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(元濟(jì)高級中學(xué) 浙江海鹽 314300)

作者簡介盧明，1999年至今任海鹽元濟(jì)高級中學(xué)校長，現(xiàn)任浙江省中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)會理事、浙江省中小學(xué)信息技術(shù)教育學(xué)會理事、嘉興市數(shù)學(xué)學(xué)會副理事長、嘉興市教育學(xué)會理事、嘉興市中小學(xué)信息技術(shù)教育學(xué)會理事、海鹽縣教育學(xué)會副會長.浙江省特級教師，省首批中小學(xué)正高級教師、浙派教育家發(fā)展共同體成員、省“5522”中小學(xué)名校長培養(yǎng)人選、嘉興市首批中小學(xué)名校長、省“第16屆春蠶獎”獲得者、省勞動模范、嘉興市新世紀(jì)專業(yè)技術(shù)帶頭人，連續(xù)4屆被評為海鹽縣有突出貢獻(xiàn)的專業(yè)技術(shù)人才、海鹽縣首批功勛教師.

主要社會兼職有：教育部中小學(xué)教師“國培計劃”專家?guī)斐蓡T、華東師范大學(xué)教研員研修中心特聘講座教授、浙江省基礎(chǔ)教育研究中心特聘教授、湖州師范學(xué)院客座教授、浙江省普通高中新課程實驗工作專業(yè)指導(dǎo)委員會專家組成員、山東和海南省中小學(xué)教師新課程遠(yuǎn)程研修項目團(tuán)隊特聘專家、中國西部地區(qū)教育顧問.

主要科研成果有：近10年中，主持過3項省級規(guī)劃課題、2項省級專項課題、4項嘉興市級規(guī)劃課題的研究，成果分別獲得省級一、二、三等獎和嘉興市一、二等獎，公開發(fā)表論文40多篇，曾承擔(dān)國家級、省級、市級學(xué)術(shù)報告(講座)100多場.

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)之一．平面向量作為一塊獨(dú)立的內(nèi)容，有其自身的知識體系和獨(dú)特的思想方法．它有別于代數(shù)、幾何和三角，但又與它們有著緊密的聯(lián)系．鑒于平面向量內(nèi)容的上述特點(diǎn)，許多學(xué)生到了高三對向量學(xué)習(xí)尚未入門，沒有形成“向量思想”，遇到較靈活的題不知所措，思維沒有方向，錯誤率較高．高三平面向量復(fù)習(xí)如何解決以上問題，是困擾教師的一大難題．

筆者連續(xù)帶了6屆高三畢業(yè)生，結(jié)合自己對向量題目的解題規(guī)律研究，摸索出了一套從培養(yǎng)學(xué)生的“5種意識”入手，幫助學(xué)生形成“向量思想”，突破向量問題的解題困境，收到了良好的效果．現(xiàn)撰文與大家分享，以求共同探討．

1 “投影”意識

所謂“投影”意識，就是能自覺運(yùn)用向量的“投影”來解決實際問題的一種思維方式．其實，它是對向量數(shù)量積本質(zhì)的理解和把握．向量的數(shù)量積是向量知識中非常重要的核心知識，但許多學(xué)生對它的掌握往往只停留在膚淺運(yùn)用的層面，只會機(jī)械地套用公式、計算2個向量的數(shù)量積和求2個向量的夾角(或夾角的三角函數(shù)值)，缺乏對公式中隱含的“本質(zhì)信息”——向量“投影”的意義和價值的認(rèn)識．要想讓學(xué)生較深刻地理解和把握向量數(shù)量積的概念，必須強(qiáng)調(diào)對向量“投影”概念的理解與應(yīng)用．如：(1)讓學(xué)生結(jié)合數(shù)量積公式，說出b在a方向上的投影如何表示？(2)結(jié)合圖形，正確作出b在a方向上的投影；(3)通過直觀圖形，理解b在a方向上的“投影”|b|cos是一個數(shù)值，且可以為正數(shù)、0或負(fù)數(shù)，“投影”的符號取決于a與b夾角的大小，然后通過典型例題，進(jìn)一步強(qiáng)化“投影”思想在解決實際問題中的運(yùn)用．

圖1

向量的“投影”思想在高考命題中也頗受關(guān)注．

( )

A．∠ABC=90° B．∠BAC=90°

C．AB=ACD．AC=BC

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

本題解法較多，然而運(yùn)用“投影思想”和“排除法”，解題過程簡潔且通俗易懂．

圖2 圖3 圖4

若∠BAC=90°，設(shè)P為AB的中點(diǎn)，則P0是PB的中點(diǎn)(如圖3)，于是

綜上所述，選項D正確．

2 “幾何”意識

所謂“幾何”意識，是指能主動挖掘向量問題的幾何背景用以解題的一種思維方式．這種解題方法稱之為“幾何法”．我們知道，向量不僅擁有數(shù)的特性，還有形的特性，如向量的加法、減法符合平行四邊形法則和三角形法則；再如，若|a|=2，則向量a的幾何背景可以與圓建立聯(lián)系，等等．如果能將向量問題置于適當(dāng)?shù)膸缀伪尘爸?，就能夠使抽象問題直觀化，實現(xiàn)快速解題之目的．縱觀歷年浙江省平面向量高考試題的命題風(fēng)格，幾乎每道題都有一定的幾何背景，這種命題風(fēng)格充分體現(xiàn)了對向量本質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想的考查，突出了對考生思維靈活性和空間想象能力的檢測．因此在復(fù)習(xí)時，一方面要啟發(fā)學(xué)生主動挖掘向量的幾何背景，另一方面要讓學(xué)生注意總結(jié)向量問題中常用的一些幾何圖形和幾何元素．筆者認(rèn)為，向量問題中常用的幾何圖形主要有平行四邊形、三角形和圓；常用的幾何元素主要有平行四邊形的對角線，三角形的邊、中線、外心、重心、垂心，圓的半徑、圓周角、圓心角等．

例3已知a,b是平面內(nèi)2個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0,則c的最大值是

( )

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解由(a-c)·(b-c)=0知向量(a-c)⊥(b-c)，故可聯(lián)想到直徑上的圓周角．構(gòu)造圓O，使向量a-c和b-c的夾角恰為直徑上的圓周角(如圖5)．

由a⊥b得AB為直徑，故

(a-c)⊥(b-c)，

圖5 圖6

例4若非零向量a,b滿足|a+b|=|b|，則

( )

A．|2a|>|2a+b| B．|2a|<|2a+b|

C．|2b|>|a+2b| D．|2b|<|a+2b|

(2007年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析注意挖掘|a+b|=|b|的“幾何背景”，將它們看作是一個圓的2條半徑．

圖7 圖8

綜上所述，選項C正確．

點(diǎn)評以上解法，通過挖掘向量的幾何背景，利用數(shù)形結(jié)合的方法，對一些幾何元素進(jìn)行分析，避免了復(fù)雜的運(yùn)算過程，既直觀又形象，達(dá)到了事半功倍的效果．在構(gòu)造幾何圖形的過程中，充分發(fā)揮了學(xué)生的空間想象力，促進(jìn)了數(shù)學(xué)思想的形成．

3 “坐標(biāo)”意識

所謂“坐標(biāo)”意識，是指通過構(gòu)建直角坐標(biāo)系，將向量改用坐標(biāo)來表示，使向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來處理的一種思維方式．這種解題方法稱之為“坐標(biāo)法”．“坐標(biāo)法”是解決向量問題的一條重要途徑，其優(yōu)點(diǎn)是思維方式比較“固定”，學(xué)生容易掌握，關(guān)鍵是合理建立直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確算出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)．為強(qiáng)化學(xué)生的“坐標(biāo)”意識，可以經(jīng)常提醒學(xué)生，當(dāng)用別的方法難以奏效時，不妨用“坐標(biāo)法”來嘗試一下．

例5已知向量a,b滿足|a|=|b|=a·b=2，且(a-c)·(b-2c)=0，則|b-c|的最大值為______．

(a-c)· (b-2c)=

顯然，當(dāng)C運(yùn)動到點(diǎn)B與點(diǎn)M之間，且點(diǎn)B,C,M共線時，

圖9 圖10

于是

從而

1≤x+y≤2．

點(diǎn)評教師要提醒學(xué)生：在構(gòu)建坐標(biāo)系時，2個坐標(biāo)軸不一定要處于“標(biāo)準(zhǔn)”位置．對于可變向量c的坐標(biāo)的設(shè)法可以有不同的形式，如例5采用的是“實數(shù)式”，變式采用的是“參數(shù)”(θ為參數(shù))，目標(biāo)都是為了構(gòu)造熟悉的問題情境，從而方便后面的計算，實現(xiàn)解題策略的優(yōu)化．

如果將變式中的“求x+y的最值”改為“求x+3y的最值”，請讀者嘗試解答一下，進(jìn)一步體會“坐標(biāo)法”的優(yōu)勢．

4 “點(diǎn)積”意識

所謂“點(diǎn)積”意識，就是在一個含有向量關(guān)系的等式2邊同時“點(diǎn)積”一個適當(dāng)?shù)姆橇阆蛄浚严蛄筷P(guān)系的等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，實現(xiàn)化簡之目的的一種思維方式．用到的知識點(diǎn)還是向量的數(shù)量積，問題的關(guān)鍵是要斟酌“點(diǎn)積”一個什么向量容易達(dá)成化簡目的．“點(diǎn)積”也包括對含有向量關(guān)系的等式2邊同時進(jìn)行平方，下面結(jié)合實例進(jìn)行說明．

解三角形的外心是3條邊中垂線的交點(diǎn)．設(shè)D,E分別為AB,AC的中點(diǎn)(如圖11)，則

128x+100y=4(32x+25y)=100,

圖11 圖12

(2007年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

即

5 “基底”意識

所謂“基底”意識，是指有預(yù)見性地選擇適當(dāng)?shù)摹盎住?，并用“基底”來表示有關(guān)向量，以實現(xiàn)化歸的一種思維方式．“基底”意識的本質(zhì)是平面向量基本定理的靈活運(yùn)用，難點(diǎn)是如何選擇“基底”有利于簡化運(yùn)算．下面結(jié)合實例加以說明．

圖13

又點(diǎn)A,P,N共線，同理

由式(1)，(2)得

故

CP∶PM=4∶1．

又點(diǎn)A,P,N共線，于是

由式(3)，(4)得

故

CP∶PM=4∶1．

點(diǎn)評由例8的2種解法不難發(fā)現(xiàn)，“基底”選的是否恰當(dāng)直接影響解題過程的簡潔性．2種解法中多處涉及到了3個點(diǎn)共線時如何選擇“基底”．要使學(xué)生能夠具備有預(yù)見性地選擇“基底”的能力，需要平時有意識地加強(qiáng)培養(yǎng)，幫助學(xué)生積累經(jīng)驗．

圖14

故點(diǎn)A，P，D共線．

再由“中線向量”模型得

點(diǎn)評例9的解答2次用到了三角形“中線向量”模型．

總之，平面向量復(fù)習(xí)強(qiáng)調(diào)關(guān)注學(xué)生“5種意識”的培養(yǎng)，其目的就是幫助學(xué)生解決向量學(xué)習(xí)的入門問題，即“授之以漁”．有了這“5種意識”，學(xué)生就能形成“向量思想”，能夠在解決實際問題時迅速找到思維的突破口，形成有效的思維成果．需要指出的是，這“5種意識”對應(yīng)著5種不同的解題方法，每一種方法都有其優(yōu)勢和局限性．不同的問題需要用不同的方法，盡管有的問題可以用多種方法去解決，但是仔細(xì)考量后不難發(fā)現(xiàn)：不同的方法其解題過程的復(fù)雜程度差異較大．

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)追求的不僅僅是把題做“對”，更看重的是要把題做“好”，即追求解題策略的“最優(yōu)化”．為此，只讓學(xué)生擁有這“5種意識”還不夠，還要在面對具體問題時能夠迅速作出判斷，選擇“最優(yōu)化”解題策略．這是一種學(xué)習(xí)境界，要達(dá)到這樣的境界，需要伴隨豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)歷和經(jīng)驗的積累，而不是簡單的模仿操練．以筆者之見，知識不是教師教會的，而是學(xué)生自己學(xué)會的，學(xué)習(xí)應(yīng)該是學(xué)生親力親為的事，別人無法替代．基于這樣的認(rèn)識，筆者在向量復(fù)習(xí)時非常重視學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)歷的設(shè)計，精心組織課程資源，積極創(chuàng)造條件讓學(xué)生多嘗試、多交流，鼓勵學(xué)生一題多解，在各種不同的解法中讓學(xué)生自己去比較、體會、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，積累經(jīng)驗，從而提升能力．