盛鴻宇

(北京聯(lián)合大學(xué)電子信息技術(shù)實(shí)驗(yàn)實(shí)訓(xùn)基地，北京100101)

在CAGD中，均勻B樣條是一個(gè)很有用的工具，但也有不足的地方，如對(duì)給定控制點(diǎn)，均勻B樣條曲線的位置也是確定的，如果要調(diào)整曲線形狀需調(diào)整控制多邊形.為此，人們作了不同探索，提出了用張量參數(shù)構(gòu)造曲線的方法［1-2］，有理Bézier曲線和有理B樣條曲線［3-4］及其它類(lèi)型的可調(diào)形狀有理曲線［5-6］，另外，CB-樣條曲線［7］Barsky構(gòu)造的β樣條曲線［8］，韓旭里等對(duì)三次均勻B樣條曲線的擴(kuò)展［9］，帶形狀參數(shù)的均勻B樣條［10］及帶形狀參數(shù)的三角多項(xiàng)式均勻B樣條［11］等，它們都可通過(guò)對(duì)形狀參數(shù)改變調(diào)整曲線形狀.以上各種方法美中不足的是當(dāng)參數(shù)值改變時(shí)這些曲線整體變動(dòng)，不能對(duì)曲線作局部調(diào)整.本文構(gòu)造的四次帶雙參數(shù)均勻B樣條，曲線既可作整體變動(dòng)，又可局部調(diào)整，λ控制整條曲線位置，當(dāng)λ固定時(shí)，各曲線段端點(diǎn)固定，改變參數(shù)μ可以對(duì)曲線段在保持端點(diǎn)不動(dòng)的情況下進(jìn)行局部調(diào)控.如果λ固定，改變參數(shù)μ且各曲線段μ取同一值時(shí)，所構(gòu)造的曲線C1連續(xù).如果λ固定，改變參數(shù)μ且各曲線段μ取不同值時(shí)，所構(gòu)造的曲線G1連續(xù).三次均勻B樣條是本文特例.

1 曲線構(gòu)造與連續(xù)性

定義1 對(duì)t∈［0，1］，λ，μ∈R，稱關(guān)于t的多項(xiàng)式

定理2 (1)當(dāng)μ=-1/2時(shí)，bi(t)(i=0，1，2，3)是文獻(xiàn)［10］中的帶形狀參數(shù)四次均勻B樣條基；(2)當(dāng)λ=0，μ=-1/2時(shí)，bi(t)(i=0，1，2，3)是三次均勻B樣條基.

證明 把μ=-1/2與λ=0，μ=-1/2代入(1)式計(jì)算可得(1)與(2).

圖1分別給出了μ固定λ變動(dòng)(a圖)以及λ固定μ變動(dòng)(b圖)時(shí)，調(diào)配函數(shù)首尾相接的曲線圖.

圖1 調(diào)配函數(shù)圖

由式(1)可以定義帶雙參數(shù)λ，μ的四次均勻B樣條曲線.

定義2 給定控制點(diǎn)Pi∈Rd(d=2，3；i=±1，±2，…)和均勻節(jié)點(diǎn)… ＜ti＜ti+1＜…，對(duì)t∈［ti，ti+1］定義帶雙參數(shù)的四次均勻B樣條曲線段：

定理3 由式(3)構(gòu)造的曲線具有如下性質(zhì)：

(1)當(dāng)λ固定，μ改變且各曲線段μ取相同值時(shí)，曲線C1連續(xù)；

(2)當(dāng)λ固定，各曲線段μ取不同值時(shí)，曲線G1連續(xù).

證明 直接計(jì)算得

2 參數(shù)λ，μ對(duì)曲線的調(diào)控情況

定理4 當(dāng)λ固定時(shí)，曲線段(2)端點(diǎn)固定，改變參數(shù)μ可以對(duì)曲線在保持端點(diǎn)不動(dòng)的情況下進(jìn)行局部調(diào)控.

證明 由定理3的證明中ri(λ，μ；0)與ri(λ，μ；1)可知，曲線段ri(λ，μ，ti)只與λ有關(guān)而與μ無(wú)關(guān)，故當(dāng)λ固定時(shí)，曲線段端點(diǎn)固定.

圖2分別給出了μ固定λ變動(dòng)(a圖)以及λ固定μ變動(dòng)(b圖)時(shí)，曲線段的變動(dòng)情況示例圖.

圖2 形狀參數(shù)影響效果圖

3 曲線應(yīng)用實(shí)例圖

與三次均勻B樣條曲線一樣，對(duì)四次帶雙參數(shù)均勻B樣條曲線若要求曲線以P1和Pn分別為起點(diǎn)和終點(diǎn)，并且在P1和Pn處的切線分別為P1P2和Pn-1Pn時(shí)，只要增加兩個(gè)頂點(diǎn)P0=2P1-P2和Pn+1=2Pn-Pn-1，其中P0，P1，…，Pn+1是曲線(3) 的控制多邊形.當(dāng)要構(gòu)造封閉曲線(P1=Pn)時(shí)，只要對(duì)控制多邊形多取兩個(gè)頂點(diǎn)Pn+1=P2，Pn+2=P3.

圖3分別給出了μ固定λ變動(dòng)的開(kāi)曲線(a圖)閉曲線(b圖).

圖3 μ=-1/2，λ=1，-0.8，-2.6，-4.4的開(kāi)曲線閉曲線

圖4 酒瓶效果圖

圖4中a圖是μ=-1/2且λ=-3.2即文獻(xiàn)［10］中λ=-3.2時(shí)帶形狀參數(shù)四次均勻B樣條所構(gòu)成的葡萄酒瓶，b圖與c圖是用本文基函數(shù)構(gòu)造的λ=-3.2，μ變動(dòng)所構(gòu)成的不同形狀的葡萄酒瓶.

4 小結(jié)

本文方法可以生成位于三次均勻B樣條附近的不同曲線，C1連續(xù).參數(shù)λ，μ都能調(diào)整曲線形狀，λ控制整條曲線位置，當(dāng)λ固定時(shí)，各曲線段端點(diǎn)固定，改變參數(shù)μ可以對(duì)曲線段在保持端點(diǎn)不動(dòng)的情況下進(jìn)行局部調(diào)控.如果λ固定，改變參數(shù)μ且各曲線段μ取同一值時(shí)，所構(gòu)造的曲線C1連續(xù).如果λ固定，改變參數(shù)μ且各曲線段μ取不同值時(shí)，所構(gòu)造的曲線G1連續(xù).當(dāng)μ =-1/2時(shí)，就是文獻(xiàn)［10］中的帶形狀參數(shù)四次均勻B樣條基.三次均勻B樣條是本文特例，當(dāng)λ=0，μ=-1/2時(shí)，就是三次均勻B樣條.所給圖形實(shí)例說(shuō)明運(yùn)用本文方法進(jìn)行曲線設(shè)計(jì)是很有效的.

［1］Gregory J A，Sarfraz M.A rational cubic spline with tension［J］.Computer Aided Geometric Design，1990，7(1/4)：1-13.

［2］Joe B.Multiple.Knot and rational cubic Beta-Splines［J］.ACM.Transactions on Graphics，1989，8(2)：100-200.

［3］Hoschek J.Lasser D.Fundamentals of Computer Aided Geometric Design［M］.Wellesley，MA：A K Peters，1993.

［4］Piegl L，Tiller W.The NURBS Book［M］.New York：Springer，1995：52-89.

［5］Goodman T N T.Constructing piecewise rational curves with Frenet frame continuity［J］.Computer Aided Geometric Design，1990，7(1/4)：15-31.

［6］Joe B.Quartic Beta-Splines［J］.ACM Transactions on Graphics，1990，9(3)：301-337.

［7］Jiwen Zhang.C-curves：An extension of cubic curves［J］.Computer Aided Gometric Design，1996，13(3)：199-217.

［8］Barsky B A.Computer Graphics and Geometric Modeling Using Beta_Spline［M］.Heidelberg：Springer-Verlag，1988：100-150.

［9］韓旭里，劉圣軍.三次均勻B樣條曲線的擴(kuò)展［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2003，15(5)：576-578.

［10］王文濤，汪國(guó)昭.帶形狀參數(shù)的均勻B樣條［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2004，16(6)：783-788.

［11］王文濤，汪國(guó)昭.帶形狀參數(shù)的三角多項(xiàng)式均勻 B樣條［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2004，28(7)：1192-1198.