狀態(tài)維護(hù)模型及2．1節(jié)對(duì)t時(shí)刻各部件維護(hù)情況的分析，應(yīng)用更新定理進(jìn)一步分析風(fēng)力機(jī)的系統(tǒng)維護(hù)成本。每次維護(hù)結(jié)束記為一個(gè)維護(hù)周期，cIn為每次檢測(cè)的檢測(cè)成本，cpm為每次預(yù)防維護(hù)的成本，com為每個(gè)部件機(jī)會(huì)維護(hù)的成本，考慮到機(jī)會(huì)維護(hù)對(duì)成本的結(jié)余，設(shè)定com＜cpm，clf為每次的潛在失效維護(hù)成本，csf為自報(bào)警失效維護(hù)成本，cτ為單位停機(jī)成本，ck為懲罰成本。由于預(yù)防維護(hù)和潛在失效只能通過(guò)檢測(cè)識(shí)別，在檢測(cè)結(jié)束后下達(dá)的維護(hù)指令可能是預(yù)防維護(hù)和潛在失效維護(hù)。因此當(dāng)t＝nδ且P＝PM 時(shí)，根據(jù)式（18）～式（24）系統(tǒng)可能發(fā)生的成本為

（1）當(dāng)L＝PM 時(shí)，有

（2）當(dāng)L＝LF時(shí)，有

（3）當(dāng)L＝SF時(shí)，有

則在系統(tǒng)下達(dá)預(yù)防維護(hù)指令后發(fā)生的總成本為

當(dāng)t＝nδ且P＝LF 時(shí)，根據(jù)式（25）和式（26），系統(tǒng)可能發(fā)生的成本為

當(dāng)t＝nδ＋h且P＝SF 時(shí)，根據(jù)式（27）和式（28），系統(tǒng)可能發(fā)生的成本為

本文考慮了維護(hù)準(zhǔn)備時(shí)間和維護(hù)時(shí)間，在不同的維護(hù)情況下，維護(hù)的停機(jī)時(shí)間不同，因此更新周期的期望為

化簡(jiǎn)得到

單位時(shí)間的成本為

3 實(shí)例分析

本文以風(fēng)力機(jī)多部件系統(tǒng)為實(shí)驗(yàn)對(duì)象。為簡(jiǎn)化計(jì)算，設(shè)定風(fēng)力機(jī)各部件的正常退化過(guò)程和隨機(jī)沖擊過(guò)程的初始參數(shù)均一致，即η＝1．2，α＝0．5，γ＝1．2，＝0．6，θ＝1．5，ν＝1．2，且各部件失效閾值相同，各參數(shù)描述如下：風(fēng)力機(jī)各部件的最大累計(jì)退化量df＝50，潛在失效閾值drp＝42，預(yù)防維護(hù)閾值dpm＝35，機(jī)會(huì)維護(hù)閾值dom＝30。各部件自報(bào)警失效維護(hù)成本cf＝20，潛在失效維護(hù)成本crp＝10，預(yù)防維護(hù)成本cpm＝8，機(jī)會(huì)維護(hù)成本com＝5，每次檢測(cè)的成本cIn＝0．2，懲罰成本ck＝5，單位停機(jī)成本為cτ＝0．1，維護(hù)準(zhǔn)備時(shí)間τ＝12，維護(hù)時(shí)間p＝18，部件數(shù)n＝3。經(jīng)過(guò)Monte－Carlo仿真，可以得到正常退化和隨機(jī)沖擊兩退化路徑相互影響和相互獨(dú)立時(shí)的總成本隨檢測(cè)間隔時(shí)間變化的曲線，如圖2所示。

由圖2可知，隨著系統(tǒng)不斷退化，各部件抵御外界干擾的能力不斷下降，受退化程度及隨機(jī)沖擊的影響，部件退化速率逐漸增大，導(dǎo)致系統(tǒng)維護(hù)頻率增加，故正常退化過(guò)程和隨機(jī)沖擊相互影響下的總期望成本明顯高于兩者相互獨(dú)立時(shí)的總期望成本。正常退化過(guò)程與隨機(jī)沖擊過(guò)程相互獨(dú)立的情況下，總期望成本在檢測(cè)間隔時(shí)間δ＝30時(shí)取得最優(yōu)值，而正常退化過(guò)程和隨機(jī)沖擊過(guò)程相互影響時(shí)，由于受到退化影響因子以及沖擊影響因子的影響，在不同的檢測(cè)間隔時(shí)間下，總期望成本同時(shí)達(dá)到最小值，這在實(shí)際應(yīng)用中有著重要的意義。

對(duì)部件1隨時(shí)間的退化情況進(jìn)行分析，取δ＝15和δ＝30，可以得到如圖3和圖4所示的曲線。

由圖3和圖4可知：考慮正常退化與隨機(jī)沖擊之間的相互影響時(shí)，系統(tǒng)維護(hù)次數(shù)和自報(bào)警失效次數(shù)比不考慮二者之間相互影響時(shí)多，并且部件退化速率也較大。在實(shí)際應(yīng)用中，如果忽略系統(tǒng)各部件正常退化和隨機(jī)沖擊之間的相互影響，則勢(shì)必會(huì)低估系統(tǒng)實(shí)際退化水平，進(jìn)而導(dǎo)致對(duì)系統(tǒng)維護(hù)不足，最終引發(fā)安全事故。當(dāng)δ＝30時(shí)，部件1自報(bào)警失效次數(shù)明顯多于δ＝15時(shí)的自報(bào)警失效次數(shù)。這啟示我們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中應(yīng)合理選擇檢測(cè)間隔時(shí)間，以滿足系統(tǒng)對(duì)安全性的要求。分析不同影響因子下的總期望成本，可得圖5所示曲線。取δ＝15，可得部件1的退化路徑，如圖6所示。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文引入退化影響因子和沖擊影響因子概念，對(duì)帶有兩種退化路徑的風(fēng)力機(jī)多部件系統(tǒng)的正常退化和隨機(jī)沖擊過(guò)程之間的相互影響進(jìn)行了分析，在考慮維護(hù)準(zhǔn)備時(shí)間和維護(hù)時(shí)間的同時(shí)，結(jié)合潛在失效和自報(bào)警失效兩種失效模式，建立了風(fēng)力機(jī)多部件系統(tǒng)狀態(tài)維護(hù)模型。通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析可知，針對(duì)系統(tǒng)所處的不同環(huán)境，合理選擇影響因子，對(duì)減少由于對(duì)系統(tǒng)退化程度的低估造成維護(hù)不足時(shí)而引發(fā)的安全事故、保障系統(tǒng)安全運(yùn)行具有重要意義。本文所建正常退化和隨機(jī)沖擊過(guò)程相互影響的退化模型及多部件狀態(tài)維護(hù)模型，為具有正常退化和隨機(jī)沖擊退化兩種退化路徑的多部件系統(tǒng)維護(hù)決策問(wèn)題提供了更有效的解決方法。接下來(lái)的工作可以進(jìn)一步考慮環(huán)境變化對(duì)退化過(guò)程的影響，針對(duì)具有多階段隨機(jī)退化特點(diǎn)的系統(tǒng)建立隨機(jī)退化過(guò)程模型，并在此基礎(chǔ)上制定狀態(tài)維護(hù)策略。

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