徐勇軍，趙曉暉

(吉林大學(xué) 通信工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012)

1 引言

近年來(lái)，隨著人們生活水平的提高和無(wú)線(xiàn)通信業(yè)務(wù)的迅速發(fā)展，頻譜資源作為一種珍貴的有限資源變得越來(lái)越緊張。由于現(xiàn)有的頻譜授權(quán)機(jī)制采用固定的頻譜分配方式，使得頻譜利用率低，造成大量的頻譜資源浪費(fèi)，因此，如何提高頻譜資源的重復(fù)利用率，緩解頻譜資源緊張的問(wèn)題，成為目前無(wú)線(xiàn)通信領(lǐng)域亟待解決的問(wèn)題。認(rèn)知無(wú)線(xiàn)電（cognitive radio）技術(shù)[1]正是在這樣的情況下應(yīng)運(yùn)而生。

傳輸功率控制是認(rèn)知無(wú)線(xiàn)電資源分配的關(guān)鍵技術(shù)。近年來(lái)，針對(duì)不同的優(yōu)化指標(biāo)和約束條件，選擇合理的功率分配方式受到學(xué)者們的關(guān)注[2,3]。雖然這些方法在實(shí)現(xiàn)頻譜資源分配方面取得了一些研究成果，但沒(méi)有考慮參數(shù)不確定性對(duì)系統(tǒng)性能的影響，都假設(shè)系統(tǒng)參數(shù)能夠精確得到。然而，由于信道估計(jì)誤差、量化誤差和時(shí)延等影響，很難獲得精確的系統(tǒng)參數(shù)。因此，在實(shí)際通信環(huán)境中，基于名義模型的算法可能由于這些不確定性會(huì)出現(xiàn)用戶(hù)的通信中斷問(wèn)題。從而，有必要考慮和研究算法的頑健性。

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)認(rèn)知無(wú)線(xiàn)電頑健性方面的研究較少，已存在的工作集中在認(rèn)知系統(tǒng)頑健波束成形器設(shè)計(jì)上[4,5]，很少有關(guān)于認(rèn)知無(wú)線(xiàn)電頑健控制方面的研究。文獻(xiàn)[6]考慮噪聲和QoS的時(shí)變性，利用頑健帕累托（Pareto）優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)無(wú)線(xiàn)蜂窩系統(tǒng)中頑健傳輸功率最小問(wèn)題。文獻(xiàn)[7]基于有界信道不確定性模型，提出一種頑健功率控制博弈算法實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)速率最大。雖然上述2種方法是對(duì)頑健資源分配問(wèn)題的初步嘗試，但是沒(méi)有考慮認(rèn)知場(chǎng)景。近年來(lái)，認(rèn)知無(wú)線(xiàn)電系統(tǒng)中參數(shù)不確定問(wèn)題逐漸引起人們的關(guān)注[8～10]。文獻(xiàn)[8]基于二階錐規(guī)劃（SOCP）提出了一種分布式頑健功率控制算法，但只考慮了單用戶(hù)情景。在多用戶(hù)環(huán)境下，基于正交頻分復(fù)用（OFDM）技術(shù)，文獻(xiàn)[9] 提出了頑健迭代注水算法實(shí)現(xiàn)用戶(hù)數(shù)據(jù)速率最大化。考慮用戶(hù)信干噪比（SINR）和干擾溫度中斷概率約束，基于連續(xù)幾何規(guī)劃方法，文獻(xiàn)[10]研究了網(wǎng)絡(luò)效用最大化問(wèn)題。然而，由于不確定性概率分布和統(tǒng)計(jì)信息很難得到，因此上述基于概率約束優(yōu)化模型的算法不易實(shí)現(xiàn)。進(jìn)一步，針對(duì)一個(gè)認(rèn)知空間/時(shí)分多址（STDMA）網(wǎng)絡(luò)，考慮最壞SINR和干擾溫度約束，文獻(xiàn)[11]基于分布式列生成方法實(shí)現(xiàn)最小認(rèn)知鏈路傳輸長(zhǎng)度?？紤]下墊式認(rèn)知通信環(huán)境，信道不確定性定義為估計(jì)值和精確值的有界距離，文獻(xiàn)[12]提出了一種頑健干擾控制方法實(shí)現(xiàn)認(rèn)知用戶(hù)吞吐量最大。然而，忽略了每個(gè)次用戶(hù)的QoS需求。文獻(xiàn)[13]在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上，考慮SINR約束，提出了一種分布式頑健功率控制方法。通過(guò)輔助變量將原優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)幾何規(guī)劃問(wèn)題求解，由于沒(méi)有考慮認(rèn)知用戶(hù)直接信道增益和噪聲干擾攝動(dòng)影響，且將效用函數(shù)近似處理，并不適用于低SINR情景。

可以發(fā)現(xiàn)，目前已有的頑健資源分配算法主要是以多天線(xiàn)系統(tǒng)和最大化吞吐量為優(yōu)化目標(biāo)，在單用戶(hù)場(chǎng)景考慮干擾溫度中信道增益的不確定性影響。雖然該類(lèi)算法能夠?qū)崿F(xiàn)在參數(shù)攝動(dòng)下保證主用戶(hù)通信質(zhì)量，由于缺少對(duì)SINR的考慮，次用戶(hù)的通信質(zhì)量得不到保障。

針對(duì)認(rèn)知無(wú)線(xiàn)電系統(tǒng)參數(shù)不確定性問(wèn)題，本文提出了一種頑健資源分配算法。該算法以最小化次用戶(hù)總的發(fā)射功率為目標(biāo)，考慮次用戶(hù)發(fā)射功率和最小期望SINR約束及主用戶(hù)干擾溫度約束，采用歐幾里得球形不確定性描述信道增益不確定性，基于worst-case約束，將頑健功率控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)確定性的資源分配問(wèn)題，并利用拉格朗日對(duì)偶原理及次梯度更新方法求解。該算法可同時(shí)保證主用戶(hù)和次用戶(hù)的QoS，減小用戶(hù)之間的信息交換。仿真結(jié)果表明所提出的頑健算法以達(dá)到次優(yōu)性能為代價(jià)來(lái)提高系統(tǒng)的頑健性。

2 系統(tǒng)模型

考慮多用戶(hù)分布式認(rèn)知無(wú)線(xiàn)電網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)系統(tǒng)中有M對(duì)認(rèn)知用戶(hù)，N對(duì)主用戶(hù)。認(rèn)知用戶(hù)和主用戶(hù)鏈路集合分別定義為A={1,…,M}和B={1,…,N}，且?i,j∈A,?k∈B。其中，i,j表示網(wǎng)絡(luò)中任意2個(gè)不同的認(rèn)知用戶(hù)通信鏈路，k表示網(wǎng)絡(luò)中任意一個(gè)主用戶(hù)通信鏈路。假設(shè)每條鏈路有一對(duì)收發(fā)機(jī)，且都為單天線(xiàn)通信。為了在下墊式（underlay）頻譜共享方式下保證主用戶(hù)的QoS，次用戶(hù)發(fā)射功率需要滿(mǎn)足如下干擾溫度約束：

其中，hki表示鏈路i上次用戶(hù)發(fā)射機(jī)到鏈路k上主用戶(hù)接收機(jī)間的鏈路增益；pi為鏈路i上次用戶(hù)發(fā)射機(jī)的發(fā)射功率；表示鏈路k上主用戶(hù)接收機(jī)能忍受的最大干擾功率（干擾溫度線(xiàn)）。

鏈路i上認(rèn)知用戶(hù)接收機(jī)的信干噪比SINR為

其中，iig為鏈路i上的直接信道增益；ijg表示鏈路j上認(rèn)知用戶(hù)發(fā)射機(jī)到鏈路i上次用戶(hù)接收機(jī)的干擾信道增益；jp為對(duì)應(yīng)鏈路j上認(rèn)知用戶(hù)發(fā)射機(jī)功率；in表示非認(rèn)知用戶(hù)帶來(lái)的干擾與噪聲功率之和，包括背景噪聲和網(wǎng)絡(luò)中所有主用戶(hù)對(duì)鏈路i上認(rèn)知用戶(hù)接收機(jī)的干擾。

為了防止網(wǎng)絡(luò)中其他用戶(hù)的干擾和環(huán)境噪聲影響每個(gè)認(rèn)知用戶(hù)的基本通信要求，每個(gè)認(rèn)知用戶(hù)接收機(jī)端應(yīng)該滿(mǎn)足如下SINR約束

本文優(yōu)化目標(biāo)為：最小化總的功率消耗同時(shí)滿(mǎn)足次用戶(hù)發(fā)射功率不超過(guò)最大電池容量（用戶(hù)最大發(fā)射功率），并同時(shí)滿(mǎn)足約束條件式(1)和式(3)。上述功率優(yōu)化問(wèn)題從數(shù)學(xué)上可以描述為

由于實(shí)際通信系統(tǒng)中存在量化誤差、信道估計(jì)誤差和延時(shí)等因素影響，導(dǎo)致認(rèn)知用戶(hù)不可能完全準(zhǔn)確知道系統(tǒng)的狀態(tài)信息。由于無(wú)線(xiàn)通信的隨機(jī)特性，基于名義優(yōu)化模型的算法[2,3]往往不能滿(mǎn)足實(shí)際需求，所以需要討論頑健資源分配問(wèn)題。

3 頑健功率控制算法

考慮到式(4)中信道增益的不確定性，結(jié)合歐幾里得球形不確定性描述，討論了一種分布頑健功率控制算法，解決系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)的資源分配問(wèn)題。

將信道增益kih的不確定描述為如下形式的歐幾里得球不確定形式。

其中，h?代表信道不確定性集合；代表信道實(shí)際值；[·]T表示向量或矩陣的轉(zhuǎn)置；表示歐幾里得范數(shù)；為相應(yīng)的估計(jì)信道增益向量，為球的中心；球的半徑大小由δk決定(δk≥0)，描述估計(jì)值和實(shí)際值之間的偏差程度；半徑δk越大代表估計(jì)值越不準(zhǔn)確，估計(jì)誤差較大。同時(shí)，信道不確定性可表示為其中，為范數(shù)有界誤差向量，且滿(mǎn)足

由不確定信道描述和優(yōu)化問(wèn)題式(4)，可得頑健資源分配問(wèn)題為

為了獲得頑健問(wèn)題的解析解，需要將問(wèn)題(7)轉(zhuǎn)換為一個(gè)確定性?xún)?yōu)化問(wèn)題?？紤]最壞約束情況下，干擾信道不確定性可以表示為

同理，不確定性SINR滿(mǎn)足

結(jié)合式(8)和式(9)，得到如下資源分配問(wèn)題

問(wèn)題(10)的拉格朗日函數(shù)為

式(12)可以分解為M個(gè)獨(dú)立的問(wèn)題，每個(gè)子問(wèn)題為每條認(rèn)知鏈路i上次用戶(hù)的資源分配問(wèn)題

其中，ωi( λ, μ)滿(mǎn)足

對(duì)于任意確定的對(duì)偶變量(,)λ μ，式(14)是關(guān)于變量ip的一個(gè)凸函數(shù)?；贙KT條件[14]，最優(yōu)功率解可表示為

根據(jù)次梯度更新算法，得到對(duì)偶變量的更新

其中，（·）+=max（ 0,·），t為迭代次數(shù)，α(t)和β(t)為步長(zhǎng)。只要步長(zhǎng)選擇足夠小的正常數(shù)，便可保證次梯度更新算法收斂[14]。

頑健分布式功率控制算法流程如下所示。

1) 在t=0時(shí)，設(shè)置主變量和次變量的初始值以及系統(tǒng)環(huán)境參數(shù)，滿(mǎn)足實(shí)際物理意義和解的存在性。即

2) 在次用戶(hù)接收機(jī)端，通過(guò)最小二乘法或者參數(shù)估計(jì)理論獲得信道，測(cè)量接收機(jī)處的干擾和噪聲，并計(jì)算干擾與噪聲和，考慮估計(jì)誤差iε，計(jì)算ITi值；通過(guò)式(17)更新對(duì)偶變量通過(guò)反饋信道返回ITi和μi(t +1)的值。

3) 在同一信道上的發(fā)射機(jī)端，接收ITi和μi(t +1)的值；估計(jì)信道增益hki，接收來(lái)自其他用戶(hù)的干擾功率和信道鏈路信息；考慮信道估計(jì)誤差δk，計(jì)算總的干擾功率。通過(guò)式(16)更新對(duì)偶變量λk(t +1)，更新功率變量其中，popt(t+1)通過(guò)式(15)更新。

4) 如果功率和對(duì)偶變量都收斂則算法停止，否則返回2)。

由對(duì)偶變量更新式(16)可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)次用戶(hù)之間需要進(jìn)行干擾信道信息交換，這種方式僅適用于網(wǎng)絡(luò)中用戶(hù)數(shù)量少的情況。然而，當(dāng)用戶(hù)數(shù)量多時(shí)，次用戶(hù)間大量的信息交換會(huì)影響算法的實(shí)時(shí)性和復(fù)雜度。為此，下面考慮另一種保守的功率分配算法。將約束式(1)可以考慮為對(duì)每個(gè)用戶(hù)的干擾溫度線(xiàn)，從而有如下形式

其中，式(18)為平均干擾約束，沒(méi)有考慮次用戶(hù)的遠(yuǎn)近效應(yīng)，M為接入網(wǎng)絡(luò)中的次用戶(hù)個(gè)數(shù)，該約束可等價(jià)為式(19)表示考慮次用戶(hù)公平性的干擾約束，kiκ為加權(quán)因子，且滿(mǎn)足當(dāng)次用戶(hù)離主用戶(hù)近時(shí)，次用戶(hù)應(yīng)該減小發(fā)射功率以免對(duì)主用戶(hù)產(chǎn)生大的干擾，該次用戶(hù)功率范圍應(yīng)該緊縮；如果次用戶(hù)離主用戶(hù)遠(yuǎn)，需要提高用戶(hù)的發(fā)射功率以滿(mǎn)足用戶(hù)的QoS需求。假設(shè)信道衰減模型為代表路徑衰減指數(shù)。因此，對(duì)于相同通信環(huán)境下（即路徑衰減指數(shù)相同），可以簡(jiǎn)單設(shè)計(jì)；對(duì)于不同環(huán)境下，；如果某個(gè)信道條件很差的次用戶(hù)發(fā)射最大功率仍然無(wú)法滿(mǎn)足自身的QoS需求，將該信道上的用戶(hù)發(fā)射功率分配為0，防止對(duì)其他次用戶(hù)和網(wǎng)絡(luò)中的主用戶(hù)造成不必要的干擾，該問(wèn)題需要通過(guò)接納控制算法(admission control algorithm)來(lái)改變當(dāng)前活動(dòng)次用戶(hù)的數(shù)量。

根據(jù)以上約束條件可得到如下改進(jìn)頑健功率控制算法為

并且用戶(hù)數(shù)量M和離主用戶(hù)的距離kid可以分別用文獻(xiàn)[15]和文獻(xiàn)[16]中的方法得到。

4 仿真結(jié)果與性能分析

為了驗(yàn)證所提算法的有效性，從系統(tǒng)性能和用戶(hù)QoS需求兩方面比較了頑健功率分配算法和非頑健功率算法、SOCP算法的性能。為了便于分析，本文省略對(duì)改進(jìn)算法的仿真結(jié)果。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中有2對(duì)次用戶(hù)和1對(duì)主用戶(hù)，即M=2,N=1，系統(tǒng)中每個(gè)用戶(hù)存在相同程度的不確定性。假設(shè)次用戶(hù)發(fā)射機(jī)最大發(fā)射功率為，信道增益和噪聲滿(mǎn)足最小期望的SINR為

圖1顯示出估計(jì)誤差bi在名義值附近隨機(jī)變化，變化范圍假設(shè)滿(mǎn)足區(qū)間[-0.05,0.05]，信道gi不確定性對(duì)次用戶(hù)接收信干噪比的影響。從圖2中可以看出，本文提出的頑健算法能夠保證實(shí)際SINR在參數(shù)攝動(dòng)下不低于最小信干噪比γid，由于提前考慮了參數(shù)不確定性影響，能夠保證每個(gè)次用戶(hù)的服務(wù)質(zhì)量，減小了用戶(hù)的中斷概率；然而，在不確定性情況下，非頑健算法不能保證在所有時(shí)刻都滿(mǎn)足最小信干噪比約束式(3)，當(dāng)實(shí)際接收到的信干噪比小于目標(biāo)值γid時(shí)，將會(huì)發(fā)生通信中斷。所以非頑健設(shè)計(jì)方法對(duì)信道變化不具有頑健性。

圖1 信道不確定性iε對(duì)接收到SINR的影響

圖2給出了在不同信道不確定性和最小SINR情況下，對(duì)系統(tǒng)性能（總功率消耗）的影響。假設(shè)每個(gè)信道的攝動(dòng)程度相同，并定義攝動(dòng)參數(shù)為從圖2中可以看出，隨著目標(biāo)信干噪比γid的增加，所需要的發(fā)射功率也隨之增大，從而使總的功率消耗增加。因?yàn)樾枰嗟陌l(fā)射功率來(lái)提高所需要的SINR性能。另一方面，隨著不確定性增大，總的功率消耗隨之增加。從式(9)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)估計(jì)誤差越大，頑健算法需要更多的發(fā)射功率來(lái)抑制參數(shù)不確定性對(duì)系統(tǒng)性能的影響，防止接收機(jī)端實(shí)際的SINR小于最小SINR需求。從整個(gè)系統(tǒng)性能的角度來(lái)說(shuō)，頑健算法通過(guò)犧牲系統(tǒng)最優(yōu)性（總功率消耗最?。﹣?lái)保證每個(gè)用戶(hù)的通信質(zhì)量。而非頑健算法（ξ=0）由于沒(méi)有考慮不確定性影響，總的功率消耗最少。

圖2 信道不確定性對(duì)總功率消耗的影響

圖3 本文算法與SOCP算法對(duì)比

圖3是文獻(xiàn)[13]中SOCP算法與本文算法信干噪比的對(duì)比。只考慮了直接信道參數(shù)不確定性的影響，并假設(shè)存在2個(gè)次用戶(hù)和1個(gè)主用戶(hù)存在的情況。最小信干噪比為15dγ=dB和26d γ=dB，背景噪聲為0.03 mW。從圖3(a)中可知，由于SOCP算法忽略了直接信道增益不確定性的影響，所以發(fā)射功率不變。然而，本文算法通過(guò)提高發(fā)射功率來(lái)克服該信道不確定性的影響。另外，從圖3(b)中還可以看出，本文算法能夠保證每個(gè)用戶(hù)的服務(wù)質(zhì)量，而SOCP算法無(wú)法滿(mǎn)足該要求。所以，本文算法通過(guò)提高發(fā)射功率作為代價(jià)來(lái)滿(mǎn)足不同用戶(hù)的QoS需求。

圖4給出了在參數(shù)不確定的情況下，用戶(hù)數(shù)量對(duì)系統(tǒng)性能的影響。假設(shè)系統(tǒng)參數(shù)與圖2中相同，參數(shù)攝動(dòng)δk=εi=10-4。從圖4中可以看出，隨著網(wǎng)絡(luò)中活動(dòng)的次用戶(hù)數(shù)量的增加，認(rèn)知系統(tǒng)消耗的有效總功率增大。由于主用戶(hù)數(shù)量的增加會(huì)對(duì)次用戶(hù)帶來(lái)更多的干擾，因此，當(dāng)主用戶(hù)數(shù)量增大會(huì)使得次用戶(hù)發(fā)射機(jī)需要進(jìn)一步提高發(fā)射功率來(lái)克服增加的干擾功率來(lái)維持次用戶(hù)的信干噪比。同時(shí)，增加次用戶(hù)數(shù)量，會(huì)使認(rèn)知系統(tǒng)的總功率消耗增大。在同一通信環(huán)境下，當(dāng)系統(tǒng)中成倍增加用戶(hù)數(shù)量，系統(tǒng)能量總消耗會(huì)比對(duì)應(yīng)比例多。例如用戶(hù)數(shù)量(M=6,N=3)的功率消耗大于3倍的用戶(hù)數(shù)量(M=2,N=1)的功率消耗。從次用戶(hù)本身來(lái)講，新接入的次用戶(hù)不僅對(duì)系統(tǒng)的總能耗有貢獻(xiàn)，并且對(duì)已存在的用戶(hù)造成更多干擾，因此當(dāng)前用戶(hù)需要提高自己的發(fā)射功率來(lái)滿(mǎn)足各自的QoS需求，以達(dá)到新的網(wǎng)絡(luò)平衡。另一方面，從主用戶(hù)方面來(lái)看，新增加的主用戶(hù)收發(fā)機(jī)會(huì)對(duì)次用戶(hù)接收機(jī)造成更多的干擾。

圖4 不同用戶(hù)數(shù)量對(duì)功率消耗的影響

5 結(jié)束語(yǔ)

考慮了干擾溫度和信干噪比中參數(shù)不確定性的影響，討論了認(rèn)知無(wú)線(xiàn)電網(wǎng)絡(luò)中以最小化發(fā)射功率為目標(biāo)的頑健資源分配問(wèn)題?；跉W幾里得球形不確定性描述方法，在最壞約束條件下，將無(wú)窮維不確定性線(xiàn)性約束轉(zhuǎn)換為有限維約束，從而將原優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)確定性凸優(yōu)化問(wèn)題。通過(guò)拉格朗日對(duì)偶原理和次梯度更新方法，得到頑健分布式最優(yōu)解。仿真結(jié)果表明，所提出的算法可以保證在所有給出的可能估計(jì)誤差條件下，仍然能夠保證系統(tǒng)的通信質(zhì)量，算法性能優(yōu)于非頑健功率分配方法。

[1] HAYKIN S. Cognitive radio: brain-empowered wireless communication[J]. IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 2005,23(2):201-220.

[2] GATSIS N, MARQUES A G, GIANNAKIS G B. Power control for cooperative dynamic spectrum access networks with diverse QoS constraints[J]. IEEE Transactions on Communications, 2010, 58(3): 933-944.

[3] NGO D T, NGOC T L. Distributed resource allocation for cognitive radio networks with spectrum-sharing constraints[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2011, 60(7):3436-3449.

[4] ZHANG L, LIANG Y C, XIN Y, etal. Robust cognitive beamforming with partial channel state information[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2009, 8(8):4143-4153.

[5] ZHANG G , WONG K K, OTTERSTEN B. Robust cognitive beamforming with bounded channel uncertainties[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2009, 57(12):4871-4881.

[6] JULIAN D, CHIANG M, NELL D O. Robust and QoS constrained optimization of power control in wireless cellular networks[A]. VTC 2001[C]. Altantic, NJ, 2001.1932-1936.

[7] ANANDKUMAR A J G, ANANDKUMAR A, LAMBOTHARAN S,etal. Robust rate maximization game under bounded channel uncertainty[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2011, 60(9): 4471-4486.

[8] SUN S Q, NI W M, ZHU Y. Robust power control in cognitive radio networks: a distributed way[A]. ICC 2011[C]. Kyoto, Japan, 2011.1-6.

[9] SETOODEH P, HAYKIN S. Robust transmit power control for cognitive radio[J]. Proceeding of IEEE, 2009, 97(5):915-939.

[10] ANESE E D, KIM S J, GIANNAKIS G B, etal. Power control for cognitive radio networks under channel uncertainty[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2011, 10(10):3541-3551.

[11] PHUNCHONGHARN P, HOSSAIN E. Distributed robust scheduling and power control for cognitive spatial reuse TDMA networks[J].IEEE Journal on Selected in Communications, 2012, 30(10): 1934-1946.

[12] PARSAEEFARD S, SHARAFAT A R. Robust worst-case interference control in underlay cognitive radio networks[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2012, 61(8):3731-3745.

[13] PARSAEEFARD S, SHARAFAT A R. Robust distributed power control in cognitive radio networks[J]. IEEE Transactions on Mobile Computing, 2013, 12(4): 609-620.

[14] BERTSEKAS D P. Nonlinear Programming 2nd ed[M]. Boston, MA:Athena Scientific, 1999.

[15] PERKINS C E, ROYER E M. Ad-hoc on demand distance vector routing[A]. IEEE WMCSA 1999[C]. New Orleans, 1999. 90-100.

[16] SAVIC V, ZAZO S. Reducing communication overhead for cooperative location using nonparametric belief propagation[J]. IEEE Wireless Communications Letter, 2012, 1(4):308-311.