楊建鋒

燎原無線電廠，成都610100

陀螺漂移和加速度計零偏都是隨機的，因此捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)是隨機系統(tǒng)。初始對準(zhǔn)誤差是捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的主要誤差來源之一。因此，在開始慣性導(dǎo)航之前，必須完成初始精對準(zhǔn)，使導(dǎo)航初值誤差最小。初始對準(zhǔn)的本質(zhì)是應(yīng)用Kalman 濾波器將失準(zhǔn)角和慣性儀表的隨機誤差作為狀態(tài)量，通過最優(yōu)估計的方法估計出來，達(dá)到消除失準(zhǔn)角和隨機誤差的目的。實際上由于儀表誤差和外界干擾的存在，上述誤差是不能被完全補償?shù)摹＠肒alman 濾波器進(jìn)行初始精對準(zhǔn)時，對可觀測狀態(tài)量，Kalman 濾波收斂可以估計出這些狀態(tài)量，而對不可觀測狀態(tài)量，Kalman濾波器無法估計出來。秩相同的矩陣，Kalman 濾波器效果也不相同，這是由于狀態(tài)量的可觀測性不同。因此，研究系統(tǒng)狀態(tài)量的可估計性，首先必須研究系統(tǒng)的可觀測性。

文獻(xiàn)［1］提出了利用Kalman 濾波協(xié)方差矩陣分析系統(tǒng)的可觀測性，以協(xié)方差矩陣的特征值大小來衡量觀測性的強弱。但是該方法只能在設(shè)計Kalman 濾波器時通過仿真來預(yù)估，不能直接通過系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程來分析。文獻(xiàn)［2］先用奇異值判別法與Кузовков 方法結(jié)合，確定不可觀測狀態(tài)量的選擇，然后利用找出的3 種情況7 階子系統(tǒng)，通過比較子系統(tǒng)奇異值的大小來確定最佳的可觀測性組合。這種方法要求先對系統(tǒng)進(jìn)行初步的分析，通過分析縮小不可觀測狀態(tài)量的范圍，不能直接判斷每個狀態(tài)量的可觀測性。本文應(yīng)用奇異值分解理論證明了一個關(guān)于不完全可觀測線性定常系統(tǒng)狀態(tài)量判別的定理，應(yīng)用定理直接分析了每個狀態(tài)量的可觀測性。

在SINS 初始對準(zhǔn)設(shè)計過程中，應(yīng)用Kalman 濾波器進(jìn)行狀態(tài)量的最優(yōu)估計，系統(tǒng)不完全可觀測，有3個狀態(tài)量無法估計。為分析出不可觀測的狀態(tài)量，證明了一個可用于定量分析的定理，應(yīng)用這個定理得出了SINS 初始對準(zhǔn)最佳觀測狀態(tài)的組合。通過應(yīng)用定理可以看出，該方法簡單且直觀。

1 初始對準(zhǔn)誤差方程

研究捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)靜基座初始對準(zhǔn)問題，由于是靜基座，因此所考慮的系統(tǒng)是線性定常系統(tǒng)，捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)初始對準(zhǔn)的誤差模型為:

狀態(tài)變量選擇:

在上述模型中選用東北天(East －North －Up)坐標(biāo)系為導(dǎo)航坐標(biāo)系，δV 和φ 分別代表速度和姿態(tài)誤差;▽和ε 分別代表加速度計零偏和陀螺漂移;式中，05×5和I5×5分別為指定維數(shù)的零矩陣和單位矩陣。

式中，ΩU= ωiesinβ，ΩN= ωiecosβ 為地球自轉(zhuǎn)角速度在東北天坐標(biāo)系下的2個分量，g = 9.8 m/s2和ωie= 7.292115 ×10－5rad/s 分別代表重力加速度和地球自轉(zhuǎn)角速度，β 為慣導(dǎo)系統(tǒng)推算的地理緯度(取β = 45° )，慣導(dǎo)系統(tǒng)的Kalman 濾波模型為:

式中，W 為系統(tǒng)噪聲陣，W = (wδVEwδVNwφEwφNwφU0 0 0 0 0)T，wδVE，wδVN，wφE，wφN和wφU均為零均值的高斯白噪聲。

采用水平速度誤差作為量測信號，則系統(tǒng)的觀測方程為:

其中，Z = (ΔVEΔVN)T表示量測陣，觀測噪聲陣V =(V1V2)T為零均值的高斯白噪聲過程，觀測矩陣H = (I2×202×8)。

分析系統(tǒng)的可觀測性矩陣:

由于rankQ = 7 ＜10 ，因此系統(tǒng)不是完全可觀測的，有3個狀態(tài)量不可觀測，但不知是哪3個狀態(tài)量，下面首先證明一個定理，然后應(yīng)用這個定理直接判斷每個狀態(tài)量的可觀測性。

2 用奇異值判斷狀態(tài)量的可觀測性

定 義 設(shè)A∈Cm×n，非負(fù)定陣AHA 的第i個特征值(i = 1，2，…，n)為λi(λi≥0 )，則稱σi=為A 的奇異值。

引 理(矩陣的奇異值分解) 設(shè)A ∈Rm×n，則存在正交矩陣U ∈Rm×n和V ∈Rm×n，使得A =其中∑= diag(σ1，σ2，…，σr)，對角元素按σ1≥σ2≥σ3…≥σr＞0 順序排列，而σi(i = 1，2，…，r)為矩陣A 的全部非零奇異值。

通過分析系統(tǒng)可觀測陣的奇異值，可以得到系統(tǒng)的可觀測性。奇異值越大，對狀態(tài)量的估計精度越高;當(dāng)系統(tǒng)的某個奇異值為0 時，估計問題就變成一個奇異問題，估計是無界的，狀態(tài)量不能由測量值確定，系統(tǒng)狀態(tài)量不可觀測。并且根據(jù)奇異值的大小，可以判斷狀態(tài)量的可觀測程度。奇異值越大，狀態(tài)量的可觀測性越好。

定 理 不完全可觀測的線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)量為n個，可觀測陣的秩為r(r ＜n)，逐一判斷狀態(tài)量的可觀測性:若去掉該狀態(tài)量后的子系統(tǒng)可觀測陣的秩仍為r，則該狀態(tài)量不可觀測;否則，該狀態(tài)量可觀測。

證明:先證命題的前半部分，反證，假設(shè)該狀態(tài)量可以觀測，由已知去掉該狀態(tài)量的子系統(tǒng)可觀測陣的秩仍為r，該子系統(tǒng)具有r個可觀測的狀態(tài)量，則由假設(shè)可知原系統(tǒng)具有r +1個可觀測的狀態(tài)量，這與可觀測陣的秩為r 相矛盾，因此假設(shè)不成立。該命題的前半部分成立。

若去掉該狀態(tài)量后的子系統(tǒng)可觀測陣的秩不是r，則一定小于r，子系統(tǒng)不可觀測的狀態(tài)量數(shù)目又增加了，說明該去掉的狀態(tài)量可以觀測，證明命題后半部分成立。

綜上所述，該命題成立。

矩陣秩的大小與所選精度eps有關(guān)，即當(dāng)矩陣中元素小于精度時，可將其視為0。如果精度選擇不當(dāng)，秩就不能說明問題。在具體問題中，選取動態(tài)系統(tǒng)中最小元素的10－4倍作為標(biāo)準(zhǔn)，小于標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)視為0。

系統(tǒng)可觀測陣的秩和奇異值見表1，應(yīng)用定理，可以得出系統(tǒng)不可觀測的狀態(tài)量為:▽E，▽N，εE，εN。

表1 系統(tǒng)可觀測陣的秩和奇異值(eps =5 ×10 －8)

共有4個狀態(tài)量不可觀測，這4個不可觀測的狀態(tài)量與文獻(xiàn)［3］得出的不可觀測狀態(tài)量是一致的。但這與判斷的只有3個狀態(tài)量不可觀測相矛盾，說明這4個狀態(tài)量可觀測性不一樣，即Kalman濾波器狀態(tài)估計收斂程度和精度不一樣。當(dāng)出現(xiàn)不可觀測的狀態(tài)量個數(shù)大于根據(jù)原系統(tǒng)可觀測陣得出的不可觀測狀態(tài)量個數(shù)時，可選取適當(dāng)精度eps，結(jié)合系統(tǒng)可觀測陣的秩與非零奇異值個數(shù)相等原理，應(yīng)用定理，分析出可觀測性較差的狀態(tài)量，得出一組可觀測性最佳的狀態(tài)量組合，使得系統(tǒng)狀態(tài)的可估計效果最好。

為比較出這4個狀態(tài)量的可觀測性，可以提高eps，由表1 中去掉的狀態(tài)量奇異值欄中最后3個奇異值分析，εN的第7個奇異值比其它3個的第7個奇異值小1個數(shù)量級，因此選取eps為1 ×10－4，小于該數(shù)則將其視為0，結(jié)合系統(tǒng)可觀測陣的秩與非零奇異值個數(shù)相等原理，由表1 中的數(shù)據(jù)可以判斷出去掉εN的子系統(tǒng)，由秩為7 的子系統(tǒng)降為秩為6 的子系統(tǒng)。根據(jù)定理得出εN由不可觀測狀態(tài)量變?yōu)榭捎^測狀態(tài)量，只是可觀測性較差。根據(jù)以上分析，由表1 中數(shù)據(jù)判斷出系統(tǒng)有3個不可觀測狀態(tài)量，分別為▽E，▽N和εE。因此，當(dāng)選取eps為1 ×10－4時，系統(tǒng)的可觀測性最高，也即系統(tǒng)的可估計效果最好。通過分析，系統(tǒng)有3個狀態(tài)量完全不可觀測，有1個狀態(tài)量的可觀測性很差，近乎為不可觀測。

應(yīng)用該定理分析線性定常系統(tǒng)的可觀測性時，設(shè)定一個適當(dāng)?shù)膃ps，可以直觀和快捷判斷出哪個狀態(tài)量可以觀測，哪個狀態(tài)量不可以觀測，而且適當(dāng)選取eps，還可以比較不可觀測狀態(tài)量的可觀測性，得出最佳的可觀測狀態(tài)量組合。

本文研究的可觀測性分析方法適應(yīng)性為:

1)對于線性時不變系統(tǒng)，由于它的系統(tǒng)方程和量測方程系數(shù)矩陣均為常數(shù)矩陣，因此可以適用;

2)對于線性時變系統(tǒng)的可觀測性，可以先將時變系統(tǒng)分段定?；?，建立分段式定常系統(tǒng)PWCS(Piece －Wise Constant System)模型，應(yīng)用本文的方法來分析各狀態(tài)量的可觀測性;

3)在工程應(yīng)用上，本文方法可應(yīng)用于慣組標(biāo)定工程實際問題，以及組合導(dǎo)航設(shè)計中的Kalman 濾波設(shè)計，通過系統(tǒng)方程和量測方程直接實現(xiàn)系統(tǒng)可觀測性分析，無需進(jìn)行Kalman 濾波運算，也不用進(jìn)行仿真。

3 結(jié)論

針對傳統(tǒng)奇異值分解理論定量分析系統(tǒng)可觀測性需要結(jié)合其它理論的缺點，本文提出了使用奇異值分解理論直接分析系統(tǒng)的可觀測性。證明了一個關(guān)于線性定常系統(tǒng)可觀性判斷的定理，應(yīng)用這個定理定量分析了捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)初始對準(zhǔn)每個狀態(tài)量的可觀測性，該分析法簡單、直觀，可以對任意線性定常系統(tǒng)直接進(jìn)行可觀測性分析，而無需了解該系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和關(guān)系。

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