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(湖州市第二中學(xué) 浙江湖州 313000)

2014年高考已經(jīng)落下帷幕，浙江省數(shù)學(xué)高考理科卷的命題很有特色，對學(xué)生的綜合要求較高.在許多核心知識點的考查方式上體現(xiàn)了命題者獨具匠心的一面，其中有不少試題的風(fēng)格和2013年有很大的相似之處，解題思路也很有關(guān)聯(lián)性，筆者暫且稱之為“傳承題”，取沿襲、承接、創(chuàng)新之意，對比摘錄如下，與大家一起評析.

1 “傳承題”之一：三視圖題，從“截”到“拼”

例1若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖1所示，則此幾何體的體積等于______cm2.

圖1 圖2

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第12題)

例2某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖3所示，則此幾何體的表面積是

( )

A.90 cm2B.129 cm2C.132 cm2D.138 cm2

圖3 圖4

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第3題)

評析三視圖是新課改后增加的內(nèi)容，在近幾年的高考中屬于熱點問題之一.此類試題讓學(xué)生關(guān)注從局部到整體的展開形式，以三視圖、直觀圖，以及點、線、面的位置關(guān)系來幫助學(xué)生完善思維結(jié)構(gòu)，發(fā)展空間想象能力，并在幾何直觀的基礎(chǔ)上，初步形成對空間圖形的邏輯推理能力，最終讓學(xué)生經(jīng)歷“實物模型—三視圖—直觀圖”這一相互轉(zhuǎn)化的過程來認(rèn)識幾何體.

例1的答案為24，該幾何體的直觀圖是直三棱柱在上面截去一個三棱錐(如圖2所示).例2的答案為D，該幾何體的直觀圖是直三棱柱和長方體的組合體(如圖4所示).這2道題有很多共通之處:首先難度上都定位為中檔題，但實際考查下來對學(xué)生來說是易錯題，另外在模型的設(shè)置上都對學(xué)生的空間想象能力提出了更高要求.不管是例1的“截”還是例2的“拼”，學(xué)生對此類“變形幾何體”的直觀認(rèn)知都存在一定的難度.在實際教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生嘗試以長方體作為載體來研究，以“切拼橡皮泥”的可操作模式來更好地獲得直觀感受.例2的設(shè)置體現(xiàn)了命題者對發(fā)展高中學(xué)生核心應(yīng)用能力和空間想象能力的持續(xù)關(guān)注.教師若在平時的教學(xué)中注重研究，關(guān)注學(xué)生相關(guān)能力的培養(yǎng)，而不是盲目做題，則學(xué)生解決此類問題應(yīng)該不是難事.

2 “傳承題”之二：平面向量，背景一致

( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

( )

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

評析平面向量是高考的必考內(nèi)容之一，近幾年向量試題的出題風(fēng)格相對比較靈活，入口寬，深入難，其解法主要有2個途徑：一是側(cè)重幾何表示的幾何法;二是側(cè)重坐標(biāo)表示的代數(shù)法.

例3和例4都考查了向量的同一個幾何背景，即平行四邊形法則及相關(guān)衍生性質(zhì).例3的答案為D，可以巧用極化恒等式來求解(其解法甚多，也多見于各種文章，具體過程不再贅述)，此種解法可充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的“精妙”.例4的答案為D，其中a+b，a-b，a和b的幾何意義是平行四邊形中的邊和對角線.例4是平行四邊形定理的一個應(yīng)用，即

max{|a+b|2,|a-b|2}.

從解答中可以發(fā)現(xiàn)，例4的設(shè)置體現(xiàn)了命題者對平面向量這一經(jīng)典數(shù)學(xué)概念的重視，正如章建躍教授所說：高中平面向量實質(zhì)上主要是幾何的應(yīng)用.

3 “傳承題”之三：線性規(guī)劃，“參數(shù)”依舊

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第13題)

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第13題)

評析線性規(guī)劃是運籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個重要分支,高中數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃實際是非常特殊的多元函數(shù)在簡易定義域上的一個簡單性質(zhì)——求最值的問題.教材的定位是讓學(xué)生初步了解運籌學(xué)的部分內(nèi)容，為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)，同時培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的基本數(shù)學(xué)思想.這部分內(nèi)容因其出題靈活，同時易與其他知識點交匯而在高考中越來越受到重視.

圖5

4 “傳承題”之四：壓軸填空，殊途同歸

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

圖6

例8如圖6，某人在垂直水平地面ABC的墻面前的點A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點P沿墻面的射擊線CM移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB=15 m，AC=25 m,∠BCM=30°,則tanθ的最大值______.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

評析例7和例8從考點來說都是最值問題.雖然從題目的形式上來說完全是2道題，但核心的解題思路其實是一致的，即最終通過相同的化歸轉(zhuǎn)化方式，變?yōu)榍蠖魏瘮?shù)的最值問題.

例7表面看是平面向量問題，實際上

從而

通過換元得到最大值為2.

例8添加如圖6所示的輔助線，可得

5 “傳承題”之五：函數(shù)大題，永恒旋律

例9已知a∈R，函數(shù)f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.

(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)當(dāng)x∈[0,2]時，求|f(x)|的最大值.

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

例10已知函數(shù)f(x)=x3+3|x-a|(其中a∈R).

(1)若f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分別記為M(a),m(a)，求M(a)-m(a);

(2)設(shè)b∈R，若[f(x)+b]2≤4對x∈[-1,1]恒成立，求3a+b的取值范圍.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

評析高考函數(shù)大題可以說是歷年必考的重點題之一，并且因為其綜合性強(qiáng)、形式多樣、難度較大，往往是考生心中的“夢魘”.要抓好函數(shù)大題，必須學(xué)會抓住條件，認(rèn)真分析、處理各知識點間的聯(lián)系，并且要熟練掌握含參討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化回歸、導(dǎo)數(shù)求值、函數(shù)性質(zhì)等基本數(shù)學(xué)思想和相關(guān)方法性質(zhì).

例9和例10從結(jié)構(gòu)上看是同一個三次函數(shù)模型，這是高中數(shù)學(xué)的典型模型，能很好地考查學(xué)生的基本函數(shù)解題素養(yǎng).實際上，近3年的浙江理科數(shù)學(xué)壓軸題均為三次函數(shù)含參型，可以看出命題者對此類題有所偏好.此外，這2道題在結(jié)構(gòu)上更包含了一個共同元素：絕對值，差別是例9出現(xiàn)在了求答部分，而例10放在了題干部分，可以說是一脈相承、交相輝映，當(dāng)然解法上必然也有很多相似之處.例9的2個小題層次性明顯，第(2)小題比較繁瑣，本質(zhì)上是3個層次結(jié)構(gòu)的含參討論問題；而例10切入難度比例9更大，含參討論出現(xiàn)在第(1)小題(具體求解略)，但同時作為第(1)小題的難度“補(bǔ)償”，第(2)小題若能轉(zhuǎn)化成“對-2-b≤f(x)≤2-b恒成立”，則可發(fā)現(xiàn)“M(a)-m(a)=4”這個關(guān)鍵點，結(jié)合第(1)小題的結(jié)論稍作討論問題就迎刃而解.從這2道題的對比可以發(fā)現(xiàn)命題者在重、難點把握和平衡上的“真功夫”，也真正體現(xiàn)了匠心獨具的一面.

總之，高考命題是一項非常嚴(yán)肅、復(fù)雜、技巧性強(qiáng)的系統(tǒng)工作，其本意是要考查廣大應(yīng)考生的基本素養(yǎng)和靈活應(yīng)用水平.作為一線教師，若能從高考的新趨勢、新特點出發(fā)，做好相關(guān)研究工作，鉆研教材，鉆研新的學(xué)法、考法，從高考的考法中捕捉一些特色、一些傳承，進(jìn)而領(lǐng)悟一些精髓，則必然會給我們的教學(xué)帶來諸多裨益.