龔黔芬, 聞道君, 唐 艷

(1.重慶工商大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院,重慶400067; 2.重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶400067)

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)H為一實(shí)Hilbert空間,其內(nèi)積和范數(shù)分別表示為〈·,·〉和‖·‖.設(shè)C為H的一個(gè)非空閉凸子集,設(shè)T:C→C為一非線性映象,稱T是非擴(kuò)張映象,如果

同時(shí),文獻(xiàn)[6]介紹了一類廣義的漸近偽壓縮映象,如果存在常數(shù)kn∈[1,∞),,使得

在Hilbert空間中,(2)式定義的漸近偽壓縮映象等價(jià)于

顯然,漸近嚴(yán)格偽壓縮映象是嚴(yán)格偽壓縮映象的進(jìn)一步推廣,并且每一個(gè)漸近非擴(kuò)張映象均為漸近0-嚴(yán)格偽壓縮映象.漸近λ-嚴(yán)格偽壓縮映象一定是漸近偽壓縮映象,但其逆命題卻不成立[1-6].本文以Fix(T)表示T的不動(dòng)點(diǎn)集合,即Fix(T)={x∈C,Tx=x}.

不動(dòng)點(diǎn)理論是現(xiàn)代非線性分析的重要組成部分,廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)決策、最優(yōu)化理論、算子理論、數(shù)值分析和動(dòng)力系統(tǒng)等領(lǐng)域.近年來,非線性映象的不動(dòng)點(diǎn)定理及其逼近算法引起了數(shù)學(xué)研究者的極大興趣,他們努力尋求各種有效的數(shù)值算法逼近Fix(T)中的某個(gè)元素,并獲得了一系列很好的研究成果[7-21].2000年,A.Moudafi[7]引進(jìn)壓縮映象f∶C→C,建立一個(gè)粘滯逼近方法.

在一定條件下證明了粘滯迭代序列強(qiáng)收斂到T的某個(gè)不動(dòng)點(diǎn)q,并且該不動(dòng)點(diǎn)為變分不等式

的唯一解.此后,粘滯逼近方法被應(yīng)用到凸優(yōu)化問題、單調(diào)包含和微分方程等領(lǐng)域,受到越來越多數(shù)學(xué)愛好者和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域研究者的廣泛關(guān)注[8-10].2008年,W.Takahashi等[11]利用投影技巧建立了逼近非擴(kuò)張映象不動(dòng)點(diǎn)的混合投影算法,并在一定條件下證明了混合迭代序列強(qiáng)收斂到非擴(kuò)張映象T的不動(dòng)點(diǎn)q=PFix(T)x.2010年,H.Zegeye等[12]進(jìn)一步將混合投影算法推廣到漸近偽壓縮映象的不動(dòng)點(diǎn)逼近,并在集合C有界的條件下證明了相應(yīng)的迭代序列強(qiáng)收斂到漸近偽壓縮映象T的不動(dòng)點(diǎn).

在此基礎(chǔ)上,將粘滯逼近方法(4)中的壓縮映象f推廣到Meir-Keeler壓縮映象,定義一個(gè)新的逼近漸近偽壓縮映象不動(dòng)點(diǎn)的粘滯 -混合投影投影方法.

目的在于在Hilbert空間中簡(jiǎn)化并改進(jìn)W.Takahashi等[11]提出的混合投影算法(CQ算法),建立逼近漸近偽壓縮映象不動(dòng)點(diǎn)的強(qiáng)收斂定理,并在收斂性分析中去掉了C的有界性.所得的主要結(jié)論改進(jìn)并推廣了文獻(xiàn)[7,11-12]中相應(yīng)的研究成果.設(shè)H為一實(shí)Hilbert空間,其內(nèi)積和范數(shù)分別表示為〈·,·〉和‖·‖,C為H的一個(gè)非空閉凸子集.以xn→x和xn?x分別表示序列{xn}強(qiáng)和弱收斂到x.對(duì)?x∈H,在C中存在唯一的最近點(diǎn)PCx,即

稱PC為H到C上的度量投影.從文獻(xiàn)[1]可知,PC是非擴(kuò)張的,且u=PCx的充分必要條件是

稱T是一致L-Lipschitz連續(xù)的,如存在L>0,使得‖Tnx-Tny‖≤L‖x-y‖, ?x,y∈C,n∈N.

引理1[12]設(shè)C為Hilbert空間H的非空閉凸子集,T:C→C為(3)式定義的漸近偽壓縮映象.如果T是一致L-Lipschitz連續(xù)的,則Fix(T)為閉凸集.

引理2[12]設(shè)C為Hilbert空間H的非空閉凸子集,T:C→C為(3)式定義的漸近偽壓縮映象.如果T是一致L-Lipschitz連續(xù)的且{xn}?C且xn?x,xn-Txn→0,則x∈Fix(T).

引理3[13]在Hilbert空間H中,下列不等式成立:

引理4[13]設(shè)C為Hilbert空間H的非空閉凸子集,對(duì)?x,y,z∈H和給定的a∈R,則ΠC為閉凸集,其中

設(shè)(X,d)為一完備度量空間,稱f:X→X為壓縮映象:如果存在系數(shù)r∈(0,1),使得

從文獻(xiàn)[14]可知,壓縮映象f存在唯一不動(dòng)點(diǎn).另一方面,Meir-Keeler定義了一個(gè)新的壓縮映象,稱為Meir-Keeler壓縮映象:如果對(duì)?>0,存在δ>0,當(dāng)d(x,y)<+δ時(shí),有

Meir-Keeler壓縮映象包含壓縮映象,是壓縮映象的一種推廣形式,且有如下結(jié)論.

引理5[15]設(shè)f是完備度量空間(X,d)中的Meir-Keeler壓縮映象,則f存在唯一不動(dòng)點(diǎn).

引理6[16]設(shè)K為Banach空間E的凸子集,f:K→K為Meir-Keeler壓縮映象,則對(duì)?>0,存在r∈(0,1),當(dāng)‖x-y‖≥時(shí)有

成立.

設(shè){Cn}為H的非空閉凸子集序列,N為正整數(shù)集.定義H的s-LinCn子集:x∈s-LinCn當(dāng)且僅當(dāng)存在{xn}?H并滿足xn→x和xn∈Cn,?n∈N.類似地,定義H的w-LsnCn子集:y∈w-LsnCn當(dāng)且僅當(dāng)存在{Cni}?{Cn},{yi}?H并滿足yi?y和yi∈Cni,?i∈N.如果C0?H且C0=s-LinCn=w-LsnCn,稱{Cn}收斂到C0,記為C0=M-具有該極限性質(zhì)最簡(jiǎn)單的例子是呈現(xiàn)包含關(guān)系的遞減序列{Cn}比如(參見文獻(xiàn)[17]).

引理7[18]設(shè){Cn}為Hilbert空間H的非空閉凸子集序列,如果存在且不為空集,則對(duì)?x∈H,序列{PCnx}強(qiáng)收斂到{PC0x}.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)C為Hilbert空間H的非空閉凸子集,f:C→C為Meir-Keeler壓縮映象,T:C→C為一致L-Lipschitz連續(xù)的漸近偽壓縮映象且Fix(T)≠?.如果0

證明由引理1和PC的非擴(kuò)張性,可知PFix(T)f是定義在C上的Meir-Keeler壓縮映象[16].由引理5,PFix(T)f存在唯一不動(dòng)點(diǎn),記q=PFix(T)f(q).

首先,證明Cn是閉凸集且Fix(T)?Cn.由(6)式和引理4易得Cn是閉凸集.另一方面,由于Fix(T)?C1=C,不妨假設(shè)Fix(T)?Ck,k≥1.對(duì)?p∈Fix(T)?Ck,結(jié)合(5)式和引理3得

不難驗(yàn)證θn→0(n→∞).在(8)式中取n=k即得p∈Ck+1.因此,對(duì)?n≥1,有Fix(T)?Cn+1?Cn.

(II)對(duì)?n≥n0都有‖xn-q‖≥+δ成立,則由(5)和(11)式得

[1]Takahashi W.Nonlinear Functional Analysis[M].Yokohama:Yokohama Publishers,2000.

[2]劉敏.廣義平衡問題與無限族k-嚴(yán)格偽壓縮映象的強(qiáng)收斂定理[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,34(1):63-70.

[3]Wen D J.Strong convergence theorems for equilibrium problems andk-strict pseudocontractions in Hilbert spaces[J].Abst Appl Anal,2011,doi:10.1155/2011/276874.

[4]Kim T H,Xu H K.Convergence of the modified Mann’s iteration method for asymptotically strict pseudocontractions[J].Nonlinear Anal,2008,68:2828-2836.

[5]Qin X,Lin L J,Kang S M.On a generalized Ky Fan inequality and asymptotically strict pseudocontractions in the intermediate sense[J].J Optim Theory Appl,2011,150:553-579.

[6]Qin X,Cho S Y,Kim J K.Convergence theorems on asymptotically pseudocontractions in the intermediate sense[J].J Optim Theory Appl,2011,150:553-579.

[7]Moudafi A.Viscosity approximation methods for fixed-points problems[J].J Math Anal Appl,2000,241:46-55.

[8]劉英,蘇珂.Hilbert空間中廣義平衡問題和不動(dòng)點(diǎn)問題的粘滯逼近法[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2010,53(2):363-374.

[9]Inchan I.Viscosity iteration method for generalized equilibrium problems and fixed point problems of finite family of nonexpansive mappings[J].Appl Math Comput,2012,219:2949-2959.

[10]Kimuraa Y,Nakajo K.Viscosity approximations by the shrinking projection method in Hilbert spaces[J].Comput Math Appl,2012,63:1400-1408.

[11]Takahashi W,Takeuchi Y,Kubota R.Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces[J].J Math Anal Appl,2008,341:276-286.

[12]Zegeye H,Robdera M,Choudhary B.Convergence theorems on asymptotically pseudocontractive mappings in the Intermediate sense[J].Comput&Math Appl,2011,62(1):326-332.

[13]Marino G,Xu H K.Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions in Hilbert spaces[J].J Math Anal Appl,2007,329:336-346.

[14]Banach S.Sur les opération dans les ensembles abstraits etleur applications auxéquations intégrales[J].Fund Math,1922,3:133-181.

[15]Meir A,Keeler E.A theorem on contraction mappings[J].J Math Anal Appl,1969,28:326-329.

[16]Suzuki T.Moudafi’s viscosity approximations with Meir-Keeler contractions[J].J Math Anal Appl,2007,325:342-352.

[17]Beer G.Topologies on Closed and Closed Convex Sets[M].Dordrecht:Kluwer Academic Publishers Group,1993.

[18]Tsukada M.Convergence of best approximations in a smooth Banach space[J].J Approx Theory,1984,40:301-309.

[19]馬樂榮,高興慧.Hilbert空間中閉的擬嚴(yán)格偽壓縮映像的收縮投影方法[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,34(6):780-783.

[20]聞道君,鄧?yán)?有限簇非擴(kuò)張映象的不動(dòng)點(diǎn)定理及逼近算法[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2012,32(3):540-546.

[21]Wen D J,Chen Y A.Strong convergence of modified general iterative method for generalized equilibrium problems and fixed point problems ofk-strict pseudo-contractions[J].Fixed Point Theory and Appl,2012,doi:10.1186/1687-1812-2012-125.