王偉鑫，王 旭，葛顯龍

（1．重慶大學(xué) 機械工程學(xué)院，重慶 400030；2．重慶交通大學(xué) 管理學(xué)院，重慶 400074）

0 引言

任務(wù)可拆分的多模式多項目調(diào)度問題是針對項目的相關(guān)活動、項目的多種執(zhí)行模式，考慮項目調(diào)度的整體效用最大化，研究子項目、活動之間的高效調(diào)度和資源的有效利用問題，以達到工期最小化［1］、成本最小化［2］、資源平衡［3］、時間—成本均衡［4］以及現(xiàn)金流均衡［5］等目標。多模式資源受限項目調(diào)度問題是著名的NP問題，具有復(fù)雜性和動態(tài)性的特征。因此，本文打破了傳統(tǒng)的項目調(diào)度執(zhí)行模式（即每個活動一旦開始就不能中途停止，要一直執(zhí)行到活動結(jié)束），提出采用非搶占式的操作模式，任務(wù)優(yōu)先級較高的任務(wù)可以搶占優(yōu)先級較低任務(wù)的資源，并允許任務(wù)在任何時候被搶占資源且重新開始，沒有任何額外成本。力求在任務(wù)可拆分的模式下，提高多模式多項目調(diào)度的資源利用率，改善工期并降低項目成本。

彭武良［6］在考慮資源約束、活動多模式和活動模式工期不確定的情況下，建立了多模式關(guān)鍵鏈項目調(diào)度模型并對模型進行求解；Parviz［7］研究了多模式的項目調(diào)度問題并建立了多模式資源受限的離散時間—成本—資源優(yōu)化模型；吳兵［8］分析了柔性資源受限的多模式項目調(diào)度問題并建立了混合整數(shù)規(guī)劃模型；Stefan［9］提出采用項目調(diào)度的方法分析車間工作流的多模式生產(chǎn)調(diào)度問題；Jarboui［10］采用粒子群優(yōu)化算法求解多模式資源受限項目調(diào)度問題；Vincent［11］分析了項目調(diào)度執(zhí)行過程中存在多種執(zhí)行模式對項目整體的影響。對于多模式項目調(diào)度問題，每種模式代表一組資源需求量和相應(yīng)的工期，不同的資源組合對應(yīng)不同的任務(wù)工期，從而在現(xiàn)有條件下獲得更高效的調(diào)度方案。

Tyson［12］研究了任務(wù)可拆分的項目調(diào)度問題，認為任務(wù)分解有利于充分利用資源并優(yōu)化調(diào)度方案；Buddhakulsomsiri［13］研究了任務(wù)可拆分調(diào)度模式對項目工期的影響，發(fā)現(xiàn)在資源受限條件下，任務(wù)拆分對縮短項目工期有良好的效果；Debels［14］提出雙種群遺傳算法（Double－Population Genetic Algorithm，DPGA）以解決搶占式執(zhí)行模式的資源受限項目調(diào)度問題；Buddhakulsomsiri［15］研究發(fā)現(xiàn)，在存在資源閑置和臨時資源不可用的情況下，非搶占式調(diào)度模式能有效縮短項目工期?？梢?，非搶占式操作模式能有效縮短項目工期，提高資源利用率。

基于上述分析，為了提高資源利用率并使多項目調(diào)度的整體效用最大化，本文提出了任務(wù)可拆分的多模式多項目調(diào)度問題。構(gòu)建并剖析了以工期—成本—質(zhì)量—資源均衡為優(yōu)化目標的任務(wù)可拆分的多模式多項目調(diào)度模型，利用正態(tài)云模型中云滴的隨機性與穩(wěn)定性的特征，改進遺傳算法中交叉算子與變異算子的設(shè)置方式。最后，通過算例驗證了模型和算法的有效性。

1 基于多屬性效用函數(shù)的多項目調(diào)度模型

在工程領(lǐng)域，多項目調(diào)度的目標集中在工期、成本、質(zhì)量和資源均衡等方面。但工期、成本、質(zhì)量和資源均衡四個屬性不具備同類可比性，針對該問題，采用多屬性效用函數(shù)法建立此研究的問題模型。

1．1 效用函數(shù)相關(guān)定義

多屬性效用函數(shù)利用試驗心理學(xué)原理，將具有不同量綱的目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為單一的目標函數(shù)。把多項目調(diào)度的策略映射為不同的效用值，從而找到使多項目整體效用最大化的任務(wù)調(diào)度方案。為了更準確地描述本文研究的問題，需明確如下定義。

定義1 屬性。屬性是影響調(diào)度決策的一個或一組變量。分為成本型屬性（即數(shù)值越低越好）和效益型屬性（即數(shù)值越高越好），

在工期、成本、質(zhì)量和資源均衡四個屬性中，工期和成本屬性是成本型屬性；質(zhì)量和資源均衡是效益型屬性。對上述屬性進行規(guī)范化處理，可以得到矩陣R＝（rij）m×4。

定義2 效用。在多項目調(diào)度中，效用通常表示為客戶對項目承包商整體服務(wù)質(zhì)量的滿意程度。

定義3 效用函數(shù)。效用的量化表示形式，本文的效用函數(shù)為調(diào)度的效用函數(shù)，記為U（rij），rij為第i個項目的第j個要素的屬性。

1．2 問題描述

活動可拆分的多模式多項目調(diào)度問題包含N個項目，各個項目之間并行執(zhí)行，不存在緊前緊后關(guān)系。第i個項目中有Ji個活動，活動s0為虛擬開始活動，活動e0為虛擬結(jié)束活動，虛擬活動表示多項目的啟動和結(jié)束，都不占用時間和資源。總共有k種可更新資源和p種不可更新資源。

各個符號的含義如下：

Eij表示計劃結(jié)束時間；

Sij表示計劃開始時間；

Aij表示第i個項目中的第j個活動；tij表示計劃工期；

Pij表示活動Aij的緊前活動集合；

Uij表示Aij的緊后活動集合；

rijk表示活動Aij對第k種資源的需求量；

Rρk（k＝1，2，…，p）表示第k種可更新資源的可用量；

Rνp（p＝1，2，…，p）表示第p種不可更新資源總量；

riρjk表示項目i的活動j單位工期可更新資源的需求量；

rνijp表示項目i的活動j所需的不可更新資源總量；

qij表示項目i的活動j執(zhí)行時的質(zhì)量指數(shù)；

對工期、成本、質(zhì)量和資源均衡四個屬性進行目標優(yōu)化。記工期為T，成本為C，質(zhì)量為Q，資源均衡為L。根據(jù)多屬性效用函數(shù)的分解定理，活動可拆分的多模式多項目調(diào)度的多屬性均衡優(yōu)化問題可用加式分解方程表示：

式中：u（T），u（C），u（Q）和u（L）分別表示工期、成本、質(zhì)量和資源均衡的單變量效用函數(shù)；ωT，ωC，ωQ和ωL分別表示各單變量效用函數(shù)的權(quán)重系數(shù)。效用函數(shù)的優(yōu)化目標是求解最大值，解空間是凸集，則效用函數(shù)均為凹函數(shù)，故采用效用函數(shù)的二次函數(shù)形式。項目總工期D的工期效用值為1，則

多項目調(diào)度中的成本由可更新資源和不可更新資源的成本構(gòu)成。其效用函數(shù)值為1。則

多項目調(diào)度中的質(zhì)量效用值為1時，則有

多項目調(diào)度中的資源均衡效用值為1時，則有

1．3 活動可拆分的多模式多項目調(diào)度優(yōu)化目標

活動可拆分的多項目調(diào)度計劃編制和控制極為復(fù)雜，工期是客戶和承包商關(guān)注的焦點。因此，活動可拆分的多項目調(diào)度的優(yōu)化目標之一是總的工期最短，即

在活動可拆分的多項目調(diào)度的執(zhí)行過程中，多項目調(diào)度的總成本由可更新資源成本和不可更新資源成本構(gòu)成。令cp表示不可更新資源p的單位工期的單價，ck表示可更新資源k的單位工期的單價，則活動可拆分的多項目調(diào)度的成本目標函數(shù)為：

為了對活動可拆分的多項目調(diào)度進行更系統(tǒng)深入的研究，需要對項目的質(zhì)量屬性進行量化，在此，每個活動中引入中間變量，用來表示已獲得質(zhì)量價值EQVij，

式中：EVij表示項目i中活動j的掙值，qij表示項目i的活動j執(zhí)行時的質(zhì)量指數(shù)，用于衡量一個活動的實際質(zhì)量水平，其計算方法如下：

因此，多項目調(diào)度計劃的總質(zhì)量水平可用所有活動質(zhì)量水平的加權(quán)平均值表示，即

在對活動可拆分的多模式多項目調(diào)度問題的研究中，分析了資源均衡的量化問題。目前的研究對資源均衡的研究集中在資源需求量不均衡系數(shù)、資源需求量極差和資源需求量方差三方面。三種方法均為目標值越小其資源均衡效果越好。本文采用需求量方差為活動可拆分的多項目調(diào)度資源均衡的目標。令rijk（T）為在［t－1，t］時間段對第k種資源的需求量為多項目工期T內(nèi)對第k種資源的平均需求量。資源均衡的計算公式如下：

1．4 建立優(yōu)化模型

在考慮管理者和承包商最關(guān)注的工期、成本、質(zhì)量和項目整體的資源均衡四個重要屬性的基礎(chǔ)上，利用多屬性效用函數(shù)對活動可拆分的多模式多項目調(diào)度問題進行均衡優(yōu)化，并構(gòu)建其多屬性均衡優(yōu)化模型。已有研究都假設(shè)每個活動一旦開始就不能中途停止，要一直執(zhí)行到活動結(jié)束。本文提出采用非搶占式的操作模式，即任務(wù)優(yōu)先級較高的任務(wù)可以搶占優(yōu)先級較低任務(wù)的資源，并允許任務(wù)在任何時候被搶占資源且重新開始，沒有任何額外成本。采用非搶占式執(zhí)行模式制定的任務(wù)可拆分的多模式多項目調(diào)度計劃，能更高效地利用資源并縮短項目工期，使多項目調(diào)度整體效用最佳。活動i在執(zhí)行模式mi下都分配一個開始時間Eiv。其模型如下：

其中：式（12）是目標函數(shù)，表示活動可拆分的多模式多項目調(diào)度的多屬性均衡優(yōu)化問題的效用最大；式（13）表示活動j的最早開始時間不能比其緊前活動i的持續(xù)時間小；式（14）表示緊后活動的開始時間至少比緊前活動的開始時間大一個單位時間；式（15）強制項目開始時間為零，式（16）表示活動的開始時間為非負整數(shù)；式（17）和式（18）分別表示對不可更新資源和可更新資源的限制；式（19）表示活動在確定執(zhí)行模式之后，對不可更新資源的需求量不能超過各階段給定的資源需求量Wiρjk；式（20）表示對可更新資源的需求量不能超過各階段給定的資源需求量Wνijρ；式（21）表示每個活動j只有一種執(zhí)行模式；式（22）表示活動j的總工期等于在m 執(zhí)行模式下活動的持續(xù)時間；式（23）和式（24）分別表示活動j的開始時間和結(jié)束時間。

2 設(shè)計云遺傳算法

2．1 活動表示法

常用的活動列表表示法（Activity－List representation，AL）和隨機鍵表示法（Random Key representation，RK）。在AL方法中，活動的位置決定各活動之間的相對優(yōu)先級，而在RK方法中，活動調(diào)度的序列是基于每個活動的優(yōu)先級值。本文采用RK表示法，每個個體由一個向量λ代表優(yōu)先級值，μ代表模式列表。向量λ的每個優(yōu)先級值都基于其值對應(yīng)一個活動，活動的調(diào)度計劃按照序列進行編制。向量λ的各個種群元素也對應(yīng)一組執(zhí)行模式列表μ。模式列表μ分配一種模式mi給每個活動i（i∈｛1，…，N｝），并且決定相對于不可再生資源，調(diào)度方案是否可行。

ERR（μ）表示額外資源需求，ERR（μ）＝0表示解決方案可行；如果ERR（μ）＞0，則解決方案不可行。

允許活動的非搶占式執(zhí)行模式，原活動網(wǎng)絡(luò)需轉(zhuǎn)換成新的網(wǎng)絡(luò)。一個活動i用模式列表μ分配一種執(zhí)行模式mi，其持續(xù)時間dimi已知。將每個活動分解成di個子活動并形成新的結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。向量λ決定新項目網(wǎng)絡(luò)所有子活動的調(diào)度序列，并決定子活動的開始時間。

2．2 云遺傳算法

標準遺傳算法（Static Genetic Algorithm，SGA）采用固定概率進行交叉、變異操作，存在收斂速度慢或陷入局部收斂現(xiàn)象等缺陷，影響了算法的求解效果。同時，本文中的算例比較復(fù)雜，對算法要求較高，標準遺傳算法顯然難以勝任，為此，在傳統(tǒng)遺傳算法的基礎(chǔ)上引入云模型理論，提出了云遺傳算法（Cloud Genetic Algorithm，CGA）。利用云模型云滴的隨機性和穩(wěn)定傾向性的特征，設(shè)計遺傳算法中的交叉和變異概率，在算法的初期設(shè)置較大的交叉和變異概率以快速產(chǎn)生優(yōu)秀個體，在算法后期設(shè)置較小的交叉和變異概率，適應(yīng)度高的優(yōu)秀個體以較小的概率參與交叉變異以保護優(yōu)秀個體不被破壞，從而加速算法的全局收斂。通過云發(fā)生器產(chǎn)生交叉和變異概率，利用正態(tài)云模型的控制參數(shù)，在種群適應(yīng)度發(fā)生變化時進行自適應(yīng)調(diào)整，提高了算法在搜索精度和搜索范圍上的準確性。云遺傳算法設(shè)計了交叉概率Pc和變異概率Pm，能根據(jù)適應(yīng)度進行動態(tài)調(diào)整。交叉概率Pc和變異概率Pm隨自身適應(yīng)度呈現(xiàn)線性變化。適應(yīng)度越高的個體其交叉變異概率越??；反之，適應(yīng)度越低的個體其交叉變異概率越大。

交叉概率Pc和變異概率Pm的自適應(yīng)生成公式如下：

（1）Pc的生成算法（2）Pm 的生成算法

其中：k1，…，k4為［0，1］的常數(shù)，取k1＝k3＝1，k2＝k4＝0．5。由此可知，Pc和Pm的初始值較大，但隨著種群的不斷進化而逐漸減小。

熵En、期望Ex和超熵He是云模型的重要控制參數(shù)，熵En反映了云模型的陡峭程度；期望Ex反映了云模型的水平位置；超熵He反映了它與云滴的離散程度，云滴均在期望值上下波動，其波動程度受He控制。超熵He過大時云模型的穩(wěn)定性下降，當超熵He過小時云模型的隨機性有所下降。在確保最大適應(yīng)度周圍的優(yōu)秀個體維持正態(tài)云模型穩(wěn)定傾向性的同時，提高適應(yīng)度較低的個體的搜索能力，從而生成更大解空間內(nèi)的新個體，有效改善了算法的隨機性。CGA的具體步驟如下：

（1）編碼設(shè)計本文選用多組編碼的染色體結(jié)構(gòu)，染色體的基因?qū)?yīng)活動的編號，基因值對應(yīng)一個優(yōu)先權(quán)列表。自然編碼表示任務(wù)優(yōu)先權(quán)，優(yōu)先權(quán)為1～m之間的自然數(shù)，優(yōu)先權(quán)的數(shù)值越大，優(yōu)先權(quán)越大。為保證染色體的有效性，活動的優(yōu)先權(quán)必須與基因建立一一對應(yīng)的關(guān)系，以滿足解空間分布的均勻性和搜索的全局性要求。染色體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

（2）初始種群隨機產(chǎn)生優(yōu)先權(quán)的全排列Wu（T），染色體所確定的各個任務(wù)的優(yōu)先權(quán)是生成調(diào)度計劃的重要依據(jù)。

（3）適應(yīng)度函數(shù)適應(yīng)度函數(shù)是評價染色體優(yōu)劣的依據(jù)，為此，設(shè)計的適應(yīng)度函數(shù)為fit（T），fit（T）＝1/u（T）。其中u（T）表示個體的目標值。適應(yīng)度函數(shù)值越小，個體越優(yōu)。

（4）交叉算子由云模型X發(fā)生器生成種群的交叉概率Pc，計算交叉算子的確定度u，Ex，En和He，由X云發(fā)生器生成一對個體，采用雙交叉點操作，選擇一個基因交叉點，將選中的基因編碼置于子代染色體首位，在刪除父代染色體相同基因編碼的基礎(chǔ)上，按原編碼順序復(fù)制到子代上，如果生成違反約束條件的子代染色體，則對插入點的位置進行調(diào)整。交叉操作如圖2所示。

（5）變異算子由云模型X發(fā)生器生成種群的變異概率Pm，Ex取原個體，計算En和He，利用云發(fā)生器生成一個新個體，當在（0，1）產(chǎn)生的隨機數(shù)temp＞u時，隨機選擇染色體中的兩個基因并對換兩者的基因碼，生成新的染色體，變異操作如圖3所示。

（6）重復(fù)步驟（2）～步驟（5），當Maxgen＝50或滿足條件時停止操作，輸出結(jié)果。

3 仿真試驗

3．1 算例分析

以3個并行項目組成的多項目調(diào)度問題為例，建立活動可拆分的多模式多項目調(diào)度優(yōu)化模型，并利用云遺傳算法進行試驗仿真。多項目調(diào)度中各個活動的相關(guān)信息如表1所示，共包含28個活動及虛擬開始活動和虛擬結(jié)束活動，多項目調(diào)度中共包含7種資源，其中有4種可更新資源和3種不可更新資源。多項目的各個活動之間的緊前緊后關(guān)系如圖1所示。單位工期的間接成本c＝4，六種資源單價分別為c1p＝c2p＝c3p＝c4p＝3，ck1＝ck2＝2。

工期T，成本C，質(zhì)量Q和資源均衡L的效用函數(shù)為u（T），u（C），u（Q）和u（L），根據(jù)變量上下限可以求得各參數(shù)的具體數(shù)值：。對于各個參數(shù)的權(quán)重設(shè)置，目前采用較多的方法是專家打分法或根據(jù)其在企業(yè)實際執(zhí)行中的需要進行設(shè)置。各個參數(shù)的權(quán)重系數(shù)分別為αT＝0．4，αC＝0．2，αQ＝0．1，αL＝0．3。因此，活動可拆分的多模式多項目調(diào)度的多屬性效用函數(shù)為：

表1所示為活動可拆分的多模式多項目調(diào)度的相關(guān)信息，包含28個活動，每個活動有兩種執(zhí)行模式，活動的執(zhí)行模式、所用資源的種類和質(zhì)量指數(shù)如表2所示。用云遺傳算法求解該問題，得出可更新資源的用量是29，不可更新資源的用量是20。子項目1的工期是8d，子項目2的工期是12d，子項目3的工期是10d?；顒涌刹鸱值亩嗄Ｊ蕉囗椖空{(diào)度的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖4所示，調(diào)度方案如圖5所示。

由Mpple12．0實現(xiàn)云遺傳算法編程，對建立的模型進行求解。設(shè)種群規(guī)模Popsize＝50，為滿足種群多樣性的要求，進化代數(shù)Maxgen＝50，最終求得最優(yōu)解的效用值為u（T，C，Q，L）＝0．892，多項目調(diào)度的整體工期為12d，C＝4 719，Q＝0．973 6，L＝0．910 4，最優(yōu)解信息如表2所示。

由圖4可知，在活動可拆分的多模式多項目調(diào)度問題中，利用多屬性效用函數(shù)建立活動可拆分的多模式多項目調(diào)度的多屬性均衡優(yōu)化模型，根據(jù)工期、成本、質(zhì)量和資源均衡四個屬性建立均衡優(yōu)化目標，優(yōu)化的結(jié)果能幫助管理者和經(jīng)營者有效控制和監(jiān)管多項目的進度。根據(jù)算例的結(jié)果，管理者和經(jīng)營者能在有效縮短工期并高效利用資源的前提下，使多項目調(diào)度的整體效用最大化。管理者和經(jīng)營者根據(jù)項目各個階段關(guān)注點的不同，作出使多項目調(diào)度整體效用最大的多屬性均衡優(yōu)化決策。

表1 項目模式列表及資源使用信息

表2 最優(yōu)解信息

3．2 算法對比分析

為檢驗云遺傳算法的性能，本文分別采用標準遺傳算法、禁忌搜索算法和云自適應(yīng)遺傳算法對上述算例進行算例分析，采用各算法的計算結(jié)果收斂情況如圖6所示。

由圖6可見，雖然禁忌搜索算法的收斂速度最快，但是容易產(chǎn)生局部最優(yōu)解，而云遺傳算法的收斂速度比禁忌搜索算法略慢，但其收斂下降速度最快，因此，其全局收斂能力在三者中最強。為了進一步檢驗算法的有效性，將上述算例計算20次，對其最優(yōu)值、最劣值和平均值三個指標進行統(tǒng)計，計算結(jié)果如表3所示。

分析表3的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，云遺傳算法的搜索成功率最大，禁忌搜索算法的搜索成功率最小。最劣值和平均值都是云遺傳算法的結(jié)果最小，從而反映出云遺傳算法的全局搜索能力最強。

3．3 標準化測試分析

下面從項目調(diào)度問題網(wǎng)站http：//129．187．106．231/psplib/上下載關(guān)于有項目調(diào)度問題的標準算例，因為本文以效用最大化為目標函數(shù)研究多項目調(diào)度，它在題庫中沒有標準算例，所以以項目工期最短建立標準化測試的目標函數(shù)。分別采用標準遺傳算法、禁忌搜索算法和云遺傳算法進行求解，并對每個算例隨機運行20次，統(tǒng)計平均誤差和最優(yōu)解所占的比例。如表4所示，分析算法的求解效率和穩(wěn)定性。

對于任務(wù)可拆分的多模式多項目調(diào)度問題，三種算法均能計算出比較好的解，但是任務(wù)可拆分的多模式多項目調(diào)度問題中的活動數(shù)量較多，基于云遺傳算法中動態(tài)改變的交叉變異率，使得算法的初期能夠較快地產(chǎn)生優(yōu)秀個體，算法的后期保護最優(yōu)個體，全局搜索能力強。由此可知，云遺傳算法能在保證收斂的同時提高全局搜索能力。

試驗表明：本文設(shè)計的云遺傳算法在全局搜索和快速收斂方面優(yōu)于其他智能算法，能夠保證任務(wù)可拆分的多模式多項目調(diào)度問題對求解算法的要求。

表3 仿真結(jié)果對比分析

表4 測試數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果

4 結(jié)束語

本文研究了活動可拆分的多模式多項目調(diào)度的多屬性均衡優(yōu)化問題，以活動可拆分的多模式多項目調(diào)度整體效用最大化為目標，采用多屬性效用函數(shù)建立以工期—成本—質(zhì)量—資源均衡為優(yōu)化目標的活動可拆分的多模式多項目調(diào)度模型并進行優(yōu)化。

本文設(shè)計了云遺傳算法求解任務(wù)可拆分的多模式多項目調(diào)度問題，利用云模型云滴的隨機性和穩(wěn)定傾向性特征，設(shè)計遺傳算法中的交叉和變異概率，在算法的初期設(shè)置較大的交叉和變異概率以快速產(chǎn)生優(yōu)秀個體，在算法的后期設(shè)置較小的交叉和變異概率以防止優(yōu)秀基因被破壞，并設(shè)置最大保留機制的交叉算子以避免優(yōu)秀基因被破壞。通過算例驗證了模型和算法的實用性和有效性。結(jié)合算例對設(shè)計的算法進行了實驗計算，結(jié)果表明，云遺傳算法在求解效率、收斂速度和穩(wěn)定性方面優(yōu)于其他智能算法。

模型的主要缺陷是同時考慮多個屬性的效用函數(shù)，但各個目標權(quán)重的確定會受到主觀因素的影響，在后續(xù)的研究中筆者將進行進一步的研究。

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