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(平湖中學 浙江平湖 314200)

2014年高考已經(jīng)落下帷幕，各地的高考試題都體現(xiàn)了新課改理念.不在難偏上考倒學生，更多地注重數(shù)學思想方法的考查，試題設計寬角度、多視點,有層次地考查了數(shù)學的理性思維能力，同時也很好地考查了學生對數(shù)學本質的理解能力、數(shù)學素養(yǎng)及潛能.

為了更好地考查學生的數(shù)學運用意識，各地高考試題中部分試題新穎別致，注重對學生思維能力和實際操作能力的考查.浙江省的數(shù)學高考每年都帶給我們許多期盼:一方面希望能“雅俗共賞”，讓更多的學生考出好成績；另一方面則希望能出現(xiàn)一些有新意、能品味后“留有余香”且為教學“津津樂道”的好題.認真研讀2014年浙江省數(shù)學文、理科2份試題，可圈可點的題目很多，其中筆者最感興趣的是文科第9題——一道向量選擇題,它是整卷的一大亮點.浙江省數(shù)學高考向量題通常以選擇題或者填空題出現(xiàn)，位置通常偏后，有壓軸的味道.向量題的分值不多，但對整個數(shù)學格局起到?jīng)Q定性的影響.下面筆者就這道漂亮的試題談一些解題感受.

1 試題呈現(xiàn)，立意分析

例1設θ為2個非零向量a，b的夾角，已知對任意實數(shù)t，|b+ta|的最小值為1，則

( )

A.若θ確定，則|a|唯一確定

B.若θ確定，則|b|唯一確定

C.若|a|確定，則θ唯一確定

D.若|b|確定，則θ唯一確定

(2014年浙江省數(shù)學高考文科試題第9題)

本題涉及向量的加法、數(shù)乘運算、模長等.向量是數(shù)形結合的天然載體，將向量引入中學教材的一個重要原因是其具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.本題將向量的幾何表征發(fā)揮得淋漓盡致，讓學生感受到向量是刻畫經(jīng)典幾何模型的重要工具，同時引導一線教師在平時教學中重視向量的幾何表征.本題以幾何為背景，以向量為載體，入口寬闊，解法多樣；緊扣概念，體現(xiàn)本質；立意清晰，背景深刻；滲透思想，能力到位，是一道難得的好題.

2 解法分析，碰撞火花

2014年浙江省高考學生普遍反映數(shù)學不好做，可能更多地卡在讀題和審題上.此題中“條件t的任意性、模最小值的確定性、選項中指定量的確定、相關量的唯一確定”這些概念是否準確理解都將直接影響學生能否成功解題.仔細審題可挖掘出問題蘊含的2條線索：

顯性條件(1)本題涉及4個向量a,b,ta,b+ta；(2)|b+ta|的最小值為1；(3)θ為2個非零向量a,b的夾角.

隱性條件a與b不共線即0<θ<π，說明：若a與b共線，則存在唯一的實數(shù)λ使得b=λa，從而|b+ta|=|(λ+t)a|，此時當λ+t=0時，|b+ta|的最小值為0，與已知條件|b+ta|的最小值為1矛盾，因此a與b不共線.

如果我們真切地感受到了上面2個信息，那么下面的幾種解題思路應該也是自然的.

分析1(特例視角)枚舉特例，排除干擾.

b+ta=(at,b),

即

|b+ta|2=a2t2+b2，

從而

即|b|=1.故排除選項A.

觀察選項C，設a=(1,0),b=(|b|cosθ,|b|sinθ),則

b+ta=(|b|cosθ+t,|b|sinθ),

從而

|b+ta|2= (|b|cosθ+t)2+|b|2sin2θ,

即

b2sin2θ=1，

亦即

|b|sinθ=1，

故排除選項C.

觀察選項D，設b=(2,0),a=(|a|cosθ,|a|sinθ),則

b+ta=(t|a|cosθ+2,t|a|sinθ),

從而 |b+ta|2= (t|a|cosθ+2)2+t2|a|2sin2θ=

|a|2t2+4(|a|cosθ)t+4=

(t|a|+cosθ)2+4sin2θ,

即

4sin2θ=1，

于是

解得

故排除選項D.

點評此法雖難登大雅之堂，學生或許在短時間內(nèi)也不一定能枚舉出所有反例，但貴在真實，學生應試時猜對的可能性大大增加.

分析2(函數(shù)視角)利用模運算，構建目標函數(shù)，將條件(2)表征.

|b+ta|的最小值為1等價于|b+ta|2的最小值為1,則

|b+ta|2= |a|2t2+2(|a||b|cosθ)t+|b|2=

(|a|t+|b|cosθ)2+|b|2sin2θ.

即

|b|sinθ=1.

驚喜發(fā)現(xiàn)，此時

即

(b+ta)⊥a.

點評此法向量模的計算表征為向量數(shù)量積的運算，做到向量問題代數(shù)化，認清變量t為主元，轉化為二次函數(shù)問題，起點較低，計算稍顯復雜.驚喜發(fā)現(xiàn)的垂直關系預示著本題可用幾何法解決，做到代數(shù)、幾何的完美統(tǒng)一.

分析3(建系視角)建立坐標系，引入坐標，將條件(2)表征.

設A(a,0)(其中a>0),B(|b|cosθ,|b|sinθ),則

b+ta=(|b|cosθ+at,|b|sinθ),

|b+ta|2=(|b|cosθ+at)2+|b|2sin2θ,

從而

即

|b|sinθ=1.

點評此法運用平面向量基本定理，以i,j為基底進行表征，本質和解法2相同.

圖1 圖2

1=|b+ta|cosα=(b+ta)·e=b·e,

亦即

點評此法運用平面向量數(shù)量積，充分體現(xiàn)向量運算的靈活性，有一定的幾何味道，計算簡便.

分析5(幾何滲透)幾何探路，數(shù)形結合.

圖3 圖4

|b|sinθ=1或|b|sin(π-θ)=1,

當B′∈l′時,同理可得(略).

點評命題者當然更希望看到的是上述解法，希望考生嗅到幾何的芬芳,簡潔明了.看透此題，將問題轉化為點到直線的距離求解.

3 尋根探源，十年情懷

關于例1，網(wǎng)上評論很多，眾所紛紜中感受到高考真的“愛”你不容易！事實上浙江省10年前就與此題有過“相約”，只是命題者對向量的偏愛在2014年將它演繹得更加唯美，同時也讓更多的考生“拜倒”在此向量題下.讓我們重溫2005年這一道姊妹題：

例2已知向量a≠e,|e|=1，滿足對任意的t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，則

( )

A.a⊥eB.a⊥(a-e)

C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e)

此時再回首看2014年浙江省數(shù)學高考文科第9題，有一種“似曾相識燕歸來”的感覺.命題者對此類問題為何情有獨鐘，戀戀不舍，它是怎樣的一種數(shù)學模型呢？

圖5 圖6

4 追根溯源，揭示本質

人教版教材中，點到直線的距離問題有2處涉及(分別在《必修2》與《選修2-1》中)，根據(jù)編著者的編寫意圖，分別在向量之前與向量之后.

《必修2》第106～107頁中,點P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式為

這正是解法4的由來.

根據(jù)以上模型可編出下面的試題：

例3若a,b,c不共面，=θ，已知對于任意實數(shù)t，|b+c+ta|的最小值為1，證明：若θ確定，則|b+c|唯一確定.

例4若a,b,c不共面，已知對于任意不同時為0的實數(shù)m,n,=θ,|a+mb+nc|的最小值為1，證明：若θ確定，則|a|唯一確定.

這何嘗不是一種尋夢之旅，撐一支長篙，向青草更青處漫溯.

向量是溝通代數(shù)和幾何的橋梁.2014年這道向量題更是將向量的這一特性發(fā)揮得淋漓盡致，代數(shù)法讓我們體味了向量的沉穩(wěn)，更多地考查了學生扎實的運算基本功；幾何法讓我們更深地感悟向量的靈動，真切地體會了問題的本質所在.

一題一世界，上面的學習研究過程讓我們充分體味了高考試題的魅力所在.探究素材何處覓，歷年考題展風采；解題沿途多精彩，常思多量樂無窮.讓我們記住波利亞的教導：沒有任何一個題目是徹底完成了的，總還會有些事情可以做；在經(jīng)過充分研究和觀察之后，我們可以將任何解題方法加以改進；而且無論如何，我們總可以深化我們對答案的理解.破除高考試題背后的本質是破除題海最“給力”的武器，高考試題的本質正是在思維的層層深入中揭開神秘的面紗，使其“原形畢露”，使得我們能夠一眼就可以把它“看穿”.在教學過程中，教師應該切實加強反思與回顧，使得數(shù)學的學術形態(tài)轉化為學生易于接受的教育形態(tài)，以達到“一題可破萬題山、萬題可由一題生”的境界.