蔡 萍,唐駕時

(1.閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,福建 漳州 363000;2.湖南大學(xué)機械與運載工程學(xué)院,湖南 長沙 410082)

本文考慮如下一維復(fù)Ginzburg-Landau(CGL)方程:

ut=u+(1+iα)uxx-(1+iβ)|u|2u=0，

(1)

其中,u(x,t)是一復(fù)值函數(shù),α,β是實參數(shù).GL方程有著豐富的物理背景,在超導(dǎo)、相變、非平衡流體的調(diào)制不穩(wěn)定性的偏微分方程,以及激光、化學(xué)反應(yīng)的湍流問題的等離子體物理等方面有著廣泛的應(yīng)用,也是眾多學(xué)者的研究對象.關(guān)于GL方程的豐富動力學(xué)行為已經(jīng)有所研究,如新行波解[12],同宿軌解[13]及分岔[14].本文的目標(biāo)是利用動力系統(tǒng)分支理論,研究方程(1)的分岔,獲得其所有類型的精確行波解,并用橢圓函數(shù)和雙曲函數(shù)來表示[15].本文不僅在推導(dǎo)上比文獻(xiàn)[12]簡單,解的表示形式也比文獻(xiàn)[12]簡潔.

1 CGL方程的分岔及相圖

假設(shè)方程(1)具有如下形式的解:

u(x,t)=φ(ξ)ei(kx-ωt),ξ=x-ct，

(2)

其中,φ(·)是實函數(shù),c,k,ω是實數(shù).

把式(2)代入方程(1),分離實部和虛部,則有:

φ″+(c-2kα)φ′+(1-k2)φ-φ3=0,

(3)

αφ″+2kφ′+(ω-αk2)φ-βφ3=0.

(4)

由式(3)、(4)得

φ″-d0φ-2d1φ3=0，

(5)

其中,

方程(5)等價于如下二維平面動力系統(tǒng):

(6)

對系統(tǒng)(6)首次積分:

(7)

由向量場(6)定義的相軌道決定了方程(1)的行波解,并且系統(tǒng)(6)的同宿到一個奇點的同宿軌道對應(yīng)方程(1)的孤立波解；連接兩個奇點的異宿軌道對應(yīng)方程(1)的扭波解或反扭波解；周期軌道對應(yīng)方程(1)的周期波解.下面主要考慮系統(tǒng)(6)的有界解,因為只有有界解在實際物理模型中才有意義.

圖1 系統(tǒng)(6)的分岔相圖Fig.1 The bifurcation of phase portraits of system (6)

2 CGL方程的精確行波解

本節(jié)利用系統(tǒng)(6)的第1個方程和首次積分(7),獲得方程(1)的精確行波解.

當(dāng)d0<0,d1<0時,系統(tǒng)(6)只有一個平衡點(0,0),且為中心,如圖1(b)所示.

對應(yīng)于由H(φ,v)=h,h∈(0,∞)所定義的曲線,系統(tǒng)(6)存在無窮多的周期軌道,由式(7)得:

其中

由系統(tǒng)(6)的第一個方程得:

(8)

因此,方程(1)的一族周期波解為:

u1(x,t)=φ1(x-ct)ei(kx-ωt).

(9)

由系統(tǒng)(6)的第一個方程得:

(10)

因此,方程(1)的兩族周期波解為:

u2(x,t)=φ2(x-ct)ei(kx-ωt).

(11)

(ii) 對應(yīng)于由H(φ,v)=h,h=0所定義的曲線,系統(tǒng)(6)存在過(0,0)的兩條同宿軌道.由式(7)得:

由系統(tǒng)(6)的第一個方程得:

(12)

因此,方程(1)的兩條孤波解為:

u3(x,t)=φ3(x-ct)ei(kx-ωt).

(13)

(iii) 對應(yīng)于由H(φ,v)=h,h∈(0,∞)所定義的曲線,系統(tǒng)(6)存在一族周期軌道,對應(yīng)系統(tǒng)(1)的一族周期波解同式(9).

由系統(tǒng)(6)的第一個方程得:

(14)

因此,方程(1)的一族周期波解為:

u4(x,t)=φ4(x-ct)ei(kx-ωt).

(15)

(16)

因此,方程(1)的扭波解和反扭波解為:

u5(x,t)=φ5(x-ct)ei(kx-ωt).

(17)

3 結(jié) 論

通過行波變換,把CGL方程轉(zhuǎn)化為平面動力系統(tǒng),借助動力系統(tǒng)的分岔理論,利用連接平衡點的閉軌線的特點,結(jié)合軌線與行波之間的關(guān)系,給出了CGL方程的所有分岔相圖,并得到了其所有類型的有界行波解.據(jù)作者所知,對于CGL 方程,相關(guān)的定性分析并沒有文獻(xiàn)給出.由此可以看出,動力系統(tǒng)方法是研究非線性演化方程行波解的有效方法.

[1] Layeni O P,Akinola A P.A new hyperbolic auxiliary function method and exact solutions of the mBBM equation[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2010,15:133-138.

[2] Feng J S,Li W J,Wan Q L.Using (G′/G)-expansion method to seek the traveling wave solution of Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation[J].Applied Mathematics and Computation,2011,217(12):5860-5865.

[3] AbdelRady A S,Osman E S,Mohammed K.The homogeneous balance method and its application to the Benjamin-Bona-Mahoney equation[J].Applied Mathematics and Computation,2010,217(4):1385-1390.

[4] Wazwaz A M.A sine-cosine method for handling nonlinear wave equations[J].Mathematical and Computer Modelling,2004,40 (5/6):499-508.

[5] 劉式達(dá),劉式適,葉其孝.非線性演化方程的顯式行波解[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,1998,28 (4):289-301.

[6] 劉式達(dá),劉式適.孤立波與同宿軌道[J].力學(xué)與實踐,1991,13(4):9-15.

[7] Xie S L,Wang L,Zhang Y Z.Explicit and implicit solutions of a generalized Camassa-Holm Kadomtsev-Petviashvili equation[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2012,17:1130-1141.

[8] Yan F,Hua C C,Liu H H.Bifurcation of phase and exact traveling wave solutions of a higher-order nonlinear schr?dinger equation[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2012,22(5):1250121.

[9] Deng S F,Sheng F,Guo B L,et al.Travelling wave solutions of a generalized Camassa-Holm-Degasperis-Procesi equation[J].Science China Mathematics,2011,54 (3):555-572.

[10] Wen Z S,Liu Z R.Bifurcation of peakons and periodic cusp waves for the generalization of the Camassa-Holm equation[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2011,12:1698-1707.

[11] Cai J H,Qiu W,Jia P Z.Exact traveling wave solutions for a modified Camassa-Holm equation[J].Applied Mathematics and Computation,2010,217:607-611.

[12] 邱春,賈多杰,高秀云,等.復(fù)Ginzburg-Landau方程的新行波解[J].西北師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,44 (1):38-42.

[13] Dai Z,Li Z,Liu Z,et al.Exact homoclinic wave and soliton solutions for the 2D Ginzburg-Landau equation[J].Physica Letters A,2008,372 (17):3010-3014.

[14] Norimichi H,Sawomir R.A remark on global bifurcations of solutions of Ginzburg-Landau equation[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2011,12:2943-2946.

[15] Prasoolov V,Solovyev Y.Elliptic functions and elliptic integrals[M].New York:Amer Math Soc,1997.