張煥鑫 李學鋒

北京航天自動控制研究所，北京 100854

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捷聯(lián)慣組歷次測試數(shù)據(jù)分布特性研究

張煥鑫 李學鋒

北京航天自動控制研究所，北京 100854

針對捷聯(lián)慣組歷次測試數(shù)據(jù)小樣本的特點，提出將隨機加權(quán)法與最大熵法結(jié)合應用于捷聯(lián)慣組歷次測試數(shù)據(jù)的驗前分布研究。在總體分布參數(shù)形式已知的情況下，根據(jù)已有的先驗信息，采用隨機加權(quán)最大熵法獲得捷聯(lián)慣組歷次測試數(shù)據(jù)總體參數(shù)的驗前分布。結(jié)合當前樣本信息，利用貝葉斯方法給出捷聯(lián)慣組歷次測試數(shù)據(jù)的驗后分布，揭示捷聯(lián)慣組歷次測試數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性，減少小樣本情況下的統(tǒng)計分析誤差。

捷聯(lián)慣組;隨機加權(quán)法;最大熵法;歷次測試數(shù)據(jù);驗前分布;小樣本

捷聯(lián)慣導系統(tǒng)已在航天、航空、航海、陸地運輸工具等領(lǐng)域得到廣泛應用。但捷聯(lián)慣組的壽命有限，測試程序復雜，測試、標定一次需要較長時間，所以測試次數(shù)較少，所得到的歷次測試數(shù)據(jù)均為小樣本，使經(jīng)典的統(tǒng)計分析方法無法滿足分析的要求，為后續(xù)的統(tǒng)計推斷帶來一定困難。貝葉斯方法能夠充分利用現(xiàn)有信息，解決小樣本條件下驗前分布的確定問題為后續(xù)的建模補償工作提供分析基礎。

在小樣本情況下，常利用一些非參數(shù)的統(tǒng)計方法，如Bootstrap方法[1]、隨機加權(quán)法[2]等確定先驗分布。文獻[3-4]分別利用Bootstrap方法和隨機加權(quán)法確定捷聯(lián)慣組歷次測試數(shù)據(jù)總體參數(shù)的驗前分布，但Bootstrap方法、隨機加權(quán)法難以直接確定驗前分布的參數(shù)，大多數(shù)情況下，都是直接利用某一分布擬和直方圖估計分布參數(shù)；而最大熵方法能夠較好地處理不完全驗前信息的不足和盡量避免主觀因素的影響，可以求解連續(xù)概率密度函數(shù)以替代經(jīng)典統(tǒng)計學中通過直方圖確定概率分布的方法，便于估計分布參數(shù)[5]。

因此，本文將隨機加權(quán)法和最大熵方法相結(jié)合應用于對捷聯(lián)慣組歷次測試數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性分析。首先利用隨機加權(quán)法對小樣本的慣組歷次測試數(shù)據(jù)進行重復采樣，然后在二階矩等式約束下，利用最大熵方法確定驗前分布的參數(shù)，再結(jié)合當前樣本利用貝葉斯方法確定驗后分布，最后對統(tǒng)計分析結(jié)果進行基于驗后分布的統(tǒng)計推斷，確定其合理性。

1 捷聯(lián)慣組驗前信息的獲取

捷聯(lián)慣組測試數(shù)據(jù)主要包括3部分：1)出廠前穩(wěn)定性試驗數(shù)據(jù)；2)交接轉(zhuǎn)運過程的測試數(shù)據(jù)；3)使用單位的正常測試數(shù)據(jù)。也就是本文的研究對象:歷次測試數(shù)據(jù)(或者稱為當前測試信息)。捷聯(lián)慣組性能相對比較穩(wěn)定，在一段時間內(nèi)，在沒有經(jīng)過檢修、長途運輸，而且環(huán)境因素沒有顯著變化的情況下，其歷次測試數(shù)據(jù)一般符合正態(tài)分布[3]。因此，可以設捷聯(lián)慣組歷次測試數(shù)據(jù)的總體分布形式為正態(tài)分布。

捷聯(lián)慣組驗前信息的獲取主要依靠前2部分測試數(shù)據(jù)，通稱為驗前測試數(shù)據(jù)(或驗前信息)。本文根據(jù)實際狀況采用第一部分的測試數(shù)據(jù)作為驗前信息。捷聯(lián)慣組測試次數(shù)較少，因此驗前信息的使用非常重要。由于捷聯(lián)慣組已經(jīng)得到廣泛應用，積累了大量的驗前測試數(shù)據(jù)和歷次測試數(shù)據(jù)，這都為捷聯(lián)慣組歷次測試數(shù)據(jù)驗前分布的研究和確定提供了充足可靠的依據(jù)。

2 驗前分布確定

設x1,x2,…,xn是來自正態(tài)分布N(θ,σ2)的一個樣本觀察值，其中均值θ未知，σ2已知，Bayes方法認為總體均值θ為隨機變量。如果可以提供關(guān)于θ的歷史數(shù)據(jù)，那么θ的分布可以確定。

2.1 最大熵驗前密度

熵是衡量一個隨機變量取值的不確定性程度。隨機變量θ的概率密度π(θ)的信息熵可以定義為:

(1)

式中,R為隨機變量θ的變化空間。

概率密度π(θ)滿足以下約束條件：

(2)

(3)

其中，式(3)中g(shù)i(θ)為已知函數(shù)，mi為參數(shù)θ的i階樣本矩。在此約束下，令熵取最大值，此時的π(θ)作為θ的驗前密度。這就是所謂最大熵驗前密度的確定方法。θ的驗前密度(最大熵驗前分布)可表示為：

(4)

其中，待定系數(shù)λi可由方程(2)和(3)確定。特別地，當i=2時，驗前函數(shù)可表示為一元正態(tài)分布，即在二階矩等式約束下只要確定參數(shù)θ的期望和方差就可以確定驗前的具體形式[6]。

2.2 隨機加權(quán)最大熵驗前分布的確定

在二階矩等式約束下，利用隨機加權(quán)最大熵法確定驗前分布，可采用下列步驟：

1) 考慮總體均值θ的估計偏差：

(5)

2) 分別構(gòu)造并產(chǎn)生N組Tn的隨機加權(quán)統(tǒng)計量：

(6)

其中v(i)=(v1(i),v2(i),…,vn(i))是取自Dirichlet分布的隨機變量。

3) 以Dn(i)，i=1,…,N作為Tn的估計，由此得到參數(shù)θ的一組隨機加權(quán)估計：

(7)

3 驗后分布確定

在沒有樣本信息時，只能根據(jù)驗前分布對θ作出推斷。在有了樣本(歷次測試數(shù)據(jù))之后，就要將樣本與驗前分布π(θ)進一步綜合，設x1,x2,…,xn是來自正態(tài)分布N(θ,σ2)的一個樣本觀察值。其中σ2已知。此樣本的似然函數(shù)為：

(8)

由于已知θ的先驗分布為正態(tài)分布N(μ,τ2)：

-∞<θ<+∞

(9)

其中μ與τ2為已知，由此可以寫出樣本x與參數(shù)θ的聯(lián)合密度函數(shù)：

(10)

則有

(11)

(12)

上面兩式相除，即得θ的后驗分布

(13)

這說明了正態(tài)均值(方差已知)的共軛先驗分布是正態(tài)分布。

4 貝葉斯統(tǒng)計推斷

未知參數(shù)θ的后驗分布π(θ|x)是集3種信息(總體，樣本和先驗)于一身，它包含了θ的所有可供利用的信息，所以有關(guān)θ的估計和假設檢驗等統(tǒng)計推斷都按一定方式從后驗分布π(θ|x)中提取信息。

4.1 貝葉斯估計

參數(shù)θ的貝葉斯估計有3種：最大后驗估計、θ的后驗中位數(shù)估計和θ的后驗期望估計[6]。在一般場合下，這3種貝葉斯估計是不同的，當后驗密度函數(shù)為對稱時，這3種貝葉斯估計重合，是相同的。

(14)

4.2 假設檢驗

H0:θ=θ0，H1:θ≠θ0

其中ε是很小的數(shù)，使得[θ0-ε,θ0+ε]與θ=θ0難以辨別。

對簡單假設H0:θ=θ0作貝葉斯檢驗時不能采用連續(xù)密度函數(shù)作為先驗分布，因為任何這種先驗將使θ=θ0的先驗概率為0，從而后驗概率也為0，所以一個有效的方法是對θ=θ0給一驗前概率π0，而對θ≠θ0給一個加權(quán)的密度π1g1(θ)，g1(θ)～N(μg,v2)，θ的先驗密度為

π(θ)=π0Iθ0(θ)+π1g1(θ)

(15)

其中Iθ0(θ)為θ=θ0的示性函數(shù)，π0為近似的實際假設H0:θ∈[θ0-ε,θ0+ε]上的先驗概率。

(16)

其中

則有

(17)

其中

利用正態(tài)分布的正則性，可得

(18)

從而簡單原假設與復雜備選假設(記為Θ1={θ≠θ0})的后驗概率分別為

后驗機會比為

從而貝葉斯因子為

(19)

對于H1:θ≠θ0上的先驗密度g1(θ)，一般地，參數(shù)θ接近于θ0比遠離θ0更為可能，所以一般取μg=θ0，v2一般可以取2σ2，則有

(20)

5 實例分析

表1 驗前歷次測試數(shù)據(jù)

表2 驗前分布參數(shù)

已知該此4套捷聯(lián)慣組同一誤差系數(shù)的驗后測試樣本如表3所示。

表3 驗后歷次測試數(shù)據(jù)

表4 驗后分布參數(shù)

由這4套慣組得到的用于假設檢驗的當前測試樣本如表5所示。

表5 當前歷次測試數(shù)據(jù)

表6 貝葉斯因子

由于貝葉斯因子均大于1，所以接受原假設：H0:θ=θi0，i=1,2,3,4，這表明此誤差系數(shù)總體分布的參數(shù)符合正態(tài)分布，不同慣組其分布參數(shù)不同，同時分析結(jié)果也表明此誤差系數(shù)總體分布設為正態(tài)分布的合理性。

6 結(jié)論

將隨機加權(quán)最大熵法應用于對捷聯(lián)慣組歷次測試數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性分析，既能利用隨機加權(quán)法有效擴充測試次數(shù)的樣本信息，也能采用最大熵法充分利用樣本信息，盡量避免主觀因素的影響，有效減小驗前信息不確定性的影響，在驗后分布的基礎上進行統(tǒng)計推斷，可為進一步的捷聯(lián)慣組歷次測試數(shù)據(jù)時間序列建模與預報提供分析基礎。

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The Analysis of SIMU Successive Test Data Based on Combined Model

ZHANG Huanxin LI Xuefeng

Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing 100854, China

Aimingatthesmallsamplefeaturesofstrapdowninertialmeasurementunit(SIMU)successivetestdata,therandomweightingmethodandmaximumentropymethodareusedtogetthepriordistributionofpopulationparameterofsuccessivetestdataofSIMUwithpriorinformation,whenthedistributionformofpopulationparameterisknown.TheBayesianmethodisadoptedtodeterminetheposteriordistributionwiththepriorinformationandcurrentinformation,andthestatisticalcharacteristicofSIMUsuccessivetestdataarerevealedandtheerrorsofstatisticalanalysisinthecaseofsmallsamplesarereduced.

SIMU;Randomweightingmethod;Maximumentropymethod;Successivetestdata;Priordistribution;Smallsample

2013-02-04

張煥鑫(1984-),男，山東昌邑人，博士研究生，主要研究方向為控制系統(tǒng)綜合與小樣本建模；李學鋒(1966-)，男，陜西漢中人，研究員，博士研究生導師，主要研究方向為導航、制導與控制。

TJ765.1

A

1006-3242(2014)01-0040-04