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        關(guān)于歐拉方程的進(jìn)一步討論

        2010-11-07 12:25:32宋澤成
        關(guān)鍵詞:科學(xué)系歐拉唐山

        宋澤成

        (唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系,河北 唐山 063000)

        在現(xiàn)行的教材中,都把形如

        的方程稱為歐拉方程,(其中 a1,a2,…, an是常數(shù)),并給出了其解法,如果定義形式僅局限于此,對于更深刻的理解歐拉方程,掌握歐拉方程的應(yīng)用很不利,因此有必要將其從形式到解法進(jìn)行推廣,使其應(yīng)用更廣泛。

        1 推廣的歐拉方程及解法

        定義1 形如

        的方程(其中 a, b, a1, a2,… ,an均為常數(shù))稱為推廣的歐拉方程。

        a=1,b=0則方程(2)轉(zhuǎn)化成方程(1),因此方程(1)是方程(2)的特殊情況。

        在方程(2)中令t=ax+b,則

        代入(2)中得

        即方程(2)也可轉(zhuǎn)化方程(1),進(jìn)一步可按方程(1)的解法求解方程(2)。

        例1 求方程

        的通解。

        解 作變換 z= 2 x+ 1,則有

        代入原方程得

        方程(4)的通解為 y = c1z+c2z2

        原方程的通解為

        定義2 形如

        的方程稱為非齊歐拉方程(其中 a1, a2,… ,an為常數(shù))。當(dāng)f( x) = 0時(shí),方程(1)稱為齊歐拉方程。

        一般地,可先求齊歐拉方程的通解,然后利用常數(shù)變易法求非齊歐拉方程的通解,但比較麻煩,因此對于 f( x)的一些特殊情況可以直接作變換將其轉(zhuǎn)化成常系數(shù)的線性方程,再利用歐拉待定指數(shù)函數(shù)法求解。

        例2 求非齊歐拉方程

        的通解。

        解 作變換 x=eu,于是方程化為

        利用待定系數(shù)法,求得(6)的通解為

        將 u x=e代入上式,得到原方程的通解為

        其中c1, c2為任意常數(shù)。

        例3 求非齊歐拉方程

        的通解。

        解 作變換x=eu,于是方程化為

        利用待定系數(shù)法,求得方程(7)的通解為

        將x=eu代入上式,得到原方程的通解為

        其中c1, c2為任意常數(shù)。

        2 二階齊歐拉方程一種特殊解法

        定理 對于二階齊歐拉方程

        如果 a1=-a2,那么 y=x( x ≠ 0)是方程的一個(gè)特解,其通解為

        代入方程(8)左邊得,左=a1x+a2x;又 a1=-a2,所以左=0=右,即y=x是方程(8)的特解。

        通解的證明見文獻(xiàn)[1]。

        例4 求歐拉方程

        的通解。

        解 因?yàn)閍1=1,a2=-1,所以y=x是原方程的一個(gè)特解,那么方程的通解為

        計(jì)算整理得

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