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(戴南高級(jí)中學(xué) 江蘇興化 225721)

1 問(wèn)題的提出

先看一道例題:

解法1設(shè)t1=1-x2≤1,則

當(dāng)t1=0時(shí)，y=0;

解法1較繁瑣，在換元后得到的仍是一個(gè)分式函數(shù)，而解法2卻很簡(jiǎn)單，在換元后就變成了一個(gè)二次函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù)).

問(wèn)題1解法1與解法2所得的2個(gè)函數(shù)可以互化嗎？

問(wèn)題2雖然函數(shù)不同，但卻“殊途同歸”，難道分式函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)原本“近親”？

2 問(wèn)題的解決

2.1 問(wèn)題1的解決

即解法1所得函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為解法2所得函數(shù)，反之，解法2所得函數(shù)也可以轉(zhuǎn)化為解法1所得函數(shù)，這說(shuō)明2者是可以相互轉(zhuǎn)化的.

2.2 問(wèn)題2的解決

為什么分式函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)可以相互轉(zhuǎn)化呢？是不是所有的分式函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)都可以相互轉(zhuǎn)化呢？這背后又隱藏著怎樣的代數(shù)原理呢？這一連串的問(wèn)題不得不引起我們的思考.

在中學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的基本初等函數(shù)中，冪函數(shù)實(shí)際上是很值得深入研究的函數(shù).因?yàn)橛蓛绾瘮?shù)與冪函數(shù)的復(fù)合或加減乘除可以得到很多復(fù)雜的函數(shù)，比如：多項(xiàng)式函數(shù)、分式函數(shù)、無(wú)理函數(shù)，而這些復(fù)雜函數(shù)的值域也一直是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，可奇怪的是教材對(duì)冪函數(shù)的研究卻淺嘗輒止，甚是可惜.因此多項(xiàng)式函數(shù)與分式函數(shù)具有共同的祖先——冪函數(shù),既然具有共同的祖先，當(dāng)然是“近親”，也就必然可以互化了.

3 問(wèn)題的拓展

問(wèn)題3在中學(xué)數(shù)學(xué)中，還有類似的“近親”問(wèn)題嗎？答案是肯定的.

解由不等式ax2-bx+6>0的解集為(-2,3),可得：x1=-2，x2=3是方程ax2-bx+6=0的2個(gè)根且a<0,則

評(píng)析不等式與方程具有共同的祖先——函數(shù)，因此我們可以直接由不等式的解集得到方程的根，這也是教師經(jīng)常強(qiáng)調(diào)的3個(gè)“二次”之間的關(guān)系.

接下來(lái)方法很多，限于篇幅從略.

評(píng)析解法1將值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一條直線與一個(gè)橢圓之間的問(wèn)題；而解法2則將值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一條直線與一個(gè)圓之間的問(wèn)題.我們不禁想問(wèn)：圓與橢圓是“近親”嗎？在解析幾何中，我們知道：把圓(橢圓)沿某一方向均勻壓縮(或伸長(zhǎng))就會(huì)變成橢圓(圓)，因此圓與橢圓當(dāng)然是“近親”.

例4求函數(shù)y=2cos2x+sin2x的最小值.

設(shè)t=tanx+1,顯然當(dāng)t<0時(shí)，函數(shù)取到最小值，

評(píng)析中學(xué)數(shù)學(xué)用坐標(biāo)定義了三角函數(shù)，因此正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)相互都是“近親”，上述3種解法雖分別把原函數(shù)化為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)，但答案是一樣的，并且還可以相互轉(zhuǎn)化.

例5[1]甲、已2人相約于下午1：00～2：00之間到某車站乘公共汽車外出，他們到達(dá)車站的時(shí)間是隨機(jī)的，設(shè)在1：00～2：00之間有4班客車開(kāi)出，開(kāi)車時(shí)間分別為1：15，1：30，1：45，2：00，求他們?cè)谙率銮闆r下坐同一班車的概率.

(1)約定見(jiàn)車就乘；

(2)約定最多等一班車.

分析1此題是很典型的測(cè)度為面積的“幾何概型”，易得解法1.

解法1設(shè)甲、乙2人到達(dá)車站的時(shí)刻分別為1時(shí)15x分，則0≤x≤4，0≤y≤4，于是(x,y)的集合為D{(x,y)|0≤x≤4,0≤y≤4}.

(1)如圖1，設(shè)“甲、乙2人在約定見(jiàn)車就乘的情況下坐同一班車”為事件A，則

故所求事件A構(gòu)成的集合為

由幾何概型定義知，所求事件A的概率為

圖1 圖2

(2)如圖2，設(shè)“甲、乙2人在約定最多等一班車的情況下坐同一班車”為事件B,則

故所求事件B構(gòu)成的集合為