李澤荃 白玉奇 張瑞新 溫曉可 巴全光 郝亦純

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京)資源與安全工程學(xué)院，北京 100083)

巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)的小世界特性

李澤荃 白玉奇 張瑞新 溫曉可 巴全光 郝亦純

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京)資源與安全工程學(xué)院，北京 100083)

巖體中裂隙的分布是研究巖體內(nèi)部滲透性和巖體穩(wěn)定性的關(guān)鍵。自然界存在的交錯(cuò)分布的巖體裂隙可以看作為一種網(wǎng)絡(luò)形態(tài)，從此觀點(diǎn)出發(fā)，應(yīng)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論中相關(guān)參數(shù)對(duì)這種裂隙網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了分析。分析結(jié)果認(rèn)為，巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)擁有較小的平均最短路徑長度和較大的集聚系數(shù)，也就是說，裂隙網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出小世界特性。對(duì)于分析巖體裂隙的滲透性或者漿體移動(dòng)規(guī)律等具有輔助作用。

巖體裂隙 小世界網(wǎng)絡(luò) 集聚系數(shù) 平均最短路徑長度

在巖體工程建設(shè)中，經(jīng)常涉及到地下硐室、邊坡等的穩(wěn)定性，而這些工程巖體的開挖面常常分布著大量的結(jié)構(gòu)面。巖體中的結(jié)構(gòu)面，除了確定性的規(guī)模較大的斷層外，還包含著成千上萬的節(jié)理與裂隙，這些微小的不確定性的結(jié)構(gòu)面嚴(yán)重地影響著巖體的各種力學(xué)特性。目前，對(duì)于巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)的研究都是基于概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，通過統(tǒng)計(jì)分析得到裂隙的分布規(guī)律，采用隨機(jī)模擬的方法實(shí)現(xiàn)與統(tǒng)計(jì)分布相適應(yīng)的裂隙網(wǎng)絡(luò)[1-4]。然后通過分析所得到的模擬裂隙網(wǎng)絡(luò)，對(duì)巖體的穩(wěn)定性進(jìn)行判定。王宏等[5]就是利用節(jié)理網(wǎng)絡(luò)模擬技術(shù)進(jìn)行了邊坡的穩(wěn)定性分析，通過分析巖體本身節(jié)理的狀態(tài)，給出了工程狀態(tài)下巖體的臨界途徑圖，而且預(yù)測了巖體本身的破壞模型。

進(jìn)入20世紀(jì)90年代，國內(nèi)外一些研究人員開始采用非線性理論或者復(fù)雜系統(tǒng)理論進(jìn)行巖土穩(wěn)定性的研究。陳劍平在文獻(xiàn)[6]中，嘗試采用了耗散結(jié)構(gòu)理論進(jìn)行了巖土體變形分析，研究發(fā)現(xiàn)巖土體工程災(zāi)害系統(tǒng)的相空間是復(fù)雜的，其吸引子為分?jǐn)?shù)形式，巖土體變形過程中的失穩(wěn)是一種耗散結(jié)構(gòu)。湯連生和周萃英分別在文獻(xiàn)[7-8]中，采用非線性動(dòng)力學(xué)模型對(duì)滑坡失穩(wěn)破壞進(jìn)行了成功的預(yù)測，認(rèn)為巖土體工程災(zāi)變是系統(tǒng)內(nèi)各要素通過一系列非平衡不穩(wěn)定產(chǎn)生的空間的、時(shí)間的、功能的和結(jié)構(gòu)的自組織過程，提出了新的研究思路。1985年起，謝和平院士在多篇文獻(xiàn)[9-11]中創(chuàng)造性地引入了復(fù)雜系統(tǒng)理論中的分形方法對(duì)裂隙巖體進(jìn)行非連續(xù)變形、強(qiáng)度和斷裂破壞的研究，形成了巖石損傷斷裂的分形幾何新領(lǐng)域。張我華等在文獻(xiàn)[12]中，從系統(tǒng)及能量突變的觀點(diǎn)出發(fā)，采用突變理論中的尖點(diǎn)突變模型分析了巖體破壞的過程，提出了新的判斷巖體工程系統(tǒng)破壞失穩(wěn)的能量突變判斷準(zhǔn)則。

近年來，對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)及其跨學(xué)科的研究已經(jīng)出現(xiàn)爆炸式的增長，一些新的概念及研究方法的出現(xiàn)使得研究網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上升到一個(gè)新的階段[13]。其中，在巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)研究領(lǐng)域，國外學(xué)者已經(jīng)開始運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論進(jìn)行分析。Luca Valentini等在文獻(xiàn)[14]中，利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論對(duì)3種不同尺度的巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了分析，認(rèn)為巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)是一種小世界網(wǎng)絡(luò)，可以采用小世界網(wǎng)絡(luò)的一些特性研究巖體滲透性和穩(wěn)定性。H.Ghaffari應(yīng)用圖論理論解釋了巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)中的一些網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮匦?，并?duì)巖體的滲透性進(jìn)行了分析。C.A.Andresen在他的博士論文[15]中提出了一種新的自然裂隙網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為抽象拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)的方法，并采用該方法對(duì)8種露頭裂隙網(wǎng)絡(luò)和人工生成的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了計(jì)算。H.O.Ghaffari等以粗糙裂隙面為研究對(duì)象，把裂隙面看成一種網(wǎng)絡(luò)，采用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論孔徑算法(CONA)計(jì)算了該網(wǎng)絡(luò)諸如度分布、集聚系數(shù)等拓?fù)鋮?shù)，并分析了網(wǎng)絡(luò)中邊重新連接對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)演化的影響[16-17]。H.O.Ghaffari等采用波爾茲曼和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論研究了巖體裂隙中流通性的變化對(duì)液體流動(dòng)復(fù)雜性的影響，文中考慮了一般性隨機(jī)網(wǎng)和具有局部中心的隨機(jī)網(wǎng)2種網(wǎng)絡(luò)，結(jié)果認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)中平均最短路徑的變化對(duì)液體流動(dòng)產(chǎn)生較大的影響。

本研究將在前人研究的基礎(chǔ)上，應(yīng)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論對(duì)巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析，找出巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)的部分拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性，驗(yàn)證其小世界性質(zhì)。

1 裂隙網(wǎng)絡(luò)的表示方法

自然界巖體中存在的裂隙呈網(wǎng)狀形式分布，我們無法對(duì)它進(jìn)行直接拓?fù)溆?jì)算，需要將這些呈網(wǎng)狀分布的裂隙轉(zhuǎn)化為實(shí)際意義上的拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)。國外的學(xué)者在此領(lǐng)域做了一定的探索，普遍采用的主要有2種表示方法。如圖1所示為第1種方法，自然存在的裂隙網(wǎng)絡(luò)用圖論中的節(jié)點(diǎn)和邊表示，裂隙的端頭或者裂隙的交點(diǎn)表示為節(jié)點(diǎn)，裂隙線表示為邊[14]；之后可將圖轉(zhuǎn)化為鄰接矩陣進(jìn)行計(jì)算。第2種方法如圖2所示，每一條裂隙被認(rèn)為是一個(gè)節(jié)點(diǎn)，當(dāng)2條裂隙相交時(shí)被認(rèn)為2條裂隙(節(jié)點(diǎn))有關(guān)系，用1條邊連接這2個(gè)節(jié)點(diǎn)[15]。

圖1 表示方法1

圖2 表示方法2

2 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

2.1 基本網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)計(jì)特性

度(degree)：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的連線數(shù)目稱為該節(jié)點(diǎn)的度。例如，有6條連接線的節(jié)點(diǎn)的度就是6。平均度為整個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度的平均數(shù)。

集聚系數(shù)(clustering coefficient)[18]：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，集聚系數(shù)用來刻畫所關(guān)心的某個(gè)節(jié)點(diǎn)的直接鄰居節(jié)點(diǎn)間也相互連接的程度。假設(shè)某一節(jié)點(diǎn)A有n個(gè)近鄰點(diǎn)，那么這n個(gè)節(jié)點(diǎn)之間最多有n(n-1)/2條邊，那么該點(diǎn)的集聚系數(shù)為這n個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的實(shí)際連接數(shù)目m除以n(n-1)/2，即

因此，網(wǎng)絡(luò)的集聚系數(shù)表示為

平均最短路徑長度(average shortest path-length)[18-19]：一個(gè)網(wǎng)絡(luò)上的平均最短路徑長度定義為該網(wǎng)絡(luò)上所有存在的節(jié)點(diǎn)距離的平均值，代表網(wǎng)絡(luò)的直徑。平均最短路徑長度表示為

其中，l代表網(wǎng)絡(luò)平均最短路徑長度，N代表網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)，dij代表不同的兩點(diǎn)間的最短路徑長度。

2.2 小世界網(wǎng)絡(luò)

1998年，Watts和Strogatz創(chuàng)造性地構(gòu)造出了一種介于規(guī)則網(wǎng)和隨機(jī)網(wǎng)之間的網(wǎng)絡(luò)，稱之為小世界網(wǎng)絡(luò)[20]。該網(wǎng)路同時(shí)擁有較小的平均最短路徑長度和較大的集聚系數(shù)，后者明顯有別于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型；而且小世界網(wǎng)絡(luò)中，大部分的節(jié)點(diǎn)度相差不大，節(jié)點(diǎn)度近似服從Poisson分布。

3 巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮匦苑治?/h2>

3.1 分析方法

單純地驗(yàn)證某種網(wǎng)絡(luò)為小世界網(wǎng)絡(luò)有一定局限性，我們將采用對(duì)比分析的方法來計(jì)算網(wǎng)絡(luò)的小世界特性。通過把自然裂隙網(wǎng)絡(luò)與理論小世界網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行比較，找出其相似性，進(jìn)而驗(yàn)證其屬性，而且規(guī)則網(wǎng)和隨機(jī)網(wǎng)也作為參考點(diǎn)。本研究選用3個(gè)露頭樣本巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)與理論小世界網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行對(duì)比分析。圖3為一種露頭巖體裂隙，圖4為手工轉(zhuǎn)化后的部分裂隙網(wǎng)絡(luò)。再者，理論網(wǎng)絡(luò)的生成和網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)計(jì)參數(shù)的計(jì)算都采用應(yīng)用比較廣泛的Pajek網(wǎng)絡(luò)分析軟件。圖4中的網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為鄰接矩陣，然后輸入到Pajek進(jìn)行計(jì)算，圖5為Pajek導(dǎo)出的網(wǎng)絡(luò)圖。

圖3 露頭巖體裂隙

3.2 結(jié)果與討論

自然裂隙網(wǎng)絡(luò)和理論網(wǎng)絡(luò)計(jì)算結(jié)果如表1所示。從表1可以看出，隨機(jī)網(wǎng)表現(xiàn)出較小的平均最短路徑長度和較小的集聚系數(shù)，規(guī)則網(wǎng)表現(xiàn)出較大的平均路徑長度和集聚系數(shù)。而小世界網(wǎng)絡(luò)則相反，表現(xiàn)出較小的平均最短路徑長度和較大的集聚系數(shù)。從表1還可以看出，自然巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)擁有較小的平均最短路徑長度和較大的集聚系數(shù)，與理論計(jì)算出的小世界網(wǎng)絡(luò)具有相似的特性。因此，可以認(rèn)為自然界存在的巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)具有小世界特性。對(duì)于分析巖體裂隙的滲透性等性質(zhì)，可以應(yīng)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論進(jìn)行計(jì)算。

圖4 轉(zhuǎn)化后的部分裂隙網(wǎng)絡(luò)

圖5 Pajek導(dǎo)出的網(wǎng)絡(luò)

表1 網(wǎng)絡(luò)參數(shù)計(jì)算結(jié)果Table 1 Network parameters calculation summeries

4 結(jié) 論

近年來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)成為不同學(xué)科(包括地質(zhì)學(xué)、力學(xué)、物理、生物、通信、社會(huì)等)中的熱點(diǎn)研究方向。隨著研究的深入，在諸多方面都取得了長足的進(jìn)展。本研究在前人研究的基礎(chǔ)上，從一個(gè)獨(dú)特的角度把巖體裂隙看成一種網(wǎng)絡(luò)形式進(jìn)行分析。通過對(duì)轉(zhuǎn)化后的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行計(jì)算，認(rèn)為巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)具有小世界特性，即擁有較小的平均最短路徑長度和較大的集聚系數(shù)。本研究只是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論應(yīng)用于巖體裂隙分析的一個(gè)嘗試，對(duì)于此問題的研究將有助于分析巖體的滲透性及內(nèi)部物質(zhì)的流動(dòng)性，例如，瓦斯的流動(dòng)總是依賴于巖體局部的貫通性，如果了解了巖體內(nèi)部裂隙網(wǎng)絡(luò)的特征路徑，可以對(duì)瓦斯流動(dòng)狀況進(jìn)行預(yù)測。

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(責(zé)任編輯 石海林)

The “Small-world” Characteristics of Rock Fracture Networks

Li Zequan Bai Yuqi Zhang Ruixin Wen Xiaoke Ba Quanguang Hao Yichun

(SchoolofResourceandSafetyEngineering，ChinaUniversityofMiningandTechnology(Beijing)，Beijing100083,China)

The distribution law of fracture in rock mass is the key to study rock permeability and engineering stability.Rock fractures of staggered distribution which exist in nature can be looked as a kind of network.Based on this view，the fracture networks are analyzed by using complex network theory with relevant parameters.The results showed that rock fracture networks owned low average shortest path-length and high clustering coefficient.In other words，rock fracture networks appear the properties of “small-world”.The results have an auxiliary effect on analyzing rock permeability and magma displacement law.

Rock fracture，Small-world network，Clustering coefficient，Average shortest path-length

2013-12-01

李澤荃(1983—)，男，博士研究生。

P618.11，TE112

A

1001-1250(2014)-04-049-04