詹 騰，張 屹，朱大林，劉 錚，鄭小東

（三峽大學 機械與動力學院，湖北 宜昌 443002）

0 引言

科學研究和工程實踐中存在大量的多目標優(yōu)化問題，如生產(chǎn)調(diào)度、車間布局、自動化控制、機械優(yōu)化設計、物流運輸?shù)?，都需要同時對多個目標進行優(yōu)化。在多目標優(yōu)化問題中，通常各個目標之間通過決策變量相互制約，對其中某一個目標性能的優(yōu)化必然以其他目標為代價，因此解的方案不是唯一的，而是存在一組非劣解（非支配解），稱為Pareto最優(yōu)解集。求解多目標優(yōu)化問題的關鍵是使求得的近似Pareto最優(yōu)解與真實的Pareto最優(yōu)解集盡可能接近，并且具有較好的分布性。多目標進化算法已被證明是解決多目標優(yōu)化問題的一類有效方法。迄今為止，國際上涌現(xiàn)出許多經(jīng)典的多目標進化算法，如非支 配 排 序 遺 傳 算 法［1］（Non－dominated Sorting genetic algorithm，NSGA－Ⅱ）、改進的強度Pareto進 化 算 法［2］（Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2，SPEA2）和元胞多目標遺傳算法［3］（Cellular Genetic Algorithm for Multi－objective Optimization，MOCell）等。

差分進化（Differential Evolution，DE）算法［4］是一種隨機并行的全局搜索算法，具有簡單易用、穩(wěn)健性高和全局尋優(yōu)能力強等優(yōu)點，已在單目標領域得到廣泛應用。近年來，許多學者將DE算法引入多目標問題領域，其中典型算法有非支配排序的差分進化算法［5］（Non－dominated Sorting Differential Evolution，NSDE）、混合元胞遺傳算法［6］（Cell－DE）、差分元胞遺傳算法［7］（DECell）和基于分解機制的 多 目 標 進 化 算 法［8］（Multi－Objective Evolutionary Algorithm based on Decomposition，MOEA/D）等。NSDE算法利用DE進化算子代替NSGA－Ⅱ中的交叉和變異算子，在解決旋轉(zhuǎn)多目標問題時效果較好；CellDE和DECell算法都以MOCell算法為基礎，融入GDE3［9］中DE進化的選擇算子，其中CellDE是用DE進化的選擇算子替換交叉、變異算子，CellDE在解決3目標問題時有不錯的效果，DECell主要針對實際的車間布局優(yōu)化問題，使用DE進化的選擇算子和換位變異算子，結(jié)果表明DECell在解決車間布局問題時有較好的效果。MOEA/D算法是基于一種分解機制的多目標進化算法，它使用一種混合DE進化的變異作用于鄰居個體，該算法多樣性好、費時少，但是必須已知問題的Pareto沿界面的形狀。

盡管上述MOEAs引用DE策略在解決多目標優(yōu)化問題中取得了不同程度的效果，但是沒有具體分析DE策略對算法的實際影響和不同DE策略之間的優(yōu)劣，僅用DE策略來替換原始的交叉、變異算子。因此，本文提出一種基于多策略的差分進化的元胞多目標遺傳算法（Cellular genetic algorithm based on Multi－strategy Differential Evolution for multi－objective optimization，MDECell）。該算法結(jié)合元胞模型的特點，分析不同的DE進化模式的優(yōu)劣，提出了使用三種不同的DE進化模式協(xié)同進化的選擇算子，而且在基于經(jīng)典的元胞多目標遺傳算法MOCell的基礎上改進了擁擠距離評估方法和替換策略。為驗證該算法解決高維復雜多目標優(yōu)化問題的多樣性和收斂性性能，使用ZDT和DTLZ系列的12個標準測試函數(shù)對算法進行了全面的性能測試，并與目前性能優(yōu)異的NSGA－Ⅱ，MOCell和CellDE三個算法進行了對比分析。

1 多策略差分進化的元胞多目標遺傳算法

元胞遺傳算法是將元胞自動機的作用機理和遺傳算法的基本理論有機結(jié)合的一種算法，其特點在于將種群中的每個個體分布于一個二維拓撲結(jié)構中，如圖1所示，每個個體擁有相同的鄰居數(shù)，且每個個體只能與其規(guī)定的鄰居個體進行遺傳操作。遺傳操作限制在鄰域范圍內(nèi)進行，在一定程度上降低了選擇壓力。

元胞多目標遺傳算法MOCell（如圖2a）在基于元胞遺傳算法的大框架下，加入了多目標進化理論和策略。對于MOCell，總體而言，雖然其多樣性和收斂性均優(yōu)于NSGA－Ⅱ和SPEA2，但是仍存在改進的空間，尤其在求解高維多目標的情況下，當目標數(shù)大于等于3時，它在收斂性和多樣性測試上的求解效果仍不理想，會出現(xiàn)早熟收斂和解的分布性差等問題。對于CellDE［6］，由于加入了DE進化的選擇算子，在解決三目標問題時有較好的效果，這說明DE進化策略能夠提高算法的性能，但CellDE在求解某些函數(shù)時效果仍然不佳。算法使用超體積（Hypervolume，HV）指標來評估算法的多樣性，但由于HV指標是一個綜合的性能指標，不能完全描述算法的多樣性能優(yōu)劣。基于此，MDECell算法（如圖2b）針對DE進化策略對多目標求解的優(yōu)勢，分析不同差分進化的特點，提出一種多進化模式協(xié)同配合的選擇算子。對于算子中父代個體的選擇機制，根據(jù)不同策略的需求進行動態(tài)調(diào)整。同時，針對MOCell算法模型進行相應的改進，提出一種新的擁擠距離評估方法和替換策略，從而在整體上提高了算法的求解性能。

1．1 多策略差分進化的選擇算子

文獻［10－13］中應用多策略對單目標問題進行求解的結(jié)果較好，但目前還未發(fā)現(xiàn)將該策略應用到多目標問題上的文獻，本文對此做了嘗試且獲得了較好的效果。DE存在多種進化模式，其一般表示形式為DE/x/y/z。其中：x表示差分算子的基準個體的選擇，一般有隨機選取（rand）和當前種群最優(yōu)個體選?。╞est）兩種；y表示參與重組的差異個體的選擇個數(shù)；z表示重組選擇的方式。下面給出5種常見的DE進化模式及其重組公式：

（1）DE/rand/1/bin模式：Vi，G＝Xri1，G＋F（Xri2，G－Xri3，G）；

（2）DE/rand/2/bin模式：Vi，G＝Xri1，G＋F（Xri2，G－Xri3，G）＋F（Xri4，G－Xri5，G）；

（3）DE/best/1/bin 模 式：Vi，G＝ Xbest，G＋ F（Xri1，G－Xri2，G）；

（4）DE/best/2/bin 模 式：Vi，G＝ Xbest，G＋ F（Xri1，G－Xri2，G）＋F（Xri3，G－Xri4，G）；

（5）DE/rand－to－best/1/bin模式：Vi，G＝Xi，G＋F（Xbest，G－Xi，G）＋F（Xri1，G－Xri2，G）。

其中：Vi，G表示基準個體i；G 表示進化代數(shù)；Xbest，G表示當代 最 優(yōu)個體；Xr1，G，Xr2，G，Xr3，G，Xr4，G，Xr5，G和Xi，G表示隨機選擇的個體；F表示差分控制參數(shù)。

上述5種進化模式各具特點，對各種不同進化模式分析如下：

DE/rand/1/bin模式和DE/rand/2/bin模式具有很好的全局探索能力，容易跳出局部最優(yōu)解，但是收斂速度較慢。根據(jù)這兩種進化模式，在算法初期，種群分布的區(qū)域較為寬廣，個體之間的差異大，則個體之間的差分向量值較大，對個體Xri1，G的擾動也較大，從而實現(xiàn)算法的全局搜索；而在進化后期，種群中的個體大多分布于最優(yōu)個體附近，差分向量之間的差值較小，對個體Xri1，G有微調(diào)作用，可實現(xiàn)算法的局部尋優(yōu)，但是進化過程中沒有很好地引導進化的收斂方向，從而導致收斂速度較慢。

DE/best/1/bin模式和 DE/best/2/bin模式的主要特點是收斂速度快，但是其全局探索能力相對較弱，易陷入局部收斂。根據(jù)這兩種進化模式，在進化初期以Xbest，G為基準個體，對算法的收斂方向有很好的導向作用，從而有利于算法向Pareto的前端靠近，但會導致全局搜索能力下降；而在進化后期，由于個體之間的差異變小，使得算法局部尋優(yōu)效果不佳，易陷入局部收斂。

DE/rand－to－best/1/bin模 式 的 全 局 探 索 和 局部尋優(yōu)相對保持平衡，但是其魯棒性相對較差。這種進化模式是前兩類進化模式的綜合體，可在一定程度上維持算法多樣性和收斂性之間的平衡，但是進化模式不夠穩(wěn)定。

鑒于上述各種DE進化策略各自的優(yōu)勢和不足，不能一概而論地說哪種進化模式更優(yōu)秀，哪種進化模式相對較弱，但是各類進化模式存在共同的特性，即采取的重組方式都是基準個體與其差異個體之間的線性組合。本文將 DE/rand/1/bin，DE/best/1/bin和 DE/rand－to－best/1/bin三種進化策略引入交叉算子中，讓三種進化策略相互配合、相互促進、協(xié)同進化。

結(jié)合元胞空間結(jié)構的特點和元胞遺傳算法的特性，在選擇進化個體時也有其特點。本文采用八鄰居結(jié)構，分別對三種模式所需個體進行選擇（如圖2b）。對于 DE/rand/1/bin進化模式，必須選擇三個個體，分別為一個中心元胞個體和兩個鄰居個體；對于DE/best/1/bin進化模式，三個個體的來源分別為：兩個差分個體來自鄰居個體，對于Xbest，G，如果外部存檔為0，則從當前種群中隨機選擇一個Pareto等級為0的個體，否則從外部存檔中隨機選擇一個個體；對于 DE/rand－to－best/1/bin進化模式，四個個體分別為：一個中心個體、兩個鄰居個體和最優(yōu)個體，其選擇同DE/best/1/bin。

這種多策略進化差分的選擇算子，使每種進化策略都有相同的概率產(chǎn)生子代個體，而且在執(zhí)行某一進化策略時必然存在其他進化策略生成的個體參與進化，因此MDECell具有隱式的多種群特性。再者，由于每種進化策略參與進化的概率相同，MDECell算法在時間復雜度上與一般的DE算法相同。

MDECell采用的多策略差分進化的交叉算子的偽代碼如下：

Number＝rand［0，3］ //三種進化模式的代號

jrand＝floor（randi［0，1］＊D）＋1

for j＝＝1to D //每個個體中的決策變量進行差分進化

if（randj［0，1］＜CRVj＝jrand）then

if（Number＝1）then

Vi［j］，G＝Xr1［j］，G＋F（Xr2［j］，G－Xr3［j］，G） //DE/rand/1/bin模式

else if（Number＝2）then

Vi［j］，G ＝Xbest［j］，G ＋F（Xr1［j］，G －Xr2［j］，G）//DE/best /1/bin模式

else if（Number＝3）then

根據(jù)本次紅外相機的調(diào)查數(shù)據(jù)，初步獲得廣東省青云山森林動態(tài)監(jiān)測樣地地面活動獸類和林下活動鳥類的物種名錄，對部分鳥獸(如白鷴、野豬等)種類的種群狀況也有所了解，為調(diào)查廣東省青云山自然保護區(qū)現(xiàn)有的陸生脊椎動物多樣性資源積累了基礎數(shù)據(jù)。目前，已確認的鳥類和獸類共計18種，隸屬于5目9科。

Vi［j］，G＝Xi［j］，G ＋F（Xbest［j］，G －Xi，G）＋F（Xr1［j］G －Xr2［j］，G）//DE/best－to－rand/1/bin模式

end if

else

Vi［j］，G＝Xi［j］，G

end if

end for

1．2 基于熵的擁擠距離評估方法

在不斷進化的過程中，為了維持外部檔案的非支配解的多樣性，合理的精英個體修剪策略尤為重要。一些學者對修剪策略進行了探討。對于SPEA2，采用密度評估策略；對于具有相同適應度值的個體，采用第k個最近個體的密度來進行區(qū)分，該策略耗時相對較大。PEAS2采用自適應網(wǎng)格法對外部種群進行維護，在基于區(qū)域的選擇中，選擇單元是一個超級盒（hyperbox）而不是個體，這種方法減少了計算費用，但是需要對超級盒的大小進行控制。MOCell采用的是Pareto非支配等級排序和局部擁擠距離密度估計的精英策略，該方法不能完全真實地反映個體的擁擠程度。例如使用MOCell的擁擠距離密度評估策略，如圖3所示，令a為單位長度，dm1和dn1為A點相鄰兩個個體之間在f1目標值的差值，dn2和dm2為A點相鄰兩個個體之間在f2目標值的差值，則A點的擁擠距離為13a，同理B點為10a，即A點的擁擠距離比B點大。但是由圖3可知B點的分布性比A點好。

針對上述問題，本文采用基于熵的擁擠距離評估策略［14］。其定義如下：

根據(jù)式（5）計算A、B和C點的擁擠距離分別為：CEA＝8．041 9、CEB＝10和CEC＝3。結(jié)果表明，式（5）改進的擁擠距離計算方法符合實際情況，能夠更真實地反映Pareto解集中每個個體的擁擠距離，該方法能在修剪外部存檔和選擇個體時提供更加準確的信息，同時有利于Pareto解集保持良好的分布性。

1．3 替換策略的改進

元胞遺傳算法中的替換策略有利于種群沿著好的方向進化，特別是在使用異步更新策略時，對算法的收斂性有一定程度的影響［15］。為了進一步加強算法的收斂性，MDECell算法對子代產(chǎn)生的優(yōu)良個體的替換策略做了進一步改良，基本內(nèi)容如下：

對于MDECell產(chǎn)生的最新子代個體，如果其支配父代中心元胞個體或者子代個體與父代個體都處于非支配關系，且子代個體的熵擁擠距離大于父代中心元胞個體，則用子代替換父代個體，并將子代加入外部存檔。如果子代個體不滿足替換父代中心元胞個體的條件，則將子代加入父代鄰居中，組成一個小種群。小種群按照支配關系和熵擁擠距離進行排列，如果最差個體為子代個體，則子代個體替換掉種群中的最差個體并加入外部存檔中進行篩選，否則用最優(yōu)個體替換掉鄰居中的最差個體，并將最優(yōu)個體加入外部存檔。

該替換策略增加了優(yōu)秀個體在整個種群中的擴散，有利于提高算法的收斂性。由于差分策略和基于熵的擁擠距離評估方法有利于提高算法的多樣性，而替換策略在一定程度上增強了算法的收斂性，使算法的選擇壓力保持在一個相對合理的水平，從而提高了算法的整體性能。

1．4 MDECell算法流程

綜合1．1節(jié)～1．3節(jié)在經(jīng)典的元胞遺傳算法上的三方面改進，MDECell算法流程如下：

步驟1 在決策變量空間隨機生成初始化種群P，將種群分布于一個二維的網(wǎng)格結(jié)構中，每個個體都有對應的鄰居（本文選用Moore型八鄰居結(jié)構）。

步驟2 根據(jù)不同的DE進化模式，選擇不同的個體進行交叉操作，最后執(zhí)行多項式變異操作，產(chǎn)生子代。對子代個體執(zhí)行改進的替換策略。對于外部存檔中的個體按熵擁擠距離進行排序，若其非支配個體超過了規(guī)定的容量，則刪除其中熵擁擠距離最小的個體。

步驟3 隨機選取外部存檔中的一部分個體，替換掉原始種群中的個體。

步驟4 判斷是否滿足終止條件，若滿足則輸出非支配解集，否則轉(zhuǎn)步驟2。

2 算法性能測試及結(jié)果分析

為驗證MDECell算法在多目標優(yōu)化問題上的求解性能，將它與 NSGA－Ⅱ［1］，MOCell［3］和 Cell－DE［6］三種目前比較優(yōu)異的 MOEAs算法在求解二目標和三目標優(yōu)化問題上進行對比實驗。本文選用二目標ZDT［16］和三目標 DTLZ［17］基準函數(shù)進行性能測試。所有實驗在硬件配置為AMD CPU 3．00 GHz、內(nèi)存2．00GB的計算機上進行，程序采用Java語言編寫，其中對比的算法NSGA－Ⅱ、MOCell和CellDE的源程序來自文獻［18］。

ZDT系列測試函數(shù)是二目標優(yōu)化問題，其Pareto前端已知。其中ZDT1的Pareto前端為凸曲面；ZDT2為非凸曲面；ZDT3為非連續(xù)函數(shù)；ZDT4含有219個局部Pareto前端，可以測試算法解決多峰問題的能力，跳出局部最優(yōu)解的能力；ZDT6的整個搜索空間具有非均勻的分布，可以用來衡量算法維持群體多樣性的能力。DTLZ系列測試函數(shù)為維數(shù)可擴展的高維多目標優(yōu)化問題，且求解難度隨著維數(shù)的增加而增大，在此將其維數(shù)擴展為三。

2．1 算法性能評價標準

采用覆蓋性指標 HV、分布指標（Spread）和收斂性指標（Inverted Generational Distance，IGD）三個性能指標進行度量。

（1）覆蓋性指標HV

超體積用來計算獲得的Pareto解集個體在目標域所覆蓋的體積。其計算公式如下：式中Q為所獲得的Pareto前端的個數(shù)。對于這個Pareto前端中的每一個體i，vi是由參考點w＝（0，…，0）和成員i所形成的超體積，該指標越大，表明所得的Pareto解集越能寬廣地覆蓋在其前端上。

（2）分布指標Δ（Spread）

Deb提出的分布指標用來衡量所得的Pareto前端解集的分布情況。其計算公式如下：式中：di為所得Pareto前端上每兩個連續(xù)解的歐氏距離為這些歐氏距離的平均距離，df和dl分別為所得Pareto前端的邊界點與Pareto最優(yōu)邊界點的歐氏距離，n為所得Pareto前端個體的數(shù)目。對于分布均勻的解來說，該指標取0。因此，該指標的值越小，說明分布程度越均勻。

（3）收斂性指標（IGD）

IGD為收斂性評價方法GD的反轉(zhuǎn)，用來計算Pareto面上的均勻點到非支配解集上最小距離的平均值，其評價函數(shù)為式中di為真實Pareto前端中的向量與目標空間中每個向量之間的最短距離。IGD不僅能評價解集的收斂性，也能評價其均勻性和廣泛性。IGD越小，說明收斂性越好。

2．2 算法性能測試、對比與分析

MDECell，NSGA－Ⅱ［1］和 MOCell［3］算 法 的 參數(shù)設置均采用實數(shù)制進行編碼、多項式變異。NSGA－Ⅱ和MOCell采用模擬二進制交叉（Simulated Binary Crossover，SBX）［19］算子；CellDE［6］算法采用DE選擇算子，其CR＝0．1，F(xiàn)＝0．5；MDECell采用多策略差分進化的選擇算子，DE進化參數(shù)設置為：CR＝0．5，F(xiàn)＝0．5。種群規(guī)模均為100，最大進化代數(shù)為25 000，交叉概率為0．9，變異概率為1/len，len為變量維數(shù)。外部存檔大小設置為100，反饋個體數(shù)目設置為20。將這四種算法分布對測試函數(shù)進行50次獨立運行計算，統(tǒng)計HV、Δ和IGD的平均值（括號外）及標準差（括號內(nèi)）。對于計算的結(jié)果，最優(yōu)值使用深灰色標識，次優(yōu)值使用淺灰色標識。

從表1中的HV性能指標可以看出：12個測試函數(shù)中MDECell共求得6個最優(yōu)值、4個次優(yōu)值；NSGA－Ⅱ獲得6個最優(yōu)值、3個次優(yōu)值；CellDE獲得3個次優(yōu)值；MOCell表現(xiàn)最差，僅獲得1個次優(yōu)值。實驗數(shù)據(jù)說明，MDECell與NSGA－Ⅱ在解的覆蓋率方面性能相當，但是遠勝于MOCell和Cell－DE算法。NSGA－Ⅱ算法在求解ZDT系列類函數(shù)時較有優(yōu)勢，而MDECell在求解DTLZ系列類函數(shù)時相對更有優(yōu)勢。

從表2中的Δ性能指標可知，MDECell獲得最優(yōu)值的比例為9/12，次優(yōu)值為3/12，相對應的Cell－DE獲得3個最優(yōu)值、3個次優(yōu)值，MOCell獲得5個次優(yōu)值，NSGA－Ⅱ僅得到一個次優(yōu)值。MOCell在ZDT系列函數(shù)上的多樣性表現(xiàn)較好，CellDE則在DTLZ系列函數(shù)上更有優(yōu)勢，而MDECell整體的多樣性最優(yōu)。促使MDECell算法多樣性較好的主要原因有：①含有具有元胞種群結(jié)構的算法［20］，存在一種隱性遷移機制，而且算法的選擇壓力相對較低，有利于提高其多樣性。由計算結(jié)果可知，含有元胞拓撲結(jié)構的算法，其多樣性性能整體優(yōu)于隨機交配種群的算法。②大量研究和實驗發(fā)現(xiàn)，差分進化算法在維護種群多樣性和搜索能力方面功能較強［21］。由數(shù)據(jù)可知在三目標函數(shù)上，加入差分策略的Cell－DE明顯存在優(yōu)勢，說明在解決高維問題上差分策略能夠提高種群的多樣性，采用三差分協(xié)同進化策略的MDECell在多樣性方面更有優(yōu)勢。③使用基于熵的擁擠距離評估方法MDECell，相對于使用擁擠距離評估方法MOCell和NSGA－Ⅱ在保持種群多樣性上效果更好。由此說明，MDECell算法中種群的元胞拓撲結(jié)構、差分策略和基于熵的擁擠距離評估方法有助于提高算法的多樣性。

從表3的收斂性指標可知：MDECell有很好的收斂性，其中最優(yōu)值數(shù)目達到9個、次優(yōu)值為1個；NSGA－Ⅱ最優(yōu)值為1個、次優(yōu)值為7個；MOCell和CellDE的最優(yōu)值和次優(yōu)值分別都為1個和2個。MDECell采用了三差分協(xié)同進化策略，其中如第2、3策略“DE/best/1/bin”，“DE/rand－to－best/1/bin”有利于提高算法的收斂性，且改進的替換原則更能在一定程度上加快優(yōu)秀解在種群的擴散速度，提高算法的收斂性。

表1 HV性能指標對比

續(xù)表1

表2 Δ性能指標對比

表3 IGD性能指標對比

由圖4可知，在解決ZDT3問題時，NSGA－Ⅱ和MDECell具有較好的收斂性和均勻性保持能力，而MOCell和CellDE則表現(xiàn)出相對較差的性能，NSGA－Ⅱ和MDECell表現(xiàn)出相近的實驗結(jié)果。由圖5和圖6可知，在解決ZDT6和DTLZ6時，Cell－DE和MDECell的收斂性和均勻性保持較好，NS－GA－Ⅱ和MOCell在相同的評價次數(shù)下不能很好地收斂到最優(yōu)Pareto前沿附近，說明含有差分進化策略的算法的收斂性和多樣性更好，且對比CellDE和MDECell的Pareto解集的分布性發(fā)現(xiàn)，MDECell的分布性更均勻。

由表1～表3以及圖4～圖6的結(jié)果對比可知，在二目標測試函數(shù)ZDT和三目標測試函數(shù)DTLZ的求解效果上，MDECell相對于NSGA－Ⅱ、MOCell和CellDE算法均具有明顯的優(yōu)勢，不僅能達到最好的收斂性和多樣性，還能獲得分布更均勻、覆蓋范圍更廣的近似Pareto最優(yōu)解集。

3 結(jié)束語

本文提出一種多策略差分進化的元胞多目標遺傳算法（MDECell）來求解高維復雜的多目標優(yōu)化問題。該算法結(jié)合元胞模型定義了一種多策略差分協(xié)同進化的選擇算子，并改進了原有的擁擠距離評估方法和替換策略。通過與NSGA－Ⅱ、MOCell和CellDE的測試對比，該算法比上述算法在覆蓋性指標（HV）方面有優(yōu)勢，尤其在收斂性指標（IGD）、分布性指標（Spread）上表現(xiàn)更優(yōu)異，是求解高維多目標算法的有效方法。對于MDECell算法能否實現(xiàn)自適應地分配各差分進化模式，以及如何將其運用至實際工程應用中，將是下一步研究的方向。

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