郭 峰, 謝建華

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院,四川成都610031)

1963年美國(guó)氣象學(xué)家E.N.Lorenz[1]在研究對(duì)流實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)了Lorenz吸引子,1976年法國(guó)天文學(xué)家M.Hénon[2]在球狀星團(tuán)研究中得到一個(gè)兩維映射f(x)=(1-ax2+by,x),發(fā)現(xiàn)了Hénon吸引子.最近幾十年,科學(xué)工作者對(duì)奇怪吸引子進(jìn)行了深入地研究,在對(duì)其結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)行為的刻畫方面取得很大的進(jìn)展.

Lozi將Hénon映射中較難研究的平方項(xiàng)簡(jiǎn)化為分段線性項(xiàng),提出了Lozi映射f(x)=(1-a|x|+by,x),減小了對(duì)吸引子中鞍點(diǎn)和鞍型周期點(diǎn)的不穩(wěn)定流形分析工作的難度.J.Lozi[3]選定參數(shù)a=1.7,b=0.5,數(shù)值模擬出一個(gè)奇怪吸引子.M.Misiurewicz[4]在參數(shù)滿足以下條件:

對(duì)Lozi映射中的奇怪吸引子進(jìn)行了理論研究,證明了奇怪吸引子為第一象限中雙曲不動(dòng)點(diǎn)X的不穩(wěn)定流形的閉包,穩(wěn)定流形在吸引域中是稠密的,并且還證明了吸引子具有穩(wěn)定的雙曲結(jié)構(gòu).后來T.Tel[5-7]從理論上分析了Lozi映射鞍點(diǎn)的不穩(wěn)定流形和鞍型周期2點(diǎn)的不穩(wěn)定流形,而且做了一些關(guān)于奇怪吸引子的數(shù)值計(jì)算.朱照宣等[8]采用對(duì)偶線性映射的方法分析了當(dāng)a=8/5,b=9/25時(shí)吸引域的結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[9-10]證明了該映射的吸引域是邊界包含在中區(qū)域的并和的閉包.證明了對(duì)b<0時(shí),映射仍然存在一個(gè)奇怪吸引子,進(jìn)一步得出橫截同宿點(diǎn)和弱橫截同宿點(diǎn)在吸引子中是稠密的結(jié)論.

本文在前人對(duì)Lozi映射的研究基礎(chǔ)上,對(duì)一些細(xì)節(jié)問題進(jìn)行了討論和補(bǔ)充.對(duì)該映射的捕獲域的構(gòu)造過程進(jìn)行了詳細(xì)地描述.并借助幾何圖形,將該映射的捕獲域和吸引子的結(jié)構(gòu)形象直觀地刻畫出來.運(yùn)用測(cè)度理論找到了存在奇怪吸引子的一個(gè)必要條件.

1 Lozi映射

2 Lozi映射的不動(dòng)點(diǎn)和特征值

3 捕獲域

4 Lozi映射的不穩(wěn)定流形

5 結(jié)論

本文結(jié)合前人對(duì)Lozi映射的研究,詳細(xì)地討論和計(jì)算了一些細(xì)節(jié)上的問題,對(duì)該映射的捕獲域的構(gòu)造過程進(jìn)行了細(xì)致地描述.并借助幾何圖形,將該映射的捕獲域和吸引子的結(jié)構(gòu)形象直觀地刻畫出來,與理論上的分析是一致的.運(yùn)用測(cè)度理論找到了一個(gè)正的測(cè)度集,其為奇怪吸引子存在的一個(gè)必要條件.

[1]Lorenz E N.Deterministic nonperiodic flow[J].J Atmos-pheric Science,1963,20:130-141.

圖10 Lozi吸引子(a=1.7,b=0.5)Fig.10 The Lozi attractor(a=1.7,b=0.5)

圖11 Lozi映射的正測(cè)度集Q(P)Fig.11 The positive measure set Q(P)of the Lozi mapping

[2]Hénon M.A two-dimensional mapping with a strange attractor[J].Commun Math Phys,1976,50:69-77.

[3]Lozi J.Un attracteur etrange du type attracteur de Hénon[J].J Phys(Pairs),1978,39:9-10.

[4]Misiurewicz M.Strange attractors for the Lozi mapping[J].Ann W Y Acad Sci,1980,375:348-358.

[5]Tel T.On the construction of stable and unstable manifolds of two-dimensinal maps[J].Z Phys,1982,B49:157-160.

[6]Tel T.On the construction of invariant curves of periodic-two points in two-dimensinal maps[J].Phys Lett,1983,A94:334-336.

[7]Tel T.Invariant curves,attractors and phase diagram of a piecewise linear map with chaos[J].J Stat Phys,1983,33:195-199.

[8]朱照宣,劉曾榮.一個(gè)分段線性Hénon映射吸引集合的結(jié)構(gòu)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與學(xué),1988,9:771-778.

[9]曹永羅.Lozi映射的奇怪吸引子和吸引域的結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,1996,25:315-319.

[10]Cao Y L,Liu Z R.Strange attractor in the orientation-preserving Lozi map[J].Chaos,Soliton&Fract,1998,9(11):1857-1863.

[11]Milnor J.On the concept of attractor[J].Commun Math Phys,1985,99(2):177-195.

[12]Wiggins S.Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos[M].Berlin:Springer-Verlag,1990.

[13]Benedicks M,Carleson L.The dynamics of the Hénon map[J].Ann Math,1991,133:73-169.