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(蘭溪市教育局教研室 浙江蘭溪 321100)

2014年浙江省數(shù)學(xué)高考?jí)m埃落定，考生普遍反映試題背景新穎，題目靈活，運(yùn)算量大，考試時(shí)間不夠.其實(shí)這恰恰暴露了當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)中注重題海戰(zhàn)術(shù)、僵化基礎(chǔ)、固化思維、忽視能力、淡化思想的教學(xué)現(xiàn)狀.讓讀死書、讀書死、死讀書、書讀死的學(xué)生在一場(chǎng)思維的“盛宴”中原形畢露，無處遁形.如果教師在平時(shí)的教學(xué)中注重對(duì)數(shù)學(xué)核心概念的本質(zhì)進(jìn)行探究，對(duì)學(xué)生思維的盲點(diǎn)進(jìn)行分析討論，對(duì)數(shù)學(xué)能力進(jìn)行精心培養(yǎng)，對(duì)數(shù)學(xué)思想進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，那么2014年浙江省數(shù)學(xué)高考試題中的許多題目可以達(dá)到“秒殺”，為考生節(jié)約寶貴的時(shí)間.

“秒殺”其實(shí)就是解題中把數(shù)學(xué)結(jié)果快速看出來的另一種有力的表述，它體現(xiàn)了近幾年浙江省數(shù)學(xué)高考試卷“常規(guī)而不常見、豐富而不堆砌、創(chuàng)新而不偏倚、簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單”的鮮明特點(diǎn)，提出了“重思維、重本質(zhì)”的數(shù)學(xué)教學(xué)理念，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要求教師關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)、關(guān)注學(xué)生實(shí)際、關(guān)心實(shí)際應(yīng)用.它凸顯數(shù)學(xué)核心知識(shí)，揭示數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，注重學(xué)生學(xué)習(xí)能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模思想，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維特點(diǎn).下面筆者以2014年浙江省數(shù)學(xué)高考部分試題為例，探究“秒殺”解法：

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A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

“秒殺”工具向量加減法運(yùn)算的幾何意義.

“秒殺”解法a+b和a-b是以a,b為鄰邊的平行四邊形的2條對(duì)角線.

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)

max{|a+b|2,|a-b|2}.

本題的核心知識(shí)是平行四邊形的性質(zhì)，本質(zhì)是線性空間為內(nèi)積空間的充要條件.向量加減法的幾何運(yùn)算是向量最基本的運(yùn)算工具之一，也是向量一章的核心內(nèi)容，在高考中常考常新.2013年考查極化恒等式，2014年考查平行四邊形的對(duì)角線性質(zhì)，都是這一核心概念的外化表現(xiàn).本題的解法凸顯了數(shù)學(xué)核心知識(shí)的應(yīng)用，同時(shí)也讓數(shù)學(xué)的圖形之美得到了充分發(fā)揮.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第13題)

“秒殺”工具線性規(guī)劃的端點(diǎn).

線性規(guī)劃的概念本質(zhì)是可行域端點(diǎn)值對(duì)線性目標(biāo)函數(shù)的影響.本題牢牢把握住這一本質(zhì)特征，讓解法變得簡(jiǎn)單快捷，揭示數(shù)學(xué)概念本質(zhì)特征,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)非同一般的簡(jiǎn)潔之美.

例3在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無獎(jiǎng).將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人，每人2張，則不同的獲獎(jiǎng)情況有______種(用數(shù)字作答).

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

“秒殺”工具相同元素和不同元素混排問題模型.

學(xué)生的學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)和不斷強(qiáng)化，一直是數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)，教學(xué)的所有手段都應(yīng)該圍繞這一目標(biāo)展開.而學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)又有一個(gè)內(nèi)化的過程，只有當(dāng)學(xué)生能夠自發(fā)地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)技能和方法去解題時(shí)，教師的使命才算真正完成.本題解法1考查了學(xué)生分類討論的能力，解法2考查了學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力，學(xué)生只有真正理解了數(shù)學(xué)的基本原理，掌握了解決排列組合問題的常用手段和方法，才能快速得到答案.本題解法注重考查學(xué)生學(xué)習(xí)能力，也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美.

例4如圖1，某人在垂直水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面的射擊線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小.若AB=15 m，AC=25 m,∠BCM=30°,則tanθ的最大值______.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

“秒殺”工具構(gòu)造長(zhǎng)方體，線面角、面面角.

圖1 圖2

“秒殺”解法如圖2，構(gòu)造長(zhǎng)方體，則AP和面ABC所成最大的角即為面ACE和面ABC所成的角，易畫出面ACE和面ABC所成角的平面角為∠EFB,由二面角知識(shí)可得

本題還可以進(jìn)一步推廣到一般情形，得到下面結(jié)論：

結(jié)論設(shè)面ACE和面ABC所成角的平面角為θ,∠ECB=α,∠ACB=β.

(2)tanθ=sinβtanα.

應(yīng)用題以華美的姿態(tài)在2014年數(shù)學(xué)高考中重新回歸，給人以驚艷的感覺；與立體幾何的完美結(jié)合，又讓人既愛又恨.在變化中尋求不變，在運(yùn)動(dòng)中蘊(yùn)含不動(dòng)，線面角、面面角完美結(jié)合，強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用，不由地讓人心生感嘆：數(shù)學(xué)建模，真是一場(chǎng)華麗的盛宴！

圖3

(1)已知直線l的斜率為k，用a,b,k表示點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2)略.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題)

這里我們只給出第(1)小題的“秒殺”方法.

“秒殺”工具1類比過切點(diǎn)的圓的切線方程.

“秒殺”解法1設(shè)P(x0,y0),則直線l的方程為

(1)

(2)

結(jié)合式(1),式(2)及點(diǎn)P在第一象限，得

“秒殺”工具2隱函數(shù)求導(dǎo).

“秒殺”解法2方程2邊關(guān)于x求導(dǎo)得

設(shè)P(x0,y0),代入得

下同解法1.

本題解法強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)，講究數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，成為一個(gè)整體.即使再多的字母，也無法擋住我們“秒殺”的步伐，天馬行空的想象為思維插上飛翔的翅膀.數(shù)學(xué)就是讓我們感受快樂之美取之不盡的源泉.

“秒殺”讓數(shù)學(xué)變得有趣、生動(dòng)和靈活；“秒殺”讓數(shù)學(xué)個(gè)性鮮明，內(nèi)容豐富，充滿活力；“秒殺”讓數(shù)學(xué)變成能力的舞臺(tái)、思維的盛宴、思想的狂歡；“秒殺”讓我們愛上解題，愛上數(shù)學(xué)，惟愿“秒殺”之樹常青，“秒殺”之花常開，“秒殺”之果常甜.就讓“秒殺”成為改變我們教學(xué)觀、學(xué)習(xí)觀的第一只重拳，成為數(shù)學(xué)新課程改革的第一把匕首投槍，給高中數(shù)學(xué)教學(xué)以正確的導(dǎo)向，給師生留下更多的思考時(shí)間和空間.