涂天明+黃學(xué)波

一、選擇題：本大題共８小題，每小題５分，共４０分，每小題只有一項(xiàng)符合題目要求．

１． 復(fù)數(shù)１－■在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

Ａ． 第一象限 Ｂ． 第二象限

Ｃ． 第三象限 Ｄ． 第四象限

２． 若集合Ａ＝（０，＋∞），Ｂ＝｛－１，１｝，則下列結(jié)論正確的是（）

Ａ． Ａ∩Ｂ＝｛－１｝ Ｂ． （ＣＲＡ）∪Ｂ＝（－∞，０）

Ｃ． Ａ∪Ｂ＝（０，＋∞） Ｄ．（ＣＲＡ）∩Ｂ＝｛－１｝

３． 下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是增函數(shù)的是（）

Ａ． ｙ＝－ｘ３，ｘ∈ＲＢ． ｙ＝（■）■

Ｃ． ｙ＝－ｘ２＋１，ｘ∈（－∞，０） Ｄ． ｙ＝－ｌｎｘ，ｘ∈（０，＋∞）

４． 在２００米高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為３００，６００，則塔高為（）

Ａ． ■米 Ｂ． ■米

Ｃ． ■米 Ｄ． ■米

５． 給定定義：若一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，則稱該幾何體叫“完美幾何體”，那么球、三棱錐、正方體、圓柱這四種幾何體可以是“完美幾何體”的有（）個(gè)

Ａ． １Ｂ． ２Ｃ． ３Ｄ． ４

６． 定義“?茚”表示一種兩個(gè)正實(shí)數(shù)之間的運(yùn)算，即ｍ?茚ｎ＝■＋ｍ＋ｎ，ｍ，ｎ是正實(shí)數(shù)，已知１?茚ｋ＝３，則函數(shù)ｆ（ｘ）＝ｋ?茚ｘ的值域是（）

Ａ． ［０，＋∞）Ｂ． ［１，＋∞）Ｃ． （０，＋∞）Ｄ． （１，＋∞）

７．已知等差數(shù)列｛ａｎ｝的前ｎ項(xiàng)和為Ｓｎ，若■＝ａ１■＋ａ■■，且Ａ、Ｂ、Ｃ三點(diǎn)共線（且該直線不過(guò)原點(diǎn)），則Ｓ２０１４＝（）

Ａ． １００６Ｂ． １００７Ｃ． ２０１４Ｄ． ２０１５

８． 若圓ｘ２＋ｙ２－４ｘ－４ｙ－１０＝０上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線ｌ∶ａｘ＋ｂｙ＝０的距離為２■，則直線ｌ的傾斜角的取值范圍是

（）

Ａ． ［■，■］Ｂ． ［■，■］

Ｃ． ［■，■］ Ｄ． ［０，■］

非選擇題部分（共１１０分）

二、填空題：本大題共６小題，每小題５分，共３０分．

必做題：

９． 已知隨機(jī)變量?孜服從正態(tài)分布Ｎ（２，?滓２），且Ｐ（?灼＜０）＝０．２，則Ｐ（０＜?灼＜４）＝．

１０． 在（１＋ｘ）２０１２＋（１＋ｘ）２０１３＋（１＋ｘ）２０１４的展開(kāi)式中，ｘ的系數(shù)為＿＿＿＿＿＿（用數(shù)字作答） ．

１１． 已知關(guān)于ｘ的不等式（ａｘ＋１）（ｘ＋２）＜０的解集是（－∞，－２）∪（１，＋∞），則ａ＝．

１２． 命題：“若空間兩條直線ａ，ｂ分別垂直平面?琢，則ａ∥ｂ”，考生小王這樣證明：

設(shè)ａ，ｂ與面?琢分別相交于Ａ、Ｂ，連結(jié)Ａ、Ｂ，

∵ａ⊥?琢， ｂ⊥?琢，ＡＢ?奐?琢 ……①

∴ａ⊥ＡＢ，ｂ⊥ＡＢ…………②

∴ａ∥ｂ ………………………③

這里的證明有兩個(gè)推理，即：①?圯②和②?圯③． 老師評(píng)改認(rèn)為小王的證明推理不正確，這兩個(gè)推理中不正確的是．

１３．我省沿海某市經(jīng)常遭遇洪澇災(zāi)害，為防洪防災(zāi)決定大面積植樹(shù)造林，在如圖所示區(qū)域｛（ｘ，ｙ）｜ｘ≥０，ｙ≥０｝內(nèi)植樹(shù)，第一棵樹(shù)在Ａ１（０，１）點(diǎn)，第二棵樹(shù)在Ｂ１（１，１）點(diǎn)，第三棵樹(shù)在Ｃ１（１，０）點(diǎn)，第四棵樹(shù)在Ｃ２（２，０）點(diǎn)，以此類推，接著按圖中箭頭方向，每隔一個(gè)單位種一顆樹(shù)，那么，第２０１４棵樹(shù)所在的點(diǎn)的坐標(biāo)是．

選做題：

１４． （幾何證明選做題）如上圖，已知圓中兩條弦ＡＢ與ＣＤ相交于點(diǎn)Ｆ，Ｅ是ＡＢ延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且ＤＦ＝ＣＦ＝■，ＡＦ ∶ ＦＢ ∶ ＢＥ＝４ ∶ ２ ∶ １，若ＣＥ與圓相切，則線段ＣＥ的長(zhǎng)為．

１５． （坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講選做題）若動(dòng)點(diǎn)Ｐ（ｘ，ｙ）在曲線ｘ＝－２＋ｃｏｓ?茲，ｙ＝ｓｉｎ?茲（?茲為參數(shù)，?茲∈Ｒ）上，則■的取值范圍是．

三、解答題：本大題共 ６小題，共８０分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

１６． （本題滿分１２分）已知函數(shù)ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｓｉｎ（■－ｘ），ｘ∈Ｒ．

（Ｉ）求ｆ（■）的值；

（ＩＩ）求ｆ（ｘ）的最小值及對(duì)應(yīng)的ｘ的集合；

（ＩＩＩ）若ｆ（?茲）＝■且?茲∈（■，２?仔），求ｔａｎ２?茲的值．

１７．（本題滿分１２分）某學(xué)校隨機(jī)抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)途中所需時(shí)間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學(xué)所需時(shí)間的范圍是［０，１００］，樣本數(shù)據(jù)分組為［０，２０），［２０，４０），［４０，６０），［６０，８０），［８０，１００］．

（Ⅰ）求直方圖中ｘ的值；

（Ⅱ）如果上學(xué)所需時(shí)間不少于１小時(shí)的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿，請(qǐng)估計(jì)學(xué)校６００名新生中有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿；

（Ⅲ）從學(xué)校的新生中任選４名學(xué)生，這４名學(xué)生中上學(xué)所需時(shí)間少于２０分鐘的人數(shù)記為Ｘ，求Ｘ的分布列和數(shù)學(xué)期望．（以直方圖中新生上學(xué)所需時(shí)間少于２０分鐘的頻率作為每名學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間少于２０分鐘的概率）

１８． （本題滿分１４分）已知函數(shù)ｆ（ｘ）＝ｘ－ａｌｎｘ（ａ∈Ｒ）．

（Ⅰ）當(dāng)ａ＝１時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即相應(yīng)的單調(diào)性；

（Ⅱ）探索函數(shù)ｆ（ｘ）是否存在極值，若存在求出該極值，否則說(shuō)明理由．

１９．（本題滿分１４分）如圖，菱形ＡＢＣＤ與矩形ＢＤＥＦ所在平面互相垂直，∠ＢＡＤ＝■．

（Ⅰ）求證：ＦＣ∥平面ＡＥＤ；

（Ⅱ）若ＢＦ＝ｋ·ＢＤ，當(dāng)二面角Ａ－ＥＦ－Ｃ為直二面角時(shí)，求ｋ的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求直線ＢＣ與平面ＡＥＦ所成的角?茲的正弦值．

２０．（本題滿分１４分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系ｘＯｙ中，橢圓■＋ｙ２＝１的左、右焦點(diǎn)分別為Ｆ１（－ｃ，０），Ｆ２（ｃ，０）． 設(shè)Ａ，Ｂ是橢圓上位于ｘ軸上方的兩點(diǎn)，且直線ＡＦ１與直線ＢＦ２平行，ＡＦ２與ＢＦ１交于點(diǎn)Ｐ．

（Ⅰ）若ＡＦ１－ＢＦ２＝■，求直線ＡＦ１的方程；

（Ⅱ）求證：ＰＦ１＋ＰＦ２是定值．

２１．（本題滿分１４分）對(duì)于數(shù)列｛ｘｎ｝，如果存在一個(gè)正整數(shù)ｍ，使得對(duì)任意的ｎ（ｎ∈Ｎ?鄢）都有ｘｎ＋ｍ＝ｘｎ成立，那么就把這樣一類數(shù)列｛ｘｎ｝稱作周期為ｍ的周期數(shù)列，的最小值稱作數(shù)列｛ｘｎ｝的最小正周期，以下簡(jiǎn)稱周期．例如當(dāng)ｘｎ＝２０１４時(shí)｛ｘｎ｝是周期為１的周期數(shù)列，當(dāng)ｙｎ＝ｃｏｓ（■ｎ）時(shí)｛ｙｎ｝是周期為４的周期數(shù)列．

（Ⅰ）設(shè)數(shù)列｛ａｎ｝滿足ａｎ＋２＝?姿· ａｎ＋１－ａｎ（ｎ∈Ｎ?鄢），ａ１＝ａ，ａ２＝ｂ（ａ≠ｂ），且數(shù)列｛ａｎ｝是周期為３的周期數(shù)列，求常數(shù)?姿的值．

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列｛ａｎ｝的前ｎ項(xiàng)和為Ｓｎ，且４Ｓｎ＝（ａｎ＋１）２．

①若ａｎ＞０，試判斷數(shù)列｛ａｎ｝是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由；

②若ａｎａｎ＋１＜０，試判斷數(shù)列｛ａｎ｝是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由．

（Ⅲ）設(shè)數(shù)列｛ａｎ｝滿足ａｎ＋２＝－ａｎ＋１－ａｎ（ｎ∈Ｎ?鄢），ａ１＝１，ａ２＝２，ｂｎ＝ａｎ＋１，數(shù)列｛ｂｎ｝的前ｎ項(xiàng)和為Ｓｎ，試問(wèn)是否存在ｐ，ｑ，使對(duì)任意的ｎ∈Ｎ?鄢都有ｐ≤■≤ｑ成立，若存在，求出ｐ，ｑ的取值范圍；不存在，說(shuō)明理由．

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２０１４年高考廣東理科數(shù)學(xué)模擬試題參考答案

一、選擇題：

１． 【解析】∵１－■＝１＋ｉ，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為（１，１），在第一象限，選Ａ．

２． 【解析】∵Ａ＝（０，＋∞），∴ＣＲＡ＝（－∞，０），又Ｂ＝｛－１，１｝，故（ＣＲＡ）∩Ｂ＝｛－１｝，選Ｄ．

３． 【解析】由函數(shù)單調(diào)性定義及二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間易知選Ｃ．

４． 【解析】依題意山頂離塔頂、塔底的距離分別為■米、４００米，設(shè)塔高為ｘ米，由余弦定理知ｘ２＝■＋１６００００－２×■×４００×ｃｏｓ３０°＝■，即ｘ＝■米，故選Ａ．

５．【解析】球的三視圖全是圓；如圖正方體截出的三棱錐三視圖全是等腰直角三角形；正方體三視圖都是正方形，共有三個(gè)，故選Ｃ．

６． 【解析】先由１?茚ｋ＝３解得ｋ＝１，所以ｆ（ｘ）＝ｋ?茚ｘ＝■＋ｘ＋１，當(dāng)ｘ∈（０，＋∞）時(shí)，ｆ（ｘ）＝ｋ?茚ｘ＝■＋ｘ＋１＞１，故選Ｄ．

７． 【解析】依題意Ａ、Ｂ、Ｃ三點(diǎn)共線，故■＝?姿■，即■＝■■＋■■，即ａ１＋ａ２０１４＝１，故Ｓ２０１４＝■（ａ１＋ａ２０１４）＝１００７，選Ｂ．

８． 【解析】圓ｘ２＋ｙ２－４ｘ－４ｙ－１０＝０整理為（ｘ－２）２＋（ｙ－２）２＝（３■）２，∴圓心坐標(biāo)為（２，２），半徑為３■，要求圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線ｌ∶ａｘ＋ｂｙ＝０的距離為２■，則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于■，

∴■≤■，∴（■）２＋４（■）＋１≤０ ，∴－２－■≤（■）≤－２＋■，ｋ＝－（■），∴ ２－■≤ｋ≤２＋■，直線ｌ的傾斜角的取值范圍是［■，■］，選Ｂ．

二、填空題：

９．【答案】０．６．

【解析】如圖，正態(tài)分布的密度函數(shù)示意圖所示，函數(shù)關(guān)于直線ｘ＝２對(duì)稱，所以Ｐ（?灼＜２）＝０．５，并且Ｐ（?灼＜０）＝０．２．

Ｐ（０＜?灼＜４）＝２（１－Ｐ（?灼＜０））＝２（１－０．２）＝０．６．

１０．【答案】６０３９．

【解析】依題意，由二項(xiàng)式定理知（１＋ｘ）２０１２＋（１＋ｘ）２０１３＋（１＋ｘ）２０１４的展開(kāi)式中ｘ的系數(shù)為２０１２＋２０１３＋２０１４＝６０３９．故填６０３９．

１１．【答案】－１．

【解析】依題意， 關(guān)于ｘ的不等式（ａｘ＋１）（ｘ＋２）＜０的解集是（－∞，－２）∪（１，＋∞），所以ａ＜０，（ａｘ＋１）（ｘ＋２）＜０即（ｘ＋■）（ｘ＋２）＞０，即－ａ＝１，所以ａ＝－１，故填－１．

１２．【答案】②?圯③．

【解析】用直線與平面垂直的定義知由①?圯②推理正確，由②?圯③推理不正確，因?yàn)椴荒艽_定空間兩條直線ａ，ｂ是否共面，因此直線ａ，ｂ有可能異面．故填②?圯③．

１３．【答案】（１０，４４）．

【解析】依題意，點(diǎn)Ｃ４３（４４，０）是第１９３５個(gè)點(diǎn)（４４２－１＝１９３５），點(diǎn)Ｂ４４（４５，４５）是第１９８１（１９３５＋４６＝１９８１）個(gè)點(diǎn)，Ａ４４（０，４５）是第２０２４（４５２－１＝２０２４）點(diǎn)，所以第２０１４棵樹(shù)所在的點(diǎn)應(yīng)該是Ａ４４（０，４４）向右平移１０個(gè)單位，即坐標(biāo)為（１０，４４）．故填（１０，４４）．

１４．【答案】■．

【解析】根據(jù)相交弦定理ＡＦ·ＦＢ＝ＣＦ·ＦＤ，又因?yàn)椋模疲剑茫疲健觯粒啤茫疲隆茫拢牛剑础茫病茫?，所以ＡＥ＝■，ＢＥ＝■，再由切割線定理ＣＥ２＝ＥＢ·ＥＡ＝■×■＝■，故ＣＥ＝■． 故填■．

１５．【答案】［－■，■］．

【解析】依題意，動(dòng)點(diǎn)Ｐ（ｘ，ｙ）的軌跡是以（－２，０）為圓心，以１為半徑的圓，而■的幾何意義是圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖形知，直線ｙ＝ｋｘ與圓（ｘ＋２）２＋ｙ２＝１相切時(shí)，ｋｍａｘ＝ｔａｎ３０°＝■，ｋｍｉｎ＝ｔａｎ１５０°＝－■．故填［－■，■］．

三、解答題：本大題共５小題，共７２分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

１６．【命題立意】本題為原創(chuàng)題，考查考生三角函數(shù)的最值、特殊角的三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、二倍角的正切公式以及基本的變換技巧，定位為容易題．

【解析】（Ｉ）∵ ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｓｉｎ（■－ｘ），……１分

∴ ｆ（■）＝ｃｏｓ■＋ｓｉｎ（■－■）＝ｃｏｓ■＋ｓｉｎ■＝■＋■＝■． ……３分

（ＩＩ）∵ ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｓｉｎ（■－ｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｃｏｓｘ＝２ｃｏｓｘ，……５分

∴ｆ（ｘ）有最小值為２，這時(shí)ｘ的集合為｛ｘ│ｘ＝（２ｋ＋１）?仔，ｋ∈Ｚ｝．……７分

（ＩＩＩ）由 （ＩＩ） 知 ｆ（ｘ）＝２ｃｏｓｘ，∴ｆ（?茲）＝■即２ｃｏｓ?茲＝■，所以ｃｏｓ?茲＝■……８分

又?茲∈（■，２?仔），∴ ｓｉｎ?茲＝－■，∴ ｔａｎ?茲＝■＝■＝－■， ……１０分

∴ ｔａｎ２?茲＝■＝■＝■＝■．……１２分

１７．【命題立意】本題為改編題，源自北京市海淀區(qū)的一道模擬試題，考查考生的數(shù)字特征的處理、頻率分布直方圖的讀圖能力、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式運(yùn)用，和用樣本估計(jì)總體的思想理解的深刻度，定位為基本題．

【解析】（Ⅰ）由直方圖可得：

２０×ｘ＋０．０２５×２０＋０．００６５×２０＋０．００３×２×２０＝１．

所以ｘ＝０．０１２５ ．……２分

（Ⅱ）新生上學(xué)所需時(shí)間不少于１小時(shí)的頻率為：

０．００３×２×２０＝０．１２，……４分

因?yàn)椋叮埃啊粒埃保玻剑罚玻?/p>

所以估計(jì)６００名新生中有７２名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿． ……６分

（Ⅲ）解法一：Ｘ的可能取值為０，１，２，３，４，……７分

由直方圖可知，每位學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間少于２０分鐘的概率為■，

Ｐ（Ｘ＝０）＝（■）４＝■， Ｐ（Ｘ＝１）＝ ?蒿１４（■）（■）４＝■，

Ｐ（Ｘ＝２）＝?蒿２４（■）２（■）２＝■，Ｐ（Ｘ＝３）＝ ?蒿３４（■）３（■）＝■，Ｐ（Ｘ＝４）＝（■）４＝■．……１０分

所以ｘ的分布列為：

……１１分

ＥＸ＝０×■＋１×■＋２×■＋３×■＋４×■＝１．

所以Ｘ的數(shù)學(xué)期望為１．……１２分

解法二：依題意Ｘ服從二項(xiàng)分布Ｂ（４，■），……１０分

所以Ｘ的數(shù)學(xué)期望ＥＸ＝４×■＝１． ……１２分

１８．【命題立意】本題為原創(chuàng)題，考查考生用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值掌握情況，體現(xiàn)函數(shù)思想、分類討論思想，定位為中等題．

【解析】依題意函數(shù)ｆ（ｘ）的定義域?yàn)椋ǎ?，＋∞），?ｆ（ｘ）＝ｘ－ａｌｎｘ， ∴ ｆ ′（ｘ）＝１－■． …２分

（Ⅰ）當(dāng)ａ＝２時(shí)，ｆ（ｘ）＝ｘ－ｌｎｘ，ｆ′（ｘ）＝１－■＝■（ｘ＞０），

………３分

∴ ｘ＞１時(shí)，ｆ′（ｘ）＞０ ，０＜ｘ＜１時(shí)，ｆ′（ｘ）＜０， ………５分

即函數(shù)ｆ（ｘ）的單調(diào)減區(qū)間為（０，１），函數(shù)ｆ（ｘ）的單調(diào)增區(qū)間為（１，＋∞） ． ……６分

（Ⅱ）由ｆ ′（ｘ）＝１－■＝■，ｘ＞０可知：

①當(dāng)ａ≤０時(shí)，ｆ ′（ｘ）＞０，函數(shù)ｆ（ｘ）為（０，＋∞）上的增函數(shù)，函數(shù)ｆ（ｘ）無(wú)極值；…９分

②當(dāng)ａ＞０時(shí)，由ｆ ′（ｘ）＝０，解得ｘ＝ａ； ………１０分

∵ ｘ∈（０，ａ）時(shí)，ｆ ′（ｘ）＜０，ｘ∈（ａ，＋∞）時(shí)，ｆ ′（ｘ）＞０ ． ………１２分

∴ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ處取得極小值，且極小值為ｆ（ａ）＝ａ－ａｌｎａ，無(wú)極大值． ………１３分

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綜上：當(dāng)ａ≤０時(shí)，函數(shù)ｆ（ｘ）無(wú)極值； 當(dāng)ａ＞０時(shí)，函數(shù)

ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ處取得極小值ａ－ａｌｎａ，無(wú)極大值． ………１４分

１９．【命題立意】本題為原創(chuàng)題，考查了空間幾何體的形狀，空間線面、面面的位置關(guān)系及二面角、線面角的概念及計(jì)算，要求考生有一定的空間想象能力、推理論證能力，定位為中等題．

【解析】（Ⅰ）矩形ＢＤＥＦ中，ＦＢ∥ＥＤ，………１分

ＦＢ?埭平面ＡＥＤ，ＥＤ?奐平面ＡＥＤ，ＦＢ∥平面ＡＥＤ，…２分

同理ＢＣ∥平面ＡＥＤ，………３分

又∵ＦＢ∩ＢＣ＝Ｂ，∴平面ＦＢＣ∥平面ＥＤＡ．………４分

故ＦＣ∥平面ＡＥＤ………５分

（Ⅱ）?。牛疲拢牡闹悬c(diǎn)Ｍ，Ｎ．由于ＡＥ＝ＡＦ，ＣＥ＝ＣＦ，

所以ＡＭ⊥ＥＦ，ＣＭ⊥ＥＦ，∠ＡＭＣ就是二面角Ａ－ＥＦ－Ｃ的平面角………８分

當(dāng)二面角Ａ－ＥＦ－Ｃ為直二面角時(shí)，ＭＮ＝ＡＮ＝■ＢＤ，即ｋ＝■．…１０分

（Ⅲ）解法１（幾何方法）：由（Ⅱ）ＣＭ⊥平面ＡＥＦ，欲求直線ＢＣ與平面ＡＥＦ所成的角，先求ＢＣ與ＭＣ所成的角． ………１２分

連結(jié)ＢＭ，設(shè)ＢＣ＝２．則在△ＭＢＣ中，ＣＭ＝■ＭＮ＝■·■＝■，ＭＢ＝２，用余弦定理知ｃｏｓ∠ＭＣＢ＝■＝－■．

∴ ｓｉｎ?茲＝■．…１４分

（Ⅲ）解法２（向量方法）：以Ｄ為原點(diǎn)，ＤＣ為ｙ軸、ＤＥ為ｚ軸建立如圖的直角坐標(biāo)系，設(shè)ＡＤ＝２，則Ｍ（■，■，■），

Ｃ（０，２，０），平面ＡＥＦ的法向量■＝■＝（－■，■，－■）， ………１２分

■＝■＝（■，－１，０）．ｃｏｓ＜■，■＞＝■＝－■．

∴ ｓｉｎ?茲＝■． …１４分

２０． 【命題立意】本題為改編題，在一道江蘇省高考題的基礎(chǔ)上重組改編而成，考生更容易上手，運(yùn)算量有所減輕，主要考查考生直線的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，用方程研究圖形的解題策略，體現(xiàn)函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想，第（Ⅰ））小題定位為中等題，第（Ⅱ）小題定位為難題．

【解析】解：（Ⅰ） ∵橢圓的方程為■＋ｙ２＝１，∴其焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０），又∵ＡＦ１∥ＢＦ２，設(shè)■１、ＢＦ２的方程分別為ｍｙ＝ｘ＋１，ｍｙ＝ｘ－１，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），ｙ１＞０，ｙ２＞０．依題意知■＋ｙ１２＝１，ｍｙ１＝ｘ１＋１?圯（ｍ２＋２）ｙ１２－２ｍｙ１－１＝０?圯ｙ１＝■． ………２分

∴ ＡＦ１＝■＝■＝■×■＝■． ①

同理，ＢＦ２＝■． ②

由①②，得ＡＦ１－ＢＦ２＝■．解■＝■得ｍ２＝２． ………５分

∵注意到ｍ＞０，∴ｍ＝■， ∴直線ＡＦ１的斜率為■＝■，又∵Ｆ１（－１，０），∴直線ＡＦ１的方程為ｙ＋１＝■ｘ，即ｘ－■ｙ－■＝０． ………７分

（Ⅱ）證明：∵ＡＦ１∥ＢＦ２，∴■＝■，即■＋１＝■＋１?圯■＝■． 而ＰＢ＋ＰＦ１＝ＢＦ１，∴ＰＦ１＝■ＢＦ１． …９分

∵點(diǎn)Ｂ在橢圓上知，由橢圓的定義ＢＦ１＋ＢＦ２＝２■，∴ＰＦ１＝■（２■－ＢＦ２）．

同理，ＢＦ２＝■（２■－ＡＦ１）．………１１分

∴ ＰＦ１＋ＰＦ２＝■（２■－ＢＦ２）＋■（２■－■１）＝２■－■．

由①②，得■１＋ＢＦ２＝■，■１·ＢＦ２＝■， ……１３分

∴ ＰＦ１＋ＰＦ２＝２■－■＝■■，∴ＰＦ１＋ＰＦ２是定值． ……１４分

２１． 【命題立意】本題為改編題，在上海市楊浦中學(xué)的一道模擬試題的基礎(chǔ)上引入邏輯創(chuàng)新元素改編而成，考查考生等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及基本運(yùn)算，數(shù)列的遞推關(guān)系，考生的創(chuàng)新能力，體現(xiàn)函數(shù)思想、分類討論思想，定位為難題，

【解析】（Ⅰ）由數(shù)列｛ａｎ｝是周期為３的周期數(shù)列，ａｎ＋３＝ａｎ，

依題意ａｎ＋２＝?姿ａｎ＋１－ａｎ，ａｎ＋３＝?姿ａｎ＋２－ａｎ＋１，……２分

聯(lián)立得（?姿＋１）（ａｎ＋２－ａｎ＋１）＝０對(duì)ｎ∈Ｎ?鄢恒成立，∴?姿＋１＝０，即?姿＝－１． …………………３分

（Ⅱ）當(dāng)ｎ＝１時(shí)，Ｓ１＝ａ１，又４Ｓ１＝（ａ１＋１）２得ａ１＝１． …………４分

當(dāng)ｎ≥２時(shí)，４ａｎ＝４Ｓｎ－４Ｓｎ－１＝（ａｎ＋１）２－（ａｎ－１＋１）２?圯（ａｎ－１）２＝（ａｎ－１＋１）２，

即ａｎ－ａｎ－１＝２或ａｎ＝－ａｎ－１（ｎ≥２）． …………………………５分

①由ａｎ＞０有ａｎ－ａｎ－１＝２（ｎ≥２），則｛ａｎ｝為等差數(shù)列，即ａｎ＝２ｎ－１，

由于對(duì)任意的ｎ都有ａｎ＋ｍ≠ａｎ，所以｛ａｎ｝不是周期數(shù)列

……………６分

②由ａｎａｎ＋１＜０有ａｎ＝－ａｎ－１（ｎ≥２），數(shù)列｛ａｎ｝為公比－１為等比數(shù)列，即ａｎ＝（－１）ｎ－１，即ａｎ＋２＝ａｎ對(duì)任意ｎ∈Ｎ?鄢都成立，

即當(dāng)ａｎａｎ＋１＜０時(shí)｛ａｎ｝是周期為２的周期數(shù)列． …………８分

（Ⅲ）假設(shè)存在ｐ，ｑ，滿足題設(shè)．

于是ａｎ＋２＝－ａｎ＋１－ａｎ，ａｎ＋３＝－ａｎ＋２－ａｎ＋１?圯ａｎ＋３＝ａｎ，又ｂｎ＝ａｎ＋１則ｂｎ＋３＝ｂｎ，

所以｛ｂｎ｝是周期為３的周期數(shù)列，所以｛ｂｎ｝的前３項(xiàng)分別為２，３，－２，………１０分

則Ｓｎ＝ｎ（ｎ＝３ｋ），ｎ＋１（ｎ＝３ｋ－２）ｎ＋３（ｎ＝３ｋ－１），ｋ∈Ｎ?鄢………………１２分

當(dāng)ｎ＝３ｋ時(shí)，■＝１；

當(dāng)ｎ＝３ｋ－２時(shí)，■＝１＋■?圯１＜■≤２；

當(dāng)ｎ＝３ｋ－１時(shí)，■＝１＋■?圯１＜■≤■．

綜上１≤■≤■，……………１３分

為使ｐ≤■≤ｑ恒成立，只要ｐ≤１，ｑ≥■即可，

綜上，假設(shè)存在ｐ，ｑ，滿足題設(shè)ｐ≤１，ｑ≥■．………………１４分

（本試題由南雄市第一中學(xué)數(shù)學(xué)組涂天明、黃學(xué)波老師擬制）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)

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綜上：當(dāng)ａ≤０時(shí)，函數(shù)ｆ（ｘ）無(wú)極值； 當(dāng)ａ＞０時(shí)，函數(shù)

ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ處取得極小值ａ－ａｌｎａ，無(wú)極大值． ………１４分

１９．【命題立意】本題為原創(chuàng)題，考查了空間幾何體的形狀，空間線面、面面的位置關(guān)系及二面角、線面角的概念及計(jì)算，要求考生有一定的空間想象能力、推理論證能力，定位為中等題．

【解析】（Ⅰ）矩形ＢＤＥＦ中，ＦＢ∥ＥＤ，………１分

ＦＢ?埭平面ＡＥＤ，ＥＤ?奐平面ＡＥＤ，ＦＢ∥平面ＡＥＤ，…２分

同理ＢＣ∥平面ＡＥＤ，………３分

又∵ＦＢ∩ＢＣ＝Ｂ，∴平面ＦＢＣ∥平面ＥＤＡ．………４分

故ＦＣ∥平面ＡＥＤ………５分

（Ⅱ）?。牛?，ＢＤ的中點(diǎn)Ｍ，Ｎ．由于ＡＥ＝ＡＦ，ＣＥ＝ＣＦ，

所以ＡＭ⊥ＥＦ，ＣＭ⊥ＥＦ，∠ＡＭＣ就是二面角Ａ－ＥＦ－Ｃ的平面角………８分

當(dāng)二面角Ａ－ＥＦ－Ｃ為直二面角時(shí)，ＭＮ＝ＡＮ＝■ＢＤ，即ｋ＝■．…１０分

（Ⅲ）解法１（幾何方法）：由（Ⅱ）ＣＭ⊥平面ＡＥＦ，欲求直線ＢＣ與平面ＡＥＦ所成的角，先求ＢＣ與ＭＣ所成的角． ………１２分

連結(jié)ＢＭ，設(shè)ＢＣ＝２．則在△ＭＢＣ中，ＣＭ＝■ＭＮ＝■·■＝■，ＭＢ＝２，用余弦定理知ｃｏｓ∠ＭＣＢ＝■＝－■．

∴ ｓｉｎ?茲＝■．…１４分

（Ⅲ）解法２（向量方法）：以Ｄ為原點(diǎn)，ＤＣ為ｙ軸、ＤＥ為ｚ軸建立如圖的直角坐標(biāo)系，設(shè)ＡＤ＝２，則Ｍ（■，■，■），

Ｃ（０，２，０），平面ＡＥＦ的法向量■＝■＝（－■，■，－■）， ………１２分

■＝■＝（■，－１，０）．ｃｏｓ＜■，■＞＝■＝－■．

∴ ｓｉｎ?茲＝■． …１４分

２０． 【命題立意】本題為改編題，在一道江蘇省高考題的基礎(chǔ)上重組改編而成，考生更容易上手，運(yùn)算量有所減輕，主要考查考生直線的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，用方程研究圖形的解題策略，體現(xiàn)函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想，第（Ⅰ））小題定位為中等題，第（Ⅱ）小題定位為難題．

【解析】解：（Ⅰ） ∵橢圓的方程為■＋ｙ２＝１，∴其焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０），又∵ＡＦ１∥ＢＦ２，設(shè)■１、ＢＦ２的方程分別為ｍｙ＝ｘ＋１，ｍｙ＝ｘ－１，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），ｙ１＞０，ｙ２＞０．依題意知■＋ｙ１２＝１，ｍｙ１＝ｘ１＋１?圯（ｍ２＋２）ｙ１２－２ｍｙ１－１＝０?圯ｙ１＝■． ………２分

∴ ＡＦ１＝■＝■＝■×■＝■． ①

同理，ＢＦ２＝■． ②

由①②，得ＡＦ１－ＢＦ２＝■．解■＝■得ｍ２＝２． ………５分

∵注意到ｍ＞０，∴ｍ＝■， ∴直線ＡＦ１的斜率為■＝■，又∵Ｆ１（－１，０），∴直線ＡＦ１的方程為ｙ＋１＝■ｘ，即ｘ－■ｙ－■＝０． ………７分

（Ⅱ）證明：∵ＡＦ１∥ＢＦ２，∴■＝■，即■＋１＝■＋１?圯■＝■． 而ＰＢ＋ＰＦ１＝ＢＦ１，∴ＰＦ１＝■ＢＦ１． …９分

∵點(diǎn)Ｂ在橢圓上知，由橢圓的定義ＢＦ１＋ＢＦ２＝２■，∴ＰＦ１＝■（２■－ＢＦ２）．

同理，ＢＦ２＝■（２■－ＡＦ１）．………１１分

∴ ＰＦ１＋ＰＦ２＝■（２■－ＢＦ２）＋■（２■－■１）＝２■－■．

由①②，得■１＋ＢＦ２＝■，■１·ＢＦ２＝■， ……１３分

∴ ＰＦ１＋ＰＦ２＝２■－■＝■■，∴ＰＦ１＋ＰＦ２是定值． ……１４分

２１． 【命題立意】本題為改編題，在上海市楊浦中學(xué)的一道模擬試題的基礎(chǔ)上引入邏輯創(chuàng)新元素改編而成，考查考生等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及基本運(yùn)算，數(shù)列的遞推關(guān)系，考生的創(chuàng)新能力，體現(xiàn)函數(shù)思想、分類討論思想，定位為難題，

【解析】（Ⅰ）由數(shù)列｛ａｎ｝是周期為３的周期數(shù)列，ａｎ＋３＝ａｎ，

依題意ａｎ＋２＝?姿ａｎ＋１－ａｎ，ａｎ＋３＝?姿ａｎ＋２－ａｎ＋１，……２分

聯(lián)立得（?姿＋１）（ａｎ＋２－ａｎ＋１）＝０對(duì)ｎ∈Ｎ?鄢恒成立，∴?姿＋１＝０，即?姿＝－１． …………………３分

（Ⅱ）當(dāng)ｎ＝１時(shí)，Ｓ１＝ａ１，又４Ｓ１＝（ａ１＋１）２得ａ１＝１． …………４分

當(dāng)ｎ≥２時(shí)，４ａｎ＝４Ｓｎ－４Ｓｎ－１＝（ａｎ＋１）２－（ａｎ－１＋１）２?圯（ａｎ－１）２＝（ａｎ－１＋１）２，

即ａｎ－ａｎ－１＝２或ａｎ＝－ａｎ－１（ｎ≥２）． …………………………５分

①由ａｎ＞０有ａｎ－ａｎ－１＝２（ｎ≥２），則｛ａｎ｝為等差數(shù)列，即ａｎ＝２ｎ－１，

由于對(duì)任意的ｎ都有ａｎ＋ｍ≠ａｎ，所以｛ａｎ｝不是周期數(shù)列

……………６分

②由ａｎａｎ＋１＜０有ａｎ＝－ａｎ－１（ｎ≥２），數(shù)列｛ａｎ｝為公比－１為等比數(shù)列，即ａｎ＝（－１）ｎ－１，即ａｎ＋２＝ａｎ對(duì)任意ｎ∈Ｎ?鄢都成立，

即當(dāng)ａｎａｎ＋１＜０時(shí)｛ａｎ｝是周期為２的周期數(shù)列． …………８分

（Ⅲ）假設(shè)存在ｐ，ｑ，滿足題設(shè)．

于是ａｎ＋２＝－ａｎ＋１－ａｎ，ａｎ＋３＝－ａｎ＋２－ａｎ＋１?圯ａｎ＋３＝ａｎ，又ｂｎ＝ａｎ＋１則ｂｎ＋３＝ｂｎ，

所以｛ｂｎ｝是周期為３的周期數(shù)列，所以｛ｂｎ｝的前３項(xiàng)分別為２，３，－２，………１０分

則Ｓｎ＝ｎ（ｎ＝３ｋ），ｎ＋１（ｎ＝３ｋ－２）ｎ＋３（ｎ＝３ｋ－１），ｋ∈Ｎ?鄢………………１２分

當(dāng)ｎ＝３ｋ時(shí)，■＝１；

當(dāng)ｎ＝３ｋ－２時(shí)，■＝１＋■?圯１＜■≤２；

當(dāng)ｎ＝３ｋ－１時(shí)，■＝１＋■?圯１＜■≤■．

綜上１≤■≤■，……………１３分

為使ｐ≤■≤ｑ恒成立，只要ｐ≤１，ｑ≥■即可，

綜上，假設(shè)存在ｐ，ｑ，滿足題設(shè)ｐ≤１，ｑ≥■．………………１４分

（本試題由南雄市第一中學(xué)數(shù)學(xué)組涂天明、黃學(xué)波老師擬制）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)

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綜上：當(dāng)ａ≤０時(shí)，函數(shù)ｆ（ｘ）無(wú)極值； 當(dāng)ａ＞０時(shí)，函數(shù)

ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ處取得極小值ａ－ａｌｎａ，無(wú)極大值． ………１４分

１９．【命題立意】本題為原創(chuàng)題，考查了空間幾何體的形狀，空間線面、面面的位置關(guān)系及二面角、線面角的概念及計(jì)算，要求考生有一定的空間想象能力、推理論證能力，定位為中等題．

【解析】（Ⅰ）矩形ＢＤＥＦ中，ＦＢ∥ＥＤ，………１分

ＦＢ?埭平面ＡＥＤ，ＥＤ?奐平面ＡＥＤ，ＦＢ∥平面ＡＥＤ，…２分

同理ＢＣ∥平面ＡＥＤ，………３分

又∵ＦＢ∩ＢＣ＝Ｂ，∴平面ＦＢＣ∥平面ＥＤＡ．………４分

故ＦＣ∥平面ＡＥＤ………５分

（Ⅱ）取ＥＦ，ＢＤ的中點(diǎn)Ｍ，Ｎ．由于ＡＥ＝ＡＦ，ＣＥ＝ＣＦ，

所以ＡＭ⊥ＥＦ，ＣＭ⊥ＥＦ，∠ＡＭＣ就是二面角Ａ－ＥＦ－Ｃ的平面角………８分

當(dāng)二面角Ａ－ＥＦ－Ｃ為直二面角時(shí)，ＭＮ＝ＡＮ＝■ＢＤ，即ｋ＝■．…１０分

（Ⅲ）解法１（幾何方法）：由（Ⅱ）ＣＭ⊥平面ＡＥＦ，欲求直線ＢＣ與平面ＡＥＦ所成的角，先求ＢＣ與ＭＣ所成的角． ………１２分

連結(jié)ＢＭ，設(shè)ＢＣ＝２．則在△ＭＢＣ中，ＣＭ＝■ＭＮ＝■·■＝■，ＭＢ＝２，用余弦定理知ｃｏｓ∠ＭＣＢ＝■＝－■．

∴ ｓｉｎ?茲＝■．…１４分

（Ⅲ）解法２（向量方法）：以Ｄ為原點(diǎn)，ＤＣ為ｙ軸、ＤＥ為ｚ軸建立如圖的直角坐標(biāo)系，設(shè)ＡＤ＝２，則Ｍ（■，■，■），

Ｃ（０，２，０），平面ＡＥＦ的法向量■＝■＝（－■，■，－■）， ………１２分

■＝■＝（■，－１，０）．ｃｏｓ＜■，■＞＝■＝－■．

∴ ｓｉｎ?茲＝■． …１４分

２０． 【命題立意】本題為改編題，在一道江蘇省高考題的基礎(chǔ)上重組改編而成，考生更容易上手，運(yùn)算量有所減輕，主要考查考生直線的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，用方程研究圖形的解題策略，體現(xiàn)函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想，第（Ⅰ））小題定位為中等題，第（Ⅱ）小題定位為難題．

【解析】解：（Ⅰ） ∵橢圓的方程為■＋ｙ２＝１，∴其焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０），又∵ＡＦ１∥ＢＦ２，設(shè)■１、ＢＦ２的方程分別為ｍｙ＝ｘ＋１，ｍｙ＝ｘ－１，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），ｙ１＞０，ｙ２＞０．依題意知■＋ｙ１２＝１，ｍｙ１＝ｘ１＋１?圯（ｍ２＋２）ｙ１２－２ｍｙ１－１＝０?圯ｙ１＝■． ………２分

∴ ＡＦ１＝■＝■＝■×■＝■． ①

同理，ＢＦ２＝■． ②

由①②，得ＡＦ１－ＢＦ２＝■．解■＝■得ｍ２＝２． ………５分

∵注意到ｍ＞０，∴ｍ＝■， ∴直線ＡＦ１的斜率為■＝■，又∵Ｆ１（－１，０），∴直線ＡＦ１的方程為ｙ＋１＝■ｘ，即ｘ－■ｙ－■＝０． ………７分

（Ⅱ）證明：∵ＡＦ１∥ＢＦ２，∴■＝■，即■＋１＝■＋１?圯■＝■． 而ＰＢ＋ＰＦ１＝ＢＦ１，∴ＰＦ１＝■ＢＦ１． …９分

∵點(diǎn)Ｂ在橢圓上知，由橢圓的定義ＢＦ１＋ＢＦ２＝２■，∴ＰＦ１＝■（２■－ＢＦ２）．

同理，ＢＦ２＝■（２■－ＡＦ１）．………１１分

∴ ＰＦ１＋ＰＦ２＝■（２■－ＢＦ２）＋■（２■－■１）＝２■－■．

由①②，得■１＋ＢＦ２＝■，■１·ＢＦ２＝■， ……１３分

∴ ＰＦ１＋ＰＦ２＝２■－■＝■■，∴ＰＦ１＋ＰＦ２是定值． ……１４分

２１． 【命題立意】本題為改編題，在上海市楊浦中學(xué)的一道模擬試題的基礎(chǔ)上引入邏輯創(chuàng)新元素改編而成，考查考生等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及基本運(yùn)算，數(shù)列的遞推關(guān)系，考生的創(chuàng)新能力，體現(xiàn)函數(shù)思想、分類討論思想，定位為難題，

【解析】（Ⅰ）由數(shù)列｛ａｎ｝是周期為３的周期數(shù)列，ａｎ＋３＝ａｎ，

依題意ａｎ＋２＝?姿ａｎ＋１－ａｎ，ａｎ＋３＝?姿ａｎ＋２－ａｎ＋１，……２分

聯(lián)立得（?姿＋１）（ａｎ＋２－ａｎ＋１）＝０對(duì)ｎ∈Ｎ?鄢恒成立，∴?姿＋１＝０，即?姿＝－１． …………………３分

（Ⅱ）當(dāng)ｎ＝１時(shí)，Ｓ１＝ａ１，又４Ｓ１＝（ａ１＋１）２得ａ１＝１． …………４分

當(dāng)ｎ≥２時(shí)，４ａｎ＝４Ｓｎ－４Ｓｎ－１＝（ａｎ＋１）２－（ａｎ－１＋１）２?圯（ａｎ－１）２＝（ａｎ－１＋１）２，

即ａｎ－ａｎ－１＝２或ａｎ＝－ａｎ－１（ｎ≥２）． …………………………５分

①由ａｎ＞０有ａｎ－ａｎ－１＝２（ｎ≥２），則｛ａｎ｝為等差數(shù)列，即ａｎ＝２ｎ－１，

由于對(duì)任意的ｎ都有ａｎ＋ｍ≠ａｎ，所以｛ａｎ｝不是周期數(shù)列

……………６分

②由ａｎａｎ＋１＜０有ａｎ＝－ａｎ－１（ｎ≥２），數(shù)列｛ａｎ｝為公比－１為等比數(shù)列，即ａｎ＝（－１）ｎ－１，即ａｎ＋２＝ａｎ對(duì)任意ｎ∈Ｎ?鄢都成立，

即當(dāng)ａｎａｎ＋１＜０時(shí)｛ａｎ｝是周期為２的周期數(shù)列． …………８分

（Ⅲ）假設(shè)存在ｐ，ｑ，滿足題設(shè)．

于是ａｎ＋２＝－ａｎ＋１－ａｎ，ａｎ＋３＝－ａｎ＋２－ａｎ＋１?圯ａｎ＋３＝ａｎ，又ｂｎ＝ａｎ＋１則ｂｎ＋３＝ｂｎ，

所以｛ｂｎ｝是周期為３的周期數(shù)列，所以｛ｂｎ｝的前３項(xiàng)分別為２，３，－２，………１０分

則Ｓｎ＝ｎ（ｎ＝３ｋ），ｎ＋１（ｎ＝３ｋ－２）ｎ＋３（ｎ＝３ｋ－１），ｋ∈Ｎ?鄢………………１２分

當(dāng)ｎ＝３ｋ時(shí)，■＝１；

當(dāng)ｎ＝３ｋ－２時(shí)，■＝１＋■?圯１＜■≤２；

當(dāng)ｎ＝３ｋ－１時(shí)，■＝１＋■?圯１＜■≤■．

綜上１≤■≤■，……………１３分

為使ｐ≤■≤ｑ恒成立，只要ｐ≤１，ｑ≥■即可，

綜上，假設(shè)存在ｐ，ｑ，滿足題設(shè)ｐ≤１，ｑ≥■．………………１４分

（本試題由南雄市第一中學(xué)數(shù)學(xué)組涂天明、黃學(xué)波老師擬制）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)

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