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        高次非線性薛定諤微分方程的新精確解

        2010-10-26 03:49:24董長紫
        唐山師范學(xué)院學(xué)報 2010年2期
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)方法

        董長紫

        (隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)系,甘肅 慶陽 745000)

        非線性薛定諤方程是數(shù)學(xué)物理中一類重要的非線性演化方程。在量子力學(xué)、非線性光學(xué)、電磁學(xué)、等離子體理論、固體物理及玻色-愛因斯坦凝聚等眾多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。關(guān)于非線性微分方程的求解,已出現(xiàn)了許多精巧的方法。如齊次平衡法[1,2]、雙曲函數(shù)展開法[3,4]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法[5,6]、Riccati方程映射法[7]、行波解法[8]等等。2005年,趙敦[9]給出了解非線性偏微分方程精確解的一種有效的方法——直接截斷法。本文將以直接截斷法為基礎(chǔ),結(jié)合Jacobi橢圓函數(shù),構(gòu)造方程(1)含橢圓函數(shù)的精確解。

        對于給出的偏微分方程:假設(shè)方程(2)有如下形式的解:

        其中 k1,k2,?1,?2均是要被確定的參數(shù)。現(xiàn)在,只需要處理普通的微分方程:

        第一步:假設(shè)φ()ξ有以下的形式:

        其中aij, p , q, r 均是待確定的參數(shù),指數(shù)τ的值則可以通過平衡方程(4)中的最高次非線性項和最高次的偏微分項的次數(shù)而確定。 f(ξ), g(ξ)滿足以下橢圓函數(shù)的條件:

        Jacobi橢圓函數(shù)具有一些非常重要的性質(zhì):

        (1)三角函數(shù)的性質(zhì)

        (2)Jacobi橢圓函數(shù)的微分

        (3)當(dāng)k→0時,Jacobi橢圓函數(shù)退化為三角函數(shù)

        (4)當(dāng)k→1時,Jacobi橢圓函數(shù)退化為三雙曲函數(shù)

        關(guān)于Jacobi橢圓函數(shù)更多的了解,可參閱[6,7]。

        第二步:將(5)、(6)代入(4),則可得到關(guān)于f(ξ)和g(ξ)的多項式;

        第三步:令 fi(ξ) gj(ξ)的系數(shù)和在第二步得到的方程的常數(shù)項為0,則可以得到一個代數(shù)方程組;

        第四步:對于 i +j=0,1,2,…n,解在第三步中得到的代數(shù)系統(tǒng),而得到所設(shè)參數(shù)的值;

        根據(jù)方程(5)、(3)而得到φ(ξ)和方程(2)的精確解。

        本文主要討論 (1)的精確解。首先做一個變換,假設(shè):

        將(7)式代入(1)式并整理其實部和虛部可得:

        對(8)式兩邊關(guān)于ξ進(jìn)行積分,且積分常數(shù)為0,則有:

        比較 (9)(10)式,它們有相同的解,則其系數(shù)應(yīng)滿足:

        根據(jù)上式,可得:

        因此,可以將求解原方程(1)精確解的問題,轉(zhuǎn)換為求解方程(10)的解。為了計算方便,令:

        則方程(10)可以簡化為:

        利用奇次平衡法,平衡φ''(ξ)和φ(ξ )3的次數(shù),則可得τ =1?,F(xiàn)在來尋找方程(11)具有以下形式的精確解:

        將方程(12)、(6)式代入 (11),得到關(guān)于f(ξ)和g(ξ)的方程,令其系數(shù)及常數(shù)項為 0,可得一個關(guān)于a, b, c, r ,p, q , k1, ?1的方程組,解其方程組可得以下主要結(jié)果:

        則當(dāng) αγ1( k2-1)>0時,根據(jù)橢圓函數(shù)的性質(zhì)有:

        則當(dāng)α γ1<0時,根據(jù)橢圓函數(shù)的性質(zhì)有:

        則當(dāng)α γ1<0時,根據(jù)橢圓函數(shù)的性質(zhì)有:

        則當(dāng)αγ1>0時,根據(jù)橢圓函數(shù)的性質(zhì)有:

        本文根據(jù)直接截斷法及Jacobi橢圓函數(shù)的性質(zhì),得到了高次非線性薛定諤方程的新的 Jacobi橢圓函數(shù)解??梢钥吹?,此直接法比已知的一般的方法對于得到一些具有特殊形式的精確解更直觀且更有效。但是,如果方程不存在假設(shè)形式的解,此方法將無能為力。需要說明的是,此方法不但適用于其它非線性波動方程,對于解常微分方程也適用。

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