毛麗娟, 那仁滿都拉

(1.內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙通遼028043; 2.內(nèi)蒙古民族大學(xué)物理與電子信息學(xué)院,內(nèi)蒙通遼028043)

非線性波動(dòng)問題的研究,對(duì)力學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、材料工程學(xué)、結(jié)構(gòu)工程學(xué)、巖土工程學(xué)以及地震學(xué)等不同領(lǐng)域的相關(guān)問題都具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.如一種非線性波——孤立波的研究對(duì)固體材料的無損檢測(cè)具有重要的理論指導(dǎo)意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.因?yàn)楣铝⒉ㄔ诠腆w材料中傳播時(shí),其形狀、幅度以及速度中攜帶著反映固體材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征的重要信息,所以研究孤立波的傳播及演化特征對(duì)固體材料的無損檢測(cè)有理論指導(dǎo)意義.

在非線性波動(dòng)問題的研究中,非線性波動(dòng)方程的求解是關(guān)鍵而重要的問題.多年來,數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家們不斷探究這一問題,并提出了多種有效方法.例如,反散射方法[1]、Backlund 變換法[2]、Hirota方法[3-4]、Painleve分析法[5]、Tanh 函數(shù)展開法[6]、齊次平衡法[7-8]、變量分離方法[9-10]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法[11]、輔助方程法[12-13]等.利用這些方法可以獲得非線性波動(dòng)方程的雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解、橢圓函數(shù)解、有理函數(shù)解.最近,文獻(xiàn)[14-15]利用Riemann-θ函數(shù)展開法,給出了(2+1)維破裂孤子方程和Korteweg de Vries-正弦Gordon方程的Riemann-θ函數(shù)解.

本文首先以Jacobi-θ函數(shù)所滿足的第一種橢圓方程作為輔助方程,將給出一種Jacobi-θ函數(shù)展開方法.然后利用該方法研究描述微結(jié)構(gòu)固體中波傳播的非線性波模型,即如下 Boussinesq類方程[16]

給出該方程的多種Jacobi-θ函數(shù)解.

1 Jacobi-θ函數(shù)與第一種橢圓方程

2 Jacobi-θ函數(shù)解

考慮微結(jié)構(gòu)固體中非線性波方程(1),尋求它的如下行波解

其中k和c分別為波數(shù)和波速.對(duì)方程(1)進(jìn)行行波約化,可得

設(shè)方程(8)具有如下形式解

利用齊次平衡原則[7-8],平衡可得n=2.因此,形式解(8)變成

其中F=F(ξ)滿足方程(6).將(10)式代入方程(8),并利用輔助方程(6),可將方程(8)的左邊轉(zhuǎn)化為關(guān)于iFj(i=0,1;j=0,1,2,…)的多項(xiàng)式的形式,然后令這些項(xiàng)的系數(shù)為零,可以得到關(guān)于a0、a1、a2、b1、b2、c1、c2、d1、d2的方程組.最后利用Maple數(shù)學(xué)軟件解這個(gè)方程組,可得到:

圖1 解(17)表示的周期波解Fig.1 The periodic wave solution expressed by equation(17)

圖2 解(18)表示的周期波解Fig.2 The periodic wave solution expressed by equation(18)

圖3 解(31)表示的周期波解Fig.3 The periodic wave solution expressed by equation(31)

圖4 解(45)表示的周期波解Fig.4 The periodic wave solution expressed by equation(45)

為了解所得解的形狀特性,對(duì)一些典型解進(jìn)行了繪圖分析,如圖1～4所示.繪圖時(shí)各參數(shù)選取為k=1,c=1/2,α=-2.

3 結(jié)語

本文以Jacobi-θ函數(shù)滿足的第一種橢圓方程作為輔助方程,給出了一種Jacobi-θ函數(shù)展開方法,并用該方法研究微結(jié)構(gòu)固體中非線性波方程,得到了該方程許多種Jacobi-θ函數(shù)解.對(duì)所得解中的一些典型解進(jìn)行繪圖分析可知,Jacobi-θ函數(shù)解可表示周期解,在特殊情況下也可表示橢圓函數(shù)解和孤立波解.本文所得結(jié)果豐富了微結(jié)構(gòu)固體中非線性波方程的精確解,對(duì)微結(jié)構(gòu)固體中非線性波傳播特性的認(rèn)識(shí)與理解將起一定的幫助作用.

致謝內(nèi)蒙古民族大學(xué)科研創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)建設(shè)計(jì)劃對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

[1]Ablowitz M J,Clarkson P A.Solitons Nonlinear Evolution and Inverse Scattering[M].Cambridge:Cambridge University Press,1991.

[2]谷超豪.孤立子理論與應(yīng)用[M].杭州:浙江科學(xué)技術(shù)出版社,1990.

[3]Hirota R.Exact solution of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons[J].Phys Rev Lett,1971,27(18):1192-1194.

[4]李正彪,夏蓮.非線性Schr?dinger耦合方程組的同宿軌[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,34(1):59-62.

[5]Lou S Y.Extended painleve expansion,nonstandard truncation and special reductions of nonlinear evolution equations[J].Z Naturforsch,1998,A53:251-258.

[6]李志斌,張善卿.非線性波方程準(zhǔn)確孤立波解的符號(hào)計(jì)算[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),1997,17(1):81-89.

[7]Wang M L.Solitary wave solutions for variant Boussinesq equations[J].Phys Lett,1995,A199:169-172.

[8]Wang M L.Exact solutions for a compound KdV-Burgers equation[J].Phys Lett,1996,A213:279-287.

[9]Lou S Y.On the coherent structures of the Nizhnik-Novikov-Veselov eauqtion[J].Phys Lett,2000,A277:94-100.

[10]Tang X Y,Lou S Y,Zhang Y.Localized excitations in(2+1)-dimensional systems[J].Phys Rev,2002,E66(4):46601-46618.

[11]劉式適,傅遵濤,劉式達(dá),等.Jacobi橢圓函數(shù)展開法及其在求解非線性波動(dòng)方程中的應(yīng)用[J].物理學(xué)報(bào),2001,50(11):2068-2072.

[12]Taogetusang,Narenmandula.Constructing infinite sequence exact solutions of nonlinear evolution equations[J].Chin Phys,2011,B20(11):110203.

[13]劉倩,周鈺謙,劉合春.廣義Hirota-Satsuma耦合KdV方程的精確解[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,34(3):335-339.

[14]Wang J M,Yang X.Θ-function solutions to the(2+1)-dimensional breaking soliton equation[J].Chin Phys Lett,2011,28(9):090203.

[15]王軍民.修正的Korteweg de Vries-正弦Gordon方程的Riemann-θ函數(shù)解[J].物理學(xué)報(bào),2012,61(8):080201.

[16]格根塔娜,那仁滿都拉.微結(jié)構(gòu)頻散固體中的非線性聲孤立波及其應(yīng)用[J].聲學(xué)技術(shù),2010,29(4):614-621.

[17]Abramowitz M,Stegun I.Handbook of Mathematical Function[M].New York:Dover Publications Inc,1964.